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2.1. Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¨ ¯à®á⥩訥 ᢮©á⢠. •®¤¬-®¦¥á⢮ M ¬-®¦¥áâ¢ í«¥- ¬¥-⮢ £à㯯ë G - §ë¢ ¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â g 2 G, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 饣® ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã M, áãé¥áâ¢ã¥â £®¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë G ¢ -¥ª®-

â®àãî ª®-¥ç-ãî £à㯯ã â ª®©, çâ® ®¡à § g' í«¥¬¥-â										g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ®¡à §ã M'
¯®¤¬-®¦¥á⢠M.
Žç¥¢¨¤-®, çâ® £à㯯 G ä¨-¨â-®							¯¯à®ªá¨¬¨à㥬			⮣¤	¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
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	¬¥áâ® ¨ á«¥¤ãî饥 ¯à®á⮥
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.1. ‚ ä¨-¨â-®							¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© £à㯯¥ «î¡®¥ ª®-¥ç-®¥ ¯®¤-
¬-®¦¥á⢮ ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë¬.										g
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„¥©á⢨⥫ì-®, ¯ãáâì M =						x1; x2; : : : ; xn			| ¯à®¨§¢®«ì-®¥ ª®-¥ç-®¥ ¯®¤¬-®¦¥-
					¬®© £à㯯ë . …᫨ í«¥¬¥-â						-¥ ¢å®¤¨â ¢ ¬-®¦¥á⢮

M, â® ®- ®â«¨ç¥- ®â ª ¦¤®£® ¨§ í«¥¬¥-⮢ í⮣® ¬-®¦¥á⢠, â. ¥. ª ¦¤ë© ¨§ í«¥- ¬¥-⮢ x1g¡1, x2g¡1, : : : , xng¡1 ®â«¨ç¥- ®â ¥¤¨-¨æë. ˆ§ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 1.1.6 á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ -¨¥ â ª®£® £®¬®¬®à䨧¬

¢á¥ í«¥¬¥-âë (x1g¡1)', (x2g¡1)', : : :

¨áª®¬ë©, â ª ª ª ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨¥ ® ⮬, çâ® g' 2 M', ®§- ç ¥â, çâ® ¤«ï -¥ª®â®à®£® i = 1; 2; : : : n g' = xi', â. ¥. (xig¡1)' = 1, çâ® -¥¢®§¬®¦-®.

‚ ç áâ-®áâ¨, «î¡ ï ª®-¥ç- ï ¯®¤£à㯯 ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© £à㯯ë G ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë¬ ¯®¤¬-®¦¥á⢮¬ ¢ G; ¯®¤£аг¯¯г, п¢«пойгобп д¨-¨в-®

®â¤¥«¨¬ë¬ ¯®¤¬-®¦¥á⢮¬, ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®© ¯®¤£à㯯®©. ‹¥£ª®
¢¨¤¥âì, çâ® ¢ ¯à®¨§¢®«ì-®©, -¥ ®¡ï§ ⥫ì-® ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© £à㯯¥ «î-
¡ ï ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ . „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠í⮣® ¤®áâ -
â®ç-® ¢á¯®¬-¨âì (á¬. ¯à¥¤«®¦¥-¨¥ 1.1.1), çâ® ¢ ª ¦¤®© ¯®¤£à㯯¥ ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá
¤ --®© £à㯯ë ᮤ¥à¦¨âáï -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯	í⮩ £à㯯ë, â ª¦¥ ¨¬¥îé ï ¢
-¥© ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá. …᫨ ⥯¥àì H | ¯®¤£à㯯	ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, g |

í«¥¬¥-â £à㯯ë G, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 騩 ¯®¤£à㯯¥ H, ¨ N | «¥¦ é ï ¢ H -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, â® í«¥¬¥-â gN ä ªâ®à-£à㯯ë G=N -¥ ¯à¨- - ¤«¥¦¨â ¥¥ ¯®¤£à㯯¥ H=N. ˆ- ç¥ £®¢®àï, í«¥¬¥-â g' -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H', £¤¥ ' | ¥áâ¥á⢥--ë© £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯ë G - (ª®-¥ç-ãî) ä ªâ®à-£à㯯ã

G=H.

„à㣨¥ ¯à¨¬¥àë ¯®¤£à㯯, § ¢¥¤®¬® ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ëå ¢ ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨- à㥬®© £à㯯¥, ¤®áâ ¢«ï¥â

•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.2. ‚ ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© £à㯯¥ G æ¥-âà «¨§ â®à CG(M) ¯à®¨§¢®«ì-®£® ¯®¤¬-®¦¥á⢠M ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®© ¯®¤£à㯯®©.

„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨ í«¥¬¥-â g £à㯯ë G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â æ¥-âà «¨§ â®àã ¯®¤- ¬-®¦¥á⢠M, â® ®- -¥ ª®¬¬ãâ¨àã¥â á -¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥-⮬ x 2 M, â. ¥. ª®¬¬ãâ â®à [g; x] í«¥¬¥-⮢ g ¨ x ®â«¨ç¥- ®â ¥¤¨-¨æë. ’ ª ª ª £à㯯 G ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨àã-

¥¬ , - ©¤¥âáï £®¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë G ¢ -¥ª®â®àãî ª®-¥ç-ãî £à㯯ã H â ª®©, çâ® 24

M ¯à®¨§¢®«ì-®© £à㯯ë G á«¥-

[g; x]' =6 1. •®áª®«ìªã [g; x]' = [g'; x'], íâ® ®§- ç ¥â, çâ® í«¥¬¥-â g' -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â

æ¥-âà «¨§ â®àã CH(M') ¢ £à㯯¥ H ¯®¤¬-®¦¥á⢠M'. ‚¢¨¤ã ®ç¥¢¨¤-®£® ¢ª«îç¥- -¨ï CG(M)' 6 CH(M') ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® í«¥¬¥-â g' -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ CG(M)', ¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨¥ ¤®ª § -®.

•¨¦¥ ¡ã¤¥â 㪠§ -ë ¯à¨¬¥àë ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬ëå £à㯯, ᮤ¥à¦ é¨å -¥®â¤¥«¨¬ãî ¯®¤£à㯯ã. •® á- ç « ãáâ -®¢¨¬ àï¤ ãá«®¢¨©, à ¢-®á¨«ì-ëå ä¨-¨â-®© ®â¤¥«¨¬®áâ¨.

•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.3. „«ï «î¡®£® ¯®¤¬-®¦¥áâ¢

¤ãî騥 ã⢥ত¥-¨ï à ¢-®á¨«ì-ë:

1) ¯®¤¬-®¦¥á⢮ M ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë¬;

2) ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â g £à㯯ë G, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 饣® ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã M, áãé¥- áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 H ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G â ª ï, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã MH (á®áâ®ï饬ã, - ¯®¬-¨¬, ¨§ ¢á¥¢®§¬®¦-ëå

í«¥¬¥-⮢ ¢¨¤ xy, £¤¥ x 2 M ¨ y 2 H);

3) ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ TMH, £¤¥ H ¯à®¡¥£ ¥â ¯® ¢á¥¬ -®à¬ «ì-ë¬ ¯®¤£à㯯 ¬ ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, ᮢ¯ ¤ ¥â á M.

