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2.3. Žâ¤¥«¨¬®áâì ¯®¤£à㯯 ¢ ª« áᥠª®-¥ç-ëå p-£à㯯. ‘«¥¤ãï ®¡é¥© ¨¤¥¥, ®¡®§- ç¥--®© ¢ ¯ã-ªâ¥ 1.3 (á¬. â ª¦¥ [3]), ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¯®¤£à㯯 H -¥ª®â®à®©

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•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.3.1. „«ï «î¡®© ¯®¤£à㯯ë H ¯à®¨§¢®«ì-®© £à㯯ë G á«¥¤ãî騥

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2) ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â g £à㯯ë G, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 饣® ¯®¤£à㯯¥ H, áãé¥-

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g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ HN;
p	3) ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥	T	HN, £¤¥ N ¯à®¡¥£ ¥â ¯® ¢á¥¬ -®à¬ «ì-ë¬ ¯®¤£à㯯 ¬ ª®-¥ç-®£®
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„«ï ®â¤¥«¨¬®á⨠¢ ª« áᥠª®-¥ç-ëå p-£à㯯 ¢ë¯®«-¥-ë â ª¦¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥

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¯®¤£à㯯 H -¥ª®â®à®© £à㯯ë G - §ë¢ ¥âáï p-¨§®«¨à®¢ --®© (¢ G), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® 34

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Žâ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 H £à㯯ë G ï¥âáï ¼-¨§®«¨à®¢ --®© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ä ªâ®à-£à㯯 G=H -¥ ¨¬¥¥â ¼-ªàãç¥-¨ï (â. ¥. -¥ ᮤ¥à- ¦¨â ¼-í«¥¬¥-⮢, ®â«¨ç-ëå ®â ¥¤¨-¨æë). ‚ ç áâ-®áâ¨, H ¨§®«¨à®¢ - ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ä ªâ®à-£à㯯 G=H ï¥âáï £à㯯®© ¡¥§ ªàãç¥-¨ï.

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騬¨ a; b. Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ ' £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯ë F ¢ ᨬ¬¥âà¨ç¥áªãî £à㯯ã S3 3-© á⥯¥-¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ®â®¡à ¦¥-¨¥¬ a 7!(123), b 7!(12), ¨ ¯ãáâì H | ¯®«-ë© ¯à®®¡à § ®â-®á¨â¥«ì-® ' 横«¨ç¥áª®© ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë S3, ¯®à®¦¤¥--®© âà -ᯮ- §¨æ¨¥© (12). ˆ§ â¥®à¥¬ë ® ᮮ⢥âá⢨¨ á«¥¤ã¥â, çâ® ¨-¤¥ªá ¯®¤£à㯯ë H ¢ £à㯯¥ F à ¢¥- 3. ’ ª ª ª (a¡1ba)' = (123)¡1(12)(123) = (23), í«¥¬¥-â f = a¡1ba -¥ ¯à¨- ¤«¥- ¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H, â ª ª ª (f2)' = (f')2 = 1, f2 2 H. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¤£à㯯 H -¥ ï¥âáï 30-¨§®«¨à®¢ --®© ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, -¥ ï¥âáï ®â¤¥«¨¬®© ¢ ª« áᥠª®-¥ç-ëå 3-£à㯯. “¬¥áâ-® - ¯®¬-¨âì §¤¥áì, çâ® £à㯯 F ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬 ª®-¥ç-

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ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© -¨«ì¯®â¥-â-®© £àã¯¯ë ®â¤¥«¨¬ ª®-¥ç-묨 p-£à㯯 ¬¨),

-¥âàã¤-® ¯®áâநâì ¯à¨¬¥à £à㯯ë, ¤«ï ª®â®à®© íâ® -¥¢¥à-®. Š ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì 35

¢ ¯ã-ªâ¥ 1.1, ¨§ â¥®à¥¬ë ƒ. •¨£¬ - ¨ •. ¨ •. •¥©¬ -®¢ á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ -¨¥ 2- ¯®à®¦¤¥--®© £à㯯ë G, -¥ª®â®à ï ¯®¤£à㯯 ª®â®à®© ¨§®¬®àä- £à㯯¥ Q. •®«¥¥

⮣®, ᯮᮡ ¯®áâ஥-¨ï £à㯯ë G, 㪠§ --ë© ¢ í⮩ ⥮६¥, ¯®§¢®«ï¥â áç¨â âì, çâ® £à㯯 G -¥ ¨¬¥¥â ªàãç¥-¨ï. •â® ®§- ç ¥â, çâ® ¥á«¨ £à㯯 G ¯à¥¤áâ ¢«¥- ¢ ¢¨¤¥ ä ªâ®à-£à㯯ë F=N ᢮¡®¤-®© £à㯯ë F à -£ 2 ¯® -¥ª®â®à®© ¥¥ -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯¥ N, â® ¯®¤£à㯯 N ¢ £à㯯¥ F ï¥âáï ¨§®«¨à®¢ --®©. •® ¯®áª®«ìªã £à㯯 G -¥ ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬 , ¯®¤£à㯯 N ¢ £à㯯¥ F -¥ ï¥âáï ä¨- -¨â-® ®â¤¥«¨¬®©, ¨ ¯®â®¬ã -¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®â¤¥«¨¬®© ª®-¥ç-묨 p-£à㯯 ¬¨ -¨ ¤«ï ª ª®£® ¯à®á⮣® ç¨á« p. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ᢮¡®¤- ï £à㯯 à -£ 2 ᮤ¥à¦¨â â ªãî ¯®¤£à㯯ã, ª®â®à ï ¤«ï ª ¦¤®£® ¯à®á⮣® ç¨á« p ï¥âáï p0-¨§®«¨à®¢ --®©, -® -¥ ï¥âáï ®â¤¥«¨¬®© ª®-¥ç-묨 p-£à㯯 ¬¨. •¥¤®áâ ⮪ í⮣® ¯à¨¬¥à á®á⮨⠢ ⮬,

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ïî饩áï ®â¤¥«¨¬®© ª®-¥ç-묨 p-£à㯯 ¬¨ -¨ ¤«ï ª ª®£® ¯à®á⮣® ç¨á«		p, 㪠-
§ - ¢ à ¡®â¥ ‚. ƒ. • ठª®¢ [8], ®â¢¥â¨¢è¥£® ⥬ á ¬ë¬ - ¢®¯à®á ¢â®à	(á¬. [9],
¢®¯à®á 15.60). ’¥¬ -¥ ¬¥-¥¥, á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ¯à®á⮥

•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.3.3. •à®¨§¢®«ì- ï p0-¨§®«¨à®¢ -- ï 横«¨ç¥áª ï ¯®¤£à㯯 ᢮- ¡®¤-®© £àã¯¯ë ®â¤¥«¨¬ ª®-¥ç-묨 p-£à㯯 ¬¨.

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-®© £à㯯¥ æ¥-âà «¨§ â®à -¥¥¤¨-¨ç-®© 横«¨ç¥áª®© ¯®¤£à㯯ë á ¬ ï¥âáï 横«¨- ç¥áª®© ¯®¤£à㯯®©. •ãáâì v | ¯®à®¦¤ î騩 ¯®¤£à㯯ë V . ’®£¤ f = vm ¨ u = vn

¤«ï ¯®¤å®¤ïé¨å 楫ëå ç¨á¥« m ¨ n, ¯à¨ç¥¬ ¯®áª®«ìªã ¯®¤£à㯯 U p0-¨§®«¨à®¢ - ¨ v 2= U, ç¨á«® n ¤®«¦-® ¡ëâì p-ç¨á«®¬, â. ¥. n = pr ¤«ï -¥ª®â®à®£® r > 0, ¯®- ᪮«ìªã f 2= U, m -¥ ¤¥«¨âáï - pr. ‘-®¢ ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì Fp- ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®áâìî £à㯯ë F , - ©¤¥¬ â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë F ¢ -¥ª®â®àãî ª®-¥ç-ãî p-£à㯯ã, çâ® u' =6 1. …᫨ ⮣¤ ps | ¯®à冷ª í«¥¬¥-â v', â® s > r. •à¥¤¯®«®¦¥-¨¥ ® ⮬, çâ®

¤«ï -¥ª®â®à®£® 楫®£® ç¨á« k ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥-á⢮ f' = (u')k, ¢¥¤¥â ª à ¢¥-áâ¢ã (v')m = (v')kpr , ¨§ ª®â®à®£® á«¥¤ã¥â áà ¢-¥-¨¥ m ´ kpr (mod ps). •® ⮣¤ ç¨á«® m

¤®«¦-® ¤¥«¨âìáï - pr, ¨ ¯®«ãç¥--®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® í«¥¬¥-â f' -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ U'. Žâ¤¥«¨¬®áâì ¯®¤£à㯯ë U ¢ ª« áᥠª®-¥ç-ëå p-£à㯯

¤®ª § - .
•à¨¢¥¤¥¬, - ª®-¥æ, ¤®ª § ⥫ìá⢮ á«¥¤ãî饣®	ã⢥ত¥-¨ï, ¯®«ãç¥--®£®
…. ‚. ‘®ª®«®¢ë¬ [10].
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.3.4. „«ï ª ¦¤®£® ¯à®á⮣® ç¨á«	p ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå

᢮¡®¤0 -ле £аг¯¯ а -£ 2 ᮤ¥а¦¨в ª®-¥з-® ¯®а®¦¤¥--го ¯®¤£аг¯¯г, п¢«пойгобп p -¨§®«¨а®¢ --®© ¨ -¥ п¢«пойгобп ®в¤¥«¨¬®© ª®-¥з-л¬¨ p-£à㯯 ¬¨.