…᫨ M ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë G, â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥é¥ ®¤-® ã⢥ত¥-¨¥,

à¢-®á¨«ì-®¥ «î¡®¬ã ¨§ ã⢥ত¥-¨© 1) { 3):

4)M ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥¬ -¥ª®â®à®£® ᥬ¥©á⢠¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá

£à㯯ë G.

„®ª § ⥫ìá⢮. ‡ ¬¥â¨¬ á- ç « , çâ® ¥á«¨ M | ¯à®¨§¢®«ì-®¥ ¯®¤¬-®¦¥á⢮ £à㯯ë G ¨ ' | £®¬®¬®à䨧¬ á ï¤à®¬ H £à㯯ë G ¢ -¥ª®â®àãî £à㯯ã, â® ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â g 2 G ¢ª«îç¥-¨ï g' 2 M' ¨ g 2 MH à ¢-®á¨«ì-ë. „¥©á⢨⥫ì-®, ¥á«¨ g 2 MH, â® g = xh ¤«ï -¥ª®â®àëå í«¥¬¥-⮢ x 2 M ¨ h 2 H, ¨ ¯®â®¬ã g' = x'h' = x' 2 M'. Ž¡à â-®, ¥á«¨ g' 2 M', â® g' = x' ¤«ï -¥ª®â®à®£® í«¥¬¥-â x 2 M. Žâáî¤ (x¡1g)' = (x')¡1g' = 1, â ª çâ® x¡1g 2 H. Ž¡®§- ç ï h = x¡1g, ¨¬¥¥¬ ¯®í⮬ã g = xh 2 MH.

•â® § ¬¥ç -¨¥ ¤¥« ¥â à ¢-®á¨«ì-®áâì ã⢥ত¥-¨© 1) ¨ 2) ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤-®©. „¥©- á⢨⥫ì-®, ¥á«¨ ¯®¤¬-®¦¥á⢮ M £à㯯ë G ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®, â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î

¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â g 2 G, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 饣® ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã M, - ©¤¥âáï â ª®© £®- ¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë G ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã, çâ® g' 2= M'. Ÿ¤à® H £®¬®¬®à䨧¬ ' ï¥âáï -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯®© ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, ¨ â ª ª ª ¢¢¨¤ã í⮣® § ¬¥ç -¨ï g 2= MH, á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ã⢥ত¥-¨ï 2) ¤®ª § - . Ž¡à â-®, ¥á«¨ 2) ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¨ í«¥¬¥-â g £à㯯ë G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã M, ¢ë¡¥à¥¬ -®à¬ «ì- -ãî ¯®¤£à㯯ã H ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G â ª, ç⮡ë í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã MH. …᫨ ⥯¥àì ' ®¡®§- ç ¥â ¥áâ¥á⢥--ë© £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯ë G - ä ªâ®à-£à㯯ã G=H, â® ¯®áª®«ìªã Ker ' = H, ¨§ ⮣® ¦¥ § ¬¥ç -¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® g' 2= M'. •®áª®«ìªã ä ªâ®à-£à㯯 G=H ª®-¥ç- , £®¬®¬®à䨧¬ ' 㤮¢«¥â¢®àï¥â

¢á¥¬ âॡ®¢ -¨ï¬ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ä¨-¨â-®© ®â¤¥«¨¬®áâ¨.

• ¢-®á¨«ì-®áâì ã⢥ত¥-¨© 2) ¨ 3) á«¥¤ã¥â ¨§ í«¥¬¥-â à-ëå ⥮à¥â¨ª®-¬-®¦¥- á⢥--ëå à áá㦤¥-¨©. …᫨ M ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ¢ G, â® ¤«ï «î¡®© -®à¬ «ì-®©

25

¯®¤£à㯯ë H ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G ¯®¤¬-®¦¥á⢮ MH â ª¦¥ ï¥âáï ¯®¤- £à㯯®©, ¨¬¥î饩, ª ⮬㠦¥, ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá ¢ £à㯯¥ G. •®í⮬ã 4) á«¥¤ã¥â ¨§ 3). ‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ¥á«¨ 4) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¥á«¨ í«¥¬¥-â g £à㯯ë G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ M, â® í«¥¬¥-â g -¥ ¡ã¤¥â ¯à¨- ¤«¥¦ âì -¥ª®â®à®© ¯®¤£à㯯¥ U, ᮤ¥à¦ - 饩 ¯®¤£à㯯ã M ¨ ¨¬¥î饩 ¢ G ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá. ’®£¤ í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ MH, £¤¥ H | -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, «¥¦ -

é ï ¢ ¯®¤£à㯯¥ U, ¨ ¯®â®¬ã á¯à ¢¥¤«¨¢® ã⢥ত¥-¨¥ 2). •à¥¤«®¦¥-¨¥ ¯®«-®áâìî ¤®ª § -®.

Žâ¬¥ç¥-- ï ¢ëè¥ á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ä¨-¨â-®© ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®áâìî £àã¯¯ë ¨ ä¨-¨â- -®© ®â¤¥«¨¬®áâìî ¥¥ ¥¤¨-¨ç-®© ¯®¤£àã¯¯ë ¢ - ¨¡®«¥¥ ®¡é¥© ä®à¬¥ ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ã- î騬 ®¡à §®¬.

•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.4. •®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 H £à㯯ë G ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â-

¤¥«¨¬®© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ä ªâ®à-£à㯯 G=H ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨àã- ¥¬ .

„®ª § ⥫ìá⢮. •à¥¤¯®«®¦¨¬ á- ç « , çâ® ¯®¤£à㯯 H ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ , ¨

¯®ª ¦¥¬, ç⮠⮣¤ ¤«ï «î¡®£® -¥¥¤¨-¨ç-®£® í«¥¬¥-â ä ªâ®à-£à㯯ë G=H ¬®¦-®

㪠§ âì -¥ ᮤ¥à¦ éãî ¥£® ¯®¤£à㯯㠪®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá . ‚¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 1.1.2 íâ® ¨ ¡ã¤¥â ®§- ç âì ä¨-¨â-ãî ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®áâì £à㯯ë G=H.

•¥¥¤¨-¨ç-ë© í«¥¬¥-â ä ªâ®à-£à㯯ë G=H ¨¬¥¥â ¢¨¤ gH, £¤¥ í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- - ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H. ˆ§ ä¨-¨â-®© ®â¤¥«¨¬®á⨠H ¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.1.3 á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ -¨¥ â ª®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯ë N ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, çâ® í«¥- ¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ã HN. ’ ª ª ª ¯®¤£à㯯ë H ¨ N -®à¬ «ì-ë, íâ® ¯®¤¬-®¦¥á⢮ ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë G (¤«ï í⮣®, ¢¯à®ç¥¬, ¤®áâ â®ç-® -®à- ¬ «ì-®á⨠®¤-®© ¨§ -¨å), ¨¬¥î饩, ª ⮬㠦¥, ¢¢¨¤ã ¢ª«îç¥-¨ï N 6 HN ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá ¢ G. •®áª®«ìªã ¨ H 6 HN, ¯® ⥮६¥ ® ᮮ⢥âá⢨¨ HN=H ï¥âáï ¯®¤- £à㯯®© ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá ä ªâ®à-£à㯯ë G=H, ¯à¨ç¥¬ í«¥¬¥-â gH ¢ íâã ¯®¤£à㯯ã

-¥ ¢å®¤¨â.

Ž¡à â-®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ä ªâ®à-£à㯯 G=H ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬 , ¨ ¯ãáâì í«¥¬¥-â g 2 G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H. ’®£¤ ᬥ¦-ë© ª« áá gH ï¥âáï -¥¥¤¨-¨ç-ë¬ í«¥¬¥-⮬ £à㯯ë G=H, ¨ ¯®â®¬ã ¢ í⮩ £à㯯¥ ¤®«¦- - ©â¨áì ¯®¤-

£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá , -¥ ᮤ¥à¦ é ï í«¥¬¥-â	gH. •® ⥮६¥ ® ᮮ⢥âá⢨¨
íâ ¯®¤£à㯯 ¬®¦¥â ¡ëâì ®¤-®§- ç-® ¯à¥¤áâ ¢«¥-	¢ ¢¨¤¥ N=H ¤«ï -¥ª®â®à®© ¯®¤-

£à㯯ë N £à㯯ë G, ᮤ¥à¦ 饩 ¯®¤£à㯯ã H, ¨¬¥î饩 ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá ¢ G ¨ -¥ ᮤ¥à¦ 饩 í«¥¬¥-â g. ’ ª ª ª ¨§ ¢ª«îç¥-¨ï H 6 N á«¥¤ã¥â à ¢¥-á⢮ N = HN,

¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤«ï ¯®¤£à㯯ë H ¢ë¯®«-¥-® ã⢥ত¥-¨¥ 2) ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.1.3, ¨ ä¨-¨â- ï ®â¤¥«¨¬®áâì í⮩ ¯®¤£àã¯¯ë ¤®ª § - .

„®ª § --®¥ ¯à¥¤«®¦¥-¨¥ ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨¢¥á⨠¯à¨¬¥à ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© £à㯯ë, -¥ª®â®à ï ¯®¤£à㯯 ª®â®à®© -¥ ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®©. •ãáâì p |

¯à®á⮥ ç¨á«® ¨ ¯ãáâì Qp | £à㯯 p-¨ç-ëå ¤à®¡¥©, â. a¥. ¯®¤£à㯯			¤¤¨â¨¢-®©
£à㯯ë Q à 樮- «ì-ëå ç¨á¥«, á®áâ®ïé ï ¨§ ç¨á¥« ¢¨¤		, £¤¥ a ¨ n > 0 | ¯à®¨§-
	pn
¢®«ì-ë¥ æ¥«ë¥ ç¨á« . • ¯®¬-¨¬, çâ® ¢ ᨫ㠯।«®¦¥-¨ï 1.1.7 £à㯯			Qp ä¨-¨â-®
26

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pn + i sin 2pn ¶

= 1;

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2¼a

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pn

ª®¬¯«¥ªá-®¥ ç¨á«® z = cos

2¼a

+i sin

2¼a

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pn

pn

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£®¬®¬®à䨧¬ ' ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®¤£à㯯®© Z, ¨ ¯® ⥮६¥ ® £®¬®¬®à䨧¬ å ä ªâ®à-

£à㯯 Qp=Z ¨§®¬®àä- ª¢ §¨æ¨ª«¨ç¥áª®© £à㯯¥ Cp1 ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, -¥ ï¥âáï ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®©. ‚¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.1.4 íâ® ®§- ç ¥â, çâ® ¢ £à㯯¥ Qp ¯®¤£à㯯 Z -¥ ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®©.

‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ¯®áª®«ìªã ª ¦¤ ï ä ªâ®à-£à㯯 ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© ¡¥«¥-
¢®© £à㯯ë ⮦¥ ï¥âáï ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®©		¡¥«¥¢®© £à㯯®©, ¨§ ¯à¥¤«®¦¥-¨©
1.2.5 ¨ 2.1.4 ¯®«ãç ¥¬
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.5. •à®¨§¢®«ì- ï ¯®¤£à㯯		ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®©	¡¥«¥¢®©
£à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ .
‹î¡ ï -¥æ¨ª«¨ç¥áª ï ᢮¡®¤- ï £à㯯	ᮤ¥а¦¨в ¯®¤£аг¯¯г, -¥ п¢«пойгобп д¨-
-¨â-® ®â¤¥«¨¬®©. „¥©á⢨⥫ì-®, ¢ ¯ à £à ä¥ 1 ¡ë«® ãáâ -®¢«¥-® áãé¥á⢮¢ -¨¥ -¥
ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© £à㯯ë á ¤¢ã¬ï ¯®à®¦¤ î騬¨ í«¥¬¥-â ¬¨. •â			£à㯯
ï¥âáï £®¬®¬®àä-ë¬ ®¡à §®¬ ᢮¡®¤-®© £à㯯ë à -£ 2, ¨ â ª ª ª «î¡ ï -¥æ¨ª«¨-
ç¥áª ï ᢮¡®¤- ï £à㯯 ¬®¦¥â ¡ëâì £®¬®¬®àä-® ®â®¡à ¦¥- - ᢮¡®¤-ãî £à㯯ã
à -£ 2, á।¨ £®¬®¬®àä-ëå ®¡à §®¢ ª ¦¤®© -¥æ¨ª«¨ç¥áª®© ᢮¡®¤-®© £àã¯¯ë ¢áâà¥-
ç îâáï £à㯯ë, -¥ ïî騥áï ä¨-¨â-®	¯¯à®ªá¨¬¨à㥬묨. Ÿ¤à ᮮ⢥âáâ¢ãî-
й¨е £®¬®¬®ад¨§¬®¢ ¨ п¢«повбп ¯а¨¬¥а ¬¨ -¥®в¤¥«¨¬ле ¯®¤£аг¯¯. ’¥¬ -¥ ¬¥-¥¥,
¨¬¥¥â ¬¥áâ®

•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.6. ‚ «î¡®© ᢮¡®¤-®© £à㯯¥ ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥ ¯®¤- £à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë.

•â® ã⢥ত¥-¨¥ á«¥¤ã¥â -¥¯®á।á⢥--® ¨§ ¨§¢¥áâ-®© â¥®à¥¬ë Œ. •®«« , á«¥¤ã- î騩 ãᨫ¥--ë© ¢ ਠ-â ª®â®à®© - §ë¢ îâ ⥯¥àì ⥮६®© •¥à-á { •®«« (á¬. [6], áâà. 34):

•ãáâì F | ᢮¡®¤- ï £à㯯 , A | ª®-¥ç-®¥ ¬-®¦¥á⢮ í«¥¬¥-⮢ £à㯯ë F

¨ H | ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥-- ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë F , ¨¬¥îé ï ¯ãá⮥ ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ á

27

¬-®¦¥á⢮¬ A. ’®£¤ ¯®¤£à㯯 H ï¥âáï ᢮¡®¤-ë¬ ¬-®¦¨â¥«¥¬ -¥ª®â®à®© ¯®¤£à㯯ë L ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë F , ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ ª®â®à®© á ¬-®¦¥á⢮¬ A

⪦¥ ¯ãáâ®.

‚ç áâ-®áâ¨, ¤«ï «î¡®© ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© ¯®¤£à㯯ë H £à㯯ë F ¨ «î¡®£® í«¥¬¥-â f 2 F , -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 饣® H, áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë F , ᮤ¥à¦ é ï ¯®¤£à㯯ã H ¨ -¥ ᮤ¥à¦ é ï í«¥¬¥-â f. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¤£à㯯 H ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥¬ ¢á¥å ᮤ¥à¦ é¨å ¥¥ ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-- ¤¥ªá £à㯯ë F , ¨ ¯®â®¬ã ¢ ᨫ㠯।«®¦¥-¨ï 2.1.3 ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ .

‚¤ «ì-¥©è¥¬ - á ¡ã¤ãâ ¨-â¥à¥á®¢ âì £à㯯ë, ¢ ª®â®àëå ¨«¨ ¢á¥ ¯®¤£à㯯ë ä¨- -¨â-® ®â¤¥«¨¬ë, ¨«¨ ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥ ¯®¤£à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë, ¨«¨ ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥ ¯®¤£à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë; £à㯯ã, ¢ ª®â®à®© ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥ ¯®¤£à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë, - §ë¢ îâ ¼c-£à㯯®©. •® - «®£¨¨ á ¯à¥¤«®¦¥-¨¥¬ 1.1.3 «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥á«¨ ¢ -¥ª®â®à®© £à㯯¥ G ¢á¥ (¨«¨ ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥,

¨«¨ ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥) ¯®¤£à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë, â® ¨ ¢ «î¡®© ¯®¤£à㯯¥ £à㯯ë G ¡ã¤ãâ ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë¬¨ ¢á¥ (¨«¨, ᮮ⢥âá⢥--®, ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥,

¨«¨ ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥) ¯®¤£à㯯ë. ‘¯à ¢¥¤«¨¢ â ª¦¥ ¨ á«¥¤ãî騩 - «®£ ¯à¥¤«®¦¥- -¨ï 1.1.4:

•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.7. •ãáâì H | ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G. …᫨ ¢ £à㯯¥ H ¢á¥ (¨«¨ ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥, ¨«¨ ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥) ¯®¤£à㯯ë ä¨-

-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë, â® ¨ ¢ £à㯯¥ G ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë ¢á¥ (¨«¨, ᮮ⢥âá⢥--®, ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥, ¨«¨ ¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥) ¯®¤£à㯯ë.

„®ª § ⥫ìá⢮. •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¯®¤£à㯯 H £à㯯ë G ¨¬¥¥â ª®-¥ç-ë© ¨-- ¤¥ªá ¢ G ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤-®¬ã ¨§ á«¥¤ãîé¨å ãá«®¢¨©:

(i)¢á¥ ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë H ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë;

(ii)¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥ ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë H ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë;

(iii)¢á¥ 横«¨ç¥áª¨¥ ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë H ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë.

‘ãç¥â®¬ ¯à¥¤ë¤ã饣® § ¬¥ç -¨ï (¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 1.1.1) ¬ë ¬®¦¥¬ ¡¥§ ¯®â¥à¨ ®¡é-®á⨠¯à¥¤¯®« £ âì â ª¦¥, çâ® ¯®¤£à㯯 H -®à¬ «ì- ¢ £à㯯¥ G.

•ãáâì A | ¯à®¨§¢®«ì- ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G ¨ í«¥¬¥-â g 2 G -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ A. •®ª ¦¥¬, çâ® ¥á«¨

1)¢ë¯®«-¥-® ãá«®¢¨¥ (i), ¨«¨

2)A ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥- ¨ ¢ë¯®«-¥-® ãá«®¢¨¥ (ii), ¨«¨

3)A 横«¨ç¥áª ï ¨ ¢ë¯®«-¥-® ãá«®¢¨¥ (iii),

â® ¢ £à㯯¥ G áãé¥áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 N, ¨¬¥îé ï ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá ¢ G ¨ â ª ï, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ AN.

…᫨ í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ AH, â® ¤®ª §ë¢ âì -¥ç¥£®, â ª ª ª

âà¥¡ã¥¬ë¬ á¢®©á⢮¬ ®¡« ¤ ¥â ¯®¤£à㯯 N = H. •ãáâì g 2 AH, â. ¥. g = ah ¤«ï -¥ª®â®àëå í«¥¬¥-⮢ a 2 A ¨ h 2 H. •®« £ ï A1 = A \ H, ¯®«ãç ¥¬ ¯®¤£à㯯ã A1 £à㯯ë H, -¥ ᮤ¥à¦ éãî, ®ç¥¢¨¤-®, í«¥¬¥-â h í⮩ £à㯯ë.

…᫨ £à㯯 A ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©, ⮠横«¨ç¥áª®© ¡ã¤¥â, à §ã¬¥¥âáï, ¨ £à㯯 A1. “⢥ত ¥âáï â ª¦¥, çâ® ¥á«¨ £à㯯 A ï¥âáï ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®©, â® ª®-

-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© ¡ã¤¥â ¨ £à㯯 A1. „¥©á⢨⥫ì-®, ¯®áª®«ìªã ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç- 28

-®£® ¨-¤¥ªá -¥ª®â®à®© £àã¯¯ë ¢ëᥪ ¥â ¢ ª ¦¤®© ¯®¤£à㯯¥ í⮩ £àã¯¯ë ¯®¤£à㯯㠪®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá , ¨-¤¥ªá ¯®¤£à㯯ë A1 ¢ £à㯯¥ A ª®-¥ç¥-. •® ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-

-®£® ¨-¤¥ªá ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© £à㯯ë á ¬ ï¥âáï ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--®© (á¬., - ¯à., [1], áâà. 132).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ «î¡®¬ ¨§ ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨© 1), 2) ¨«¨ 3) A1 ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®© ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë H, ¨ ¯®â®¬ã áãé¥áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 K ª®- -¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë H â ª ï, çâ® í«¥¬¥-â h -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ A1K. ’ ª ª ª ¨-¤¥ªá ¯®¤£à㯯ë H ¢ £à㯯¥ G ª®-¥ç¥-, K ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, ¨ ¯®â®¬ã ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯ã N, -®à¬ «ì-ãî ¢ £à㯯¥ G ¨ ¨¬¥î- éãî ¢ G ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá. •®áª®«ìªã N 6 K, í«¥¬¥-â h -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ A1N, ¨ ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ AN, â. ¥. ¯®¤£à㯯

N ¨áª®¬ ï.

, â. ¥.

=

1

¤«ï -¥ª®â®àëå í«¥¬¥-⮢

1

A ¨ x

N.

•ãáâì, - ¯à®â¨¢,

g 2 AN

2

g

a

x

a

1. ’ ª2ª ª

’ ª ª ª, ª ⮬㠦¥, g = ah, ¨¬¥¥¬ à ¢¥-á⢮ ah = a1x, â. ¥. a¡1a1 = hx¡

«¥¢ ï ç áâì ¯®á«¥¤-¥£® à ¢¥-áâ¢

ï¥âáï í«¥¬¥-⮬ ¯®¤£à㯯ë A,

¯à ¢ ï ç áâì

| í«¥¬¥-⮬ ¯®¤£à㯯ë H, ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«îç¥-¨¥ a¡1a1

2

A1. Žâáî¤

h = (a¡1a1)x

2

A1N, çâ® -¥¢®§¬®¦-®. •à¥¤«®¦¥-¨¥ ¤®ª § -®.

2.2. ”¨-¨â- ï ®â¤¥«¨¬®áâì ¯®¤£à㯯 ¯àï¬ëå ¯à®¨§¢¥¤¥-¨© £à㯯

‘«¥-

¤ãî饥 ã⢥ত¥-¨¥ ï¥âáï ç áâ-ë¬ á«ãç ¥¬ ⥮६ë, ¤®ª § --®© ¢ ¡®«¥¥ ®¡é¥©

á¨âã 樨 €. ˆ. Œ «ìæ¥¢ë¬ ([3, ⥮६

4]).

•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.2.1. •àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ª®-¥ç-®£® ᥬ¥©áâ¢

£à㯯, ¢á¥ ¯®¤-

£àã¯¯ë ª®â®àëå ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë, â ª¦¥ ï¥âáï £à㯯®©, ¢á¥ ¯®¤£àã¯¯ë ª®-

â®à®© ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë.

„®ª § ⥫ìá⢮.

Žç¥¢¨¤-ë¥ ¨-¤ãªâ¨¢-ë¥ á®®¡à ¦¥-¨ï (á¬. § ¬¥ç -¨¥ ¯®á«¥

¯à¥¤«®¦¥-¨ï 1.2.2) ¯®§¢®«ïîâ ®£à -¨ç¨âìáï à áᬮâà¥-¨¥¬ ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï

¤¢ãå £à㯯.

•ãáâì £à㯯 G ï¥âáï ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ £à㯯 A ¨ B ¨ ¯ãáâì ¢ £à㯯 å

A ¨ B ¢á¥ ¯®¤£à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë. ‡¤¥áì - ¬ ¡ã¤¥â 㤮¡-® ¯®«ì§®¢ âìáï ¢-ãâ-

à¥--¨¬ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® A ¨ B | ¯®í«¥¬¥-â-® ¯¥à¥áâ -®¢®ç-ë¥ ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë G, G = AB ¨ A \B = 1. ‚

ç áâ-®áâ¨, - ¯®¬-¨¬, ¯à®¨§¢®«ì-ë© í«¥¬¥-â g 2 G ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ g = ab, £¤¥ a 2 A ¨ b 2 B, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨-á⢥--ë¬ á¯®á®¡®¬; ᮬ-®¦¨â¥«¨ a ¨ b нв®© § ¯¨б¨ п¢«повбп ¯а®¥ªж¨п¬¨ н«¥¬¥-в g - ¯®¤£à㯯ë A ¨ B ᮮ⢥âá⢥--®.

•ãáâì H | ¯à®¨§¢®«ì- ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G ¨ ¯ãáâì í«¥¬¥-â g 2 G, -¥ ¯à¨- - ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H. •ãáâì g = ab, £¤¥ a 2 A ¨ b 2 B. • ¬ -¥®¡å®¤¨¬® ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ -¨¥ â ª®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯ë N ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë G, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ HN.

•ãáâì C ¨ D ®¡®§- ç î⠯஥ªæ¨¨ ¯®¤£à㯯ë H - ¯àï¬ë¥ ᮬ-®¦¨â¥«¨ A ¨ B ᮮ⢥âá⢥--®. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, C | ¯®¤£à㯯 £à㯯ë A, á®áâ®ïé ï ¢ â®ç-®á⨠¨§ â ª¨å í«¥¬¥-⮢ c 2 A, çâ® ¤«ï -¥ª®â®à®£® x 2 B í«¥¬¥-â cx ¢å®¤¨â ¢ ¯®¤£à㯯ã H. €- «®£¨ç-®, ¯®¤£à㯯 D £à㯯ë B á®á⮨⠨§ â ª¨å í«¥¬¥-⮢ d 2 B, çâ® ¤«ï -¥ª®-

â®à®£® x 2 A í«¥¬¥-â xd ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H. ˆ§ ®â¬¥ç¥--®© ¢ëè¥ ®¤-®§- ç- 29

-®á⨠§ ¯¨á¨ í«¥¬¥-⮢ £à㯯ë G á«¥¤ã¥â, ®ç¥¢¨¤-®, çâ® - è í«¥¬¥-â g ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ CD ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a 2 C ¨ b 2 D.

…᫨ í«¥¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ C, â® ¯®áª®«ìªã C ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®© ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë A, - ©¤¥âáï -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 R ª®-¥ç-®£® ¨-- ¤¥ªá £à㯯ë A â ª ï, çâ® í«¥¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ CR. ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® N = RB | -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G ¨ çâ® á¨á⥬ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© «¥¢ëå ᬥ¦-ëå ª« áᮢ £à㯯ë A ¯® ¯®¤£à㯯¥ R ¡ã¤¥â â ª¦¥ á¨á⥬®© ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© «¥- ¢ëå ᬥ¦-ëå ª« áᮢ £à㯯ë G ¯® ¯®¤£à㯯¥ N. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨-¤¥ªá ¯®¤£à㯯ë N ¢ £à㯯¥ G ª®-¥ç¥-. “⢥ত ¥âáï, çâ® g 2= HN. …᫨, - ¯à®â¨¢, g = hu, £¤¥ h 2 H ¨ u 2 N, ¨ ¥á«¨ h = x1y1, u = x2y2, £¤¥ x1 2 A, x2 2 R ¨ y1; y2 2 B, â®, ¯®áª®«ìªã ⮣¤ g = (x1x2)(y1y2), ¨¬¥¥¬ a = x1x2, ¨ â ª ª ª x1 2 C ¨ x2 2 R, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã ¯®¤£à㯯ë R. €- «®£¨ç-® à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ b 2= D.

•ã¤¥¬ ⥯¥àì áç¨â âì, çâ® a 2 C ¨ b 2 D, ¨ ¯®â®¬ã í«¥¬¥-âë ay ¨ xb ¯à¨- ¤«¥¦ â ¯®¤£à㯯¥ H ¤«ï ¯®¤å®¤ïé¨å x 2 A ¨ y 2 B. •®áª®«ìªã í«¥¬¥-â g = ab -¥ ¯à¨- ¤- «¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H, í⮩ ¯®¤£à㯯¥ -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¨ í«¥¬¥-â y¡1b = (ay)¡1(ab). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥-â y¡1b £à㯯ë B -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¥¥ ¯®¤£à㯯¥ L = B \ H, §- ç¨â -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ LS ¤«ï ¯®¤å®¤ï饩 -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯ë S ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë B. •®« £ ï H1 = HS, ¯®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤- «¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H1. „¥©á⢨⥫ì-®, ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë g = hs ¤«ï -¥ª®â®àëå h 2 H ¨ s 2 S, ¨ ¥á«¨ h = x1y1, £¤¥ x1 2 A ¨ y1 2 B, â® a = x1 ¨ b = y1s. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯®¤£à㯯 H ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥-âë ay ¨ ay1, ¨ ¯®â®¬ã í«¥¬¥-â y¡1y1 ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ L. Žâáî¤ y¡1b = (y¡1y1)s 2 LS, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã

¯®¤£à㯯ë S.

’ ª ª ª ¯®¤£à㯯 H1 ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥-â xb ¨ -¥ ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥-â g = ab, í«¥¬¥-â x¡1a £à㯯ë A -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¥¥ ¯®¤£à㯯¥ K = A \ H1. •®í⮬㠤«ï -¥ª®â®à®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯ë R ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë A x¡1a 2= KR. …᫨ ⥯¥àì ¯à¥¤- ¯®«®¦¨âì, çâ® í«¥¬¥-â g «¥¦¨â ¢ ¯®¤£à㯯¥ H1R, â® g = hr ¤«ï -¥ª®â®àëå h 2 H1 ¨ r 2 R. ‘-®¢ § ¯¨áë¢ ï h = x1y1, £¤¥ x1 2 A ¨ y1 2 B, ¯®«ã稬 a = x1r ¨ b = y1. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯®¤£à㯯 H1 ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥-âë xb ¨ x1b, ¨ ¯®â®¬ã í«¥¬¥-â x¡1x1 ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ K. •®í⮬ã x¡1a = (x¡1x1)r 2 KR, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë- ¡®àã ¯®¤£à㯯ë R.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥-â g -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H1R = HN, £¤¥ N = RS |

-®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G, ¨¬¥îé ï, ®ç¥¢¨¤-®, ª®-¥ç-ë© ¨-¤¥ªá ¢ G. •à¥¤- «®¦¥-¨¥ ¤®ª § -®.

‘®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ã⢥ত¥-¨¥ ¤«ï ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ëå ¯®¤£à㯯 ®ª §ë¢ ¥âáï -¥¢¥à-ë¬. „®ª § --®¥ ¢ëè¥ ¯à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1.6 ã⢥ত ¥â, çâ® ¢ «î¡®© ᢮¡®¤-®© £à㯯¥ ¢á¥ ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ë¥ ¯®¤£à㯯ë ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬ë. ‚¬¥á⥠á ⥬ ¨¬¥¥â ¬¥áâ®

•а¥¤«®¦¥-¨¥ 2.2.2. •аאַ¥ ¯а®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ге б¢®¡®¤-ле £аг¯¯ а -£ 2 ᮤ¥а- ¦¨в ª®-¥з-® ¯®а®¦¤¥--го ¯®¤£аг¯¯г, -¥ п¢«пойгобп д¨-¨в-® ®в¤¥«¨¬®©.

„®ª § ⥫ìá⢮. „«ï ¯®áâ஥-¨ï âॡ㥬®© ¯®¤£àã¯¯ë ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï -¥ª®â®à ï £à㯯 G, § ¤ -- ï ¢ á¨á⥬¥ ¤¢ãå ¯®à®¦¤ îé¨å a ¨ b ª®-¥ç-ë¬ ¬-®-

30

a¡1 "f1a"1

¦¥á⢮¬ W ®¯à¥¤¥«ïîé¨å á«®¢ ¨ -¥ ïîé ïáï ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®©. (Š®--

ªà¥â-ë¬ ¯à¨¬¥à®¬ â ª®© £àã¯¯ë ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ®¤- ¨§ £à㯯 • ã¬á« £				{ ‘®«¨âíà
G =	a; b; a¡1b2a = b3	i	; ¨§¢¥áâ-® (¨ ¯®§¦¥ ¡ã¤¥â ¤®ª § -® §¤¥áì), çâ® ®-	-¥ ï¥âáï
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ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®©.)

ˆâ ª, ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¢ ᢮¡®¤-®© £à㯯¥ F ᮠ᢮¡®¤-묨 ¯®à®¦¤ î騬¨ a; b 䨪á¨à®¢ -® ª®-¥ç-®¥ ¬-®¦¥á⢮ í«¥¬¥-⮢ W â ª®¥, çâ® ¥á«¨ N ®¡®§- ç ¥â -®à- ¬ «ì-®¥ § ¬ëª -¨¥ ¢ £à㯯¥ F ¬-®¦¥á⢠W (â. ¥. - ¨¬¥-ìèãî ¨§ -®à¬ «ì-ëå ¯®¤- £à㯯 £à㯯ë F , ᮤ¥à¦ é¨å W ), â® ä ªâ®à-£à㯯 G = F=N -¥ ï¥âáï ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®© â. ¥. ¯®¤£à㯯 N £à㯯ë F -¥ ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®©.

Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ P (¢-¥è-¥¥) ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå íª§¥¬¯«ï஢	£à㯯ë F ;
â ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥-â ¬¨ £à㯯ë P п¢«повбп ¢б¥¢®§¬®¦-л¥ ¯ ал ¢¨¤	(f; g), £¤¥

f; g 2 F . Žâ®¡à ¦¥-¨¥ ¾ £à㯯ë F ¢ £à㯯ã P , ᮯ®áâ ¢«ïî饥 í«¥¬¥-âã f

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F £à㯯ë P .2•®« £ ï u = (a; a), v = (b; b) ¨

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í«¥¬¥-â (f; 1) P , ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ £à㯯ë F - ¯®¤£à㯯ã F1 = (f; 1)

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ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®¤£à㯯®© N1 = N¾, ®âªã¤ ¨ ¡ã¤¥â á«¥¤®¢ âì, çâ® ¯®¤£à㯯

H -¥

ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®©. „¥©á⢨⥫ì-®, â ª ª ª ¯®¤£à㯯 N1

£à㯯ë F1

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ï¥âáï ä¨-¨â-® ®â¤¥«¨¬®©, áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥-â f1 2 F1, -¥ ¯à¨- ¤«¥¦ 騩 ¯®¤- £à㯯¥ N1, ®¡à § ª®â®à®£® ¯à¨ «î¡®¬ £®¬®¬®à䨧¬¥ £à㯯ë F1 ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ®¡à §¥ ¯®¤£à㯯ë N1. •®áª®«ìªã F1 \ H = N1, íâ®â í«¥¬¥-â f1 -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H, â ª ª ª ®£à -¨ç¥-¨¥ - ¯®¤£à㯯ã F1 ¯à®¨§¢®«ì-®£® £®¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë P ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ £à㯯ë F1 ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã, í«¥¬¥-â f1' ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¯®¤£à㯯¥ N1', ¯®â®¬ã | ¨ ¢ ¯®¤- £à㯯¥ H'.

•¥à¥©¤¥¬ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã à ¢¥-á⢠F1 \ H = N1. ’ ª ª ª W1 µ F1 \ H ¨ N1 ï¥âáï - ¨¬¥-ì襩 -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë F1, ᮤ¥à¦ 饩 W1, ¤«ï ¤®ª -

§ ⥫ìáâ¢	¢ª«îç¥-¨ï N1 6 F1 \ H ¤®áâ â®ç-® ¯®ª § âì, çâ® F1 \ H | -®à¬ «ì- ï
¯®¤£à㯯	£à㯯ë F1. •®áª®«ìªã £à㯯 F1 ¯®à®¦¤ ¥âáï í«¥¬¥-â ¬¨ a1 = (a; 1) ¨

b1 = (b; 1), ¤«ï í⮣®, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¤®áâ â®ç-® ¯®-ïâì, çâ® ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â

f1 = (f; 1) ¨§ ¯®¤£à㯯ë F1 \ H ¨ ¯à®¨§¢®«ì-®£® " = §1 í«¥¬¥-âë a¡1 "f1a"1 ¨ b¡1 "f1b"1 ¯à¨- ¤«¥¦ â ¯®¤£à㯯¥ F1 \ H. ’ ª ª ª ¯à¨- ¤«¥¦-®áâì íâ¨å í«¥¬¥-⮢ ¯®¤£à㯯¥

F1 ®ç¥¢¨¤- , ®¯ïâì-â ª¨ ¤®áâ â®ç-® ¯®-ïâì, çâ® ®-¨ ¢å®¤ïâ ¢ ¯®¤£à㯯ã H. •® â ª ª ª í«¥¬¥-âë a2 = (1; a) ¨ b2 = (1; b) ª®¬¬ãâ¨àãîâ á ª ¦¤ë¬ í«¥¬¥-⮬ ¨§ ¯®¤£à㯯ë F1 ¨ u = a1a2 ¨ v = b1b2, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¨ ¢ á ¬®¬ ¤¥«¥

= (a1a2)¡"f1(a1a2)" = u¡"f1u" 2 H ¨ b¡1 "f1b"1 = (b1b2)¡"f1(b1b2)" = v¡"f1v" 2 H:

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ª«îç¥-¨¥ N1 6 F1 \ H ¤®ª § -®. „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à®â¨¢®¯®-

«®¦-®£® ¢ª«îç¥-¨ï ¢¢¥¤¥¬ ¢ à áᬮâà¥-¨¥ £à㯯ã R = G £ F , ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ 31

£à㯯 G = F=N ¨ F . •¥¯®á।á⢥-- ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ à £à㯯ë P ¢ £à㯯ã R, ¯¥à¥¢®¤ï饥 í«¥¬¥-â (f; g) 2 P ¢ í«¥¬¥-â (fN; g) 2 R, ï¢- «ï¥âáï £®¬®¬®àä-ë¬. ’ ª ª ª ¯à¨ £®¬®¬®à䨧¬¥ à ¢á¥ í«¥¬¥-âë ¨§ ¬-®¦¥á⢠W1 ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ 1, ®¡à § Hà ¯®¤£à㯯ë H ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë R, ¯®à®¦¤ -

¥¬®© í«¥¬¥-â ¬¨ uà = (aN; a) ¨ và = (bN; b). •®ª ¦¥¬, çâ® ¢ £à㯯¥ R ¯¥à¥á¥ç¥-
⥫ì-®, ¯à®¨§¢®«ì-ë©©	-¥¥¤¨-¨ç¯ -ë©		ª	HÃ
¯à¨ x1 = uà ¨ x2 = và -¥ª®â®à®¯		£® -¥¯ãá⮣® -¥á®ªà ⨬®£® á«®¢ w(x1; x2), â. ¥.
-¨¥ ¯®¤£à㯯 F1à =	(fN; 1) f 2 F		¨ HÃ à ¢-® ¥¤¨-¨ç-®© ¯®¤£à㯯¥. „¥©á⢨-
		í«¥¬¥-â ¨§ ¯®¤£à㯯ë			ï¥âáï §- ç¥-¨¥¬

¨¬¥¥â ¢¨¤ (w(a; b)N; w(a; b)). …᫨ íâ®â í«¥¬¥-â ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ F1Ã, â® ¥£® ¢â®à ï ª®¬¯®-¥-â w(a; b) ¤®«¦- ¡ëâì à ¢- 1, çâ® -¥¢®§¬®¦-®, ¯®áª®«ìªã í«¥¬¥-âë a ¨ b ᢮¡®¤-® ¯®à®¦¤ îâ £à㯯ã F .

’ ª ª ª (F1 \ H)à µ F1à \ HÃ, ¨§ ¤®ª § --®£® á«¥¤ã¥â, çâ® (F1 \ H)à = 1. …᫨ ⥯¥àì f1 = (f; 1) | ¯à®¨§¢®«ì-ë© í«¥¬¥-â ¨§ ¯®¤£à㯯ë F1 \ H, â® ¥£® Ã-®¡à § (fN; 1) ¤®«¦¥- ¡ëâì à ¢¥- ¥¤¨-¨æ¥ £à㯯ë R, íâ® ®§- ç ¥â, çâ® f 2 N, â. ¥. f1 2

N1. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«îç¥-¨¥ F1 \ H 6 N1, ¨ à ¢¥-á⢮ F1 \ H = N1 ¤®ª § -®.

…᫨ ¢¬¥áâ® ¯à®¨§¢®«ì-ëå ª®-¥ç-® ¯®à®¦¤¥--ëå ¯®¤£à㯯 à áᬠâਢ âì «¨èì 横«¨ç¥áª¨¥ ¯®¤£à㯯ë, á¨âã æ¨ï ¬¥-ï¥âáï:

•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.2.3. •àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå ¼c-£à㯯 ï¥âáï ¼c-£à㯯®©.

„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì £à㯯 G ï¥âáï ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¼c-£à㯯 A ¨ B; §¤¥áì, ª ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.2.2, 㤮¡-¥¥ ¯®«ì§®¢ âìáï ¢-¥è-¨¬

®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï. •ãáâì H | 横«¨ç¥áª ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G, ¯®à®¦¤¥-- ï í«¥¬¥-⮬ h = (c; d), ¨ ¯ãáâì í«¥¬¥-â g = (a; b) £à㯯ë G -¥ ¯à¨- ¤«¥- ¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H.

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯®áª®«ìªã ¢ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ ¼c-£à㯯ë âॡã¥âáï ä¨-¨â- ï ®â¤¥«¨¬®áâì ¢á¥å 横«¨ç¥áª¨å ¯®¤£à㯯, ¢ ⮬ ç¨á«¥ | ¥¤¨-¨ç-®©, â® ¯à®¨§¢®«ì- ï ¼c-£à㯯 ï¥âáï ä¨-¨â-® ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®©. •®í⮬㠣à㯯 G ï¥âáï ä¨-¨â-® ¯¯à®ª-

ᨬ¨à㥬®©, ¨ ¯®â®¬ã ¢¢¨¤ã ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.1.1 ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì ¯®¤£à㯯ã H ¡¥á-

ª®-¥ç-®©.

Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ C 横«¨ç¥áªãî ¯®¤£à㯯㠣à㯯ë A, ¯®à®¦¤¥--ãî í«¥¬¥-⮬ c, ¨ ç¥à¥§ D | 横«¨ç¥áªãî ¯®¤£à㯯㠣à㯯ë B, ¯®à®¦¤¥--ãî í«¥¬¥-⮬ d. …᫨ í«¥-

¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ C, â® ¯®áª®«ìªã A ï¥âáï ¼c-£à㯯®©, - ©¤¥âáï â ª ï -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 R ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë A, çâ® ¢ ä ªâ®à-£à㯯¥

A=R í«¥¬¥-â aR -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ CR=R. ‚롥६ ¥é¥ ¯à®¨§¢®«ì-ãî -®à- ¬ «ì-ãî ¯®¤£à㯯ã S ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë B ¨ à áᬮâਬ ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥- -¨¥ P = A=R £ B=S ä ªâ®à-£à㯯 A=R ¨ B=S. Žâ®¡à ¦¥-¨¥ ', ¯¥à¥¢®¤ï饥 í«¥¬¥-â (x; y) 2 G ¢ í«¥¬¥-â (xR; yS) 2 P , ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ £à㯯ë G ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã P . Ž¡à § H' ¯®¤£à㯯ë H ¯®à®¦¤ ¥âáï í«¥¬¥-⮬ h' = (cR; dS). …᫨ ¯à¥¤- ¯®«®¦¨âì, çâ® í«¥¬¥-â g' = (aR; bS) ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ H', â. ¥. ¤«ï -¥ª®â®à®£® 楫®£® ç¨á« t ¢ë¯®«-¥-® à ¢¥-á⢮ g' = (h')t, â® íâ® ®§- ç ¥â, çâ® aR = (cR)t ¨ bS = (dS)t. Žâáî¤ aR = ctR 2 CR=R, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã ¯®¤£à㯯ë R.

32

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥¤¯®« £ ï, çâ® í«¥¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ C, ¬ë - - 諨 £®¬®¬®à䨧¬ ' £à㯯ë G ¢ ª®-¥ç-ãî £à㯯ã â ª®©, çâ® g' 2= H'. €- «®£¨ç-® à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ í«¥¬¥-â b -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ D. Žáâ ¥âáï ¯à¥¤¯®«®¦¨âì ¯®í⮬ã, çâ® a = cm ¨ b = dn ¤«ï -¥ª®â®àëå 楫ëå ç¨á¥« m ¨ n. Žâ- ¬¥â¨¬, çâ® m 6= n, â ª ª ª ¨- ç¥ g = hm, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î g 2= H. ‡¤¥áì - ¬ ¯®âॡã¥âáï á«¥¤ãî饥 ¢á¯®¬®£ ⥫ì-®¥ ã⢥ত¥-¨¥.

‹¥¬¬ . „«ï «î¡®£® í«¥¬¥-â f ¡¥áª®-¥ç-®£® ¯®à浪 ¯à®¨§¢®«ì-®© ¼c-£à㯯ë F ¨ ¯à®¨§¢®«ì-®£® 楫®£® ç¨á« k > 0 áãé¥áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 R ª®-¥ç-®£®

¨-¤¥ªá F â ª ï, çâ® ¯®à冷ª í«¥¬¥-â fR ä ªâ®à-£à㯯ë F=R ¤¥«¨âáï - k.

„«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠®¡®§- 稬 ç¥à¥§ K 横«¨ç¥áªãî ¯®¤£à㯯㠣à㯯ë F , ¯®à®¦- ¤¥--ãî í«¥¬¥-⮬ fk. ’ ª ª ª ¯®à冷ª í«¥¬¥-â f ¡¥áª®-¥ç¥-, -¨ ®¤¨- ¨§ í«¥¬¥-⮢ f, f2, : : : , fk¡1 -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ K. •®í⮬㠤«ï ª ¦¤®£® i, 1 6 i 6 k¡1, áã- é¥áâ¢ã¥â -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 Ri ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë F â ª ï, çâ® fi 2= KRi.

	k¡1
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’®£¤ R =	Ri | -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯ë F
	=1

â ª ï, çâ® -¨ ®¤¨- ¨§ í«¥¬¥-⮢ f, f2, : : : , fk¡1 -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¯®¤£à㯯¥ KR. Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ r ¯®à冷ª í«¥¬¥-â fR ä ªâ®à-£à㯯ë F=R; â ª¨¬ ®¡à §®¬, r ¥áâì - ¨¬¥-ì襥 ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® â ª®¥, çâ® fr 2 R. •ãáâì â ª¦¥ l | - ¨¡®«ì訩 ®¡é¨© ¤¥«¨â¥«ì ç¨á¥« k ¨ r ¨ ¯ãáâì æ¥«ë¥ ç¨á« x ¨ y â ª®¢ë, çâ® kx + ry = l. ’®£¤

¯®áª®«ìªã 1 6 l 6 k ¨

fl = fkx+ry = (fk)x ¢ (fr)y 2 KR;

-¥à ¢¥-á⢮ l < k -¥¢®§¬®¦-®. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, l = k, â. ¥. ç¨á«® r ¤¥«¨âáï - k, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.

•à®¤®«¦¨¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.2.3. ’ ª ª ª ¯®¤£à㯯 H ¡¥áª®-¥ç- , ¨ ¯®â®¬ã ¡¥áª®-¥ç¥- ¯®à冷ª í«¥¬¥-â h, ¤«ï í«¥¬¥-⮢ c ¨ d ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¢®§¬®¦-

-®áâ¨: «¨¡® ®¡ íâ¨ í«¥¬¥-â ¨¬¥îâ ¡¥áª®-¥ç-ë© ¯®à冷ª, «¨¡® ¡¥áª®-¥ç¥- ¯®à冷ª ¢ â®ç-®á⨠®¤-®£® ¨§ -¨å.

• áᬮâਬ á- ç « ¯¥à¢ãî ¢®§¬®¦-®áâì. ’ ª ª ª m 6= n, ¬®¦