36

„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì F | ᢮¡®¤- ï £à㯯 ᮠ᢮¡®¤-묨 ¯®à®¦¤ î騬¨ a; b ¨ P (¢-¥è-¥¥) ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå íª§¥¬¯«ï஢ £à㯯ë F . •®áâ஥-¨¥ ¢ £à㯯¥ P ¯®¤£à㯯ë, ®¡« ¤ î饩 âॡ㥬묨 ᢮©á⢠¬¨, ¡ã¤¥â ¯à®å®¤¨âì ¯® ⮩ ¦¥

á奬¥, çâ® ¨ ¯à¨¢¥¤¥--®¥ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.2.2 ¯®áâ஥-¨¥ ¯®¤£à㯯ë,
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• ¯®¬-¨¬, çâ® ¤«ï í⮣® ¢ £à㯯¥ F ¢ë¡¨à ¥âáï ª®-¥ç-®¥ ¬-®¦¥á⢮ í«¥¬¥-⮢ W ,
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騩 í«¥¬¥-âã f F í«¥¬¥-â (f; 1) 2 P , ¨ ç¥à© H	¯	ª	P
¯®à®¦¤¥-- ï í«¥2¬¥-â ¬¨ u = (a; a), v = (b; b) ¨ ¬-®¦¯ ¥á⢮¬ W1 = W ¾. ’®£¤ ¨¬¥¥â
¨§®¬®à䨧¬ ¾ £à㯯ë F - ¯®¤£à㯯ã F1 = (f; 1) f 2 F £à㯯ë P , ᮯ®áâ ¢«ïî-
¥§	®¡®§- ç ¥âáï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë			,
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x = y.

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G ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥-á⢮ (fN)q = (gN)q. ’ ª ª ª ¢ £à㯯¥ G ¨§¢«¥ç¥-¨¥ ª®à-¥© q- © á⥯¥-¨ ®¤-®§- ç-®, ®âáî¤ fN = gN, ¨ ¯®â®¬ã í«¥¬¥-â z = (fN; g) = (gN; g) ¯à¨- ¤«¥¦¨â, ®ç¥¢¨¤-®, ¯®¤£à㯯¥ HÃ. ‹¥¬¬ 1 ¤®ª § - .

‹¥¬¬ 2. ‚ ¯à®¨§¢®«ì-®© £à㯯¥, ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© ª®-¥ç-묨 p-£à㯯 ¬¨, ¨§- ¢«¥ç¥-¨¥ ª®à-¥© «î¡®© p0-á⥯¥-¨ ®¤-®§- ç-®.

„¥©á⢨⥫ì-®, ¯ãáâì ¤«ï í«¥¬¥-⮢ x ¨ y -¥ª®â®à®© Fp- ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© £à㯯ë X ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥-á⢮ xm = ym, £¤¥ m | p0-ç¨á«®. ’®£¤ í«¥¬¥-â xm «¥¦¨â ¢ æ¥--

âà «¨§ â®à¥ 横«¨ç¥áª®© ¯®¤£à㯯ë, ¯®à®¦¤ ¥¬®© ¢ £à㯯¥ X í«¥¬¥-⮬ y. ‚¢¨¤ã 37

Fp	- ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®á⨠£à㯯ë X íâ®â æ¥-âà «¨§ â®à ï¥âáï ®â¤¥«¨¬®© ª®-¥ç-
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-묨 p-£à㯯 ¬¨, ¯®â®¬ã ¨ p0
x ¨ y ª®¬¬ãâ¨àãîâ, ®âªã¤		¨¬¥¥¬ (xy¡1)m = xmy¡m = 1, ¨ â ª ª ª £à㯯 X -¥ ¨¬¥¥â
p0-ªàãç¥-¨ï, ¯®«ãç ¥¬ xy¡1 = 1, â. ¥. x = y.
	‚¢¨¤ã «¥¬¬ë 1 ¤«ï ¯®«ãç¥-¨ï ¯®¤£à㯯ë H á âॡ㥬묨 ᢮©á⢠¬¨ - ¬ ¤®-
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á-®¢ á«ã¦¨âì -¥ª®â®àë¥ £àã¯¯ë • ã¬á« £ { ‘®«¨âíà ,					¨¬¥--® £àã¯¯ë ¢¨¤ Gk =
ha; b; a¡1ba = bki (k 2 Z). ˆ§¢¥áâ-® (á¬. [11]), çâ® £à㯯					Gk Fp- ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬	â®-
£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤		k ´ 1 (mod p). •®í⮬㠥᫨ q ¨ r -¥à ¢-ë¥ ¯à®áâë¥ ç¨á« ,
ª ¦¤®¥ ¨§ ª®â®àëå ®â«¨ç-®, ª ⮬㠦¥, ®â ç¨á«				p, â® ¯à¨ k = qr + 1 £à㯯		Gk

-¥ ¡ã¤¥â Fp- ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®©. Šà®¬¥ ⮣®, ¯®áª®«ìªã ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ ¬-®¦¥á⢠q0 ¨ r0

ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ¯à®áâë¥ ç¨á« , ¨§ «¥¬¬ë 2 á«¥¤ã¥â, çâ® íâ £à㯯 ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ®¤-®§- ç-®á⨠¨§¢«¥ç¥-¨ï ª®à-¥© «î¡®© á⥯¥-¨. •à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.3.3 ¤®ª § -®.

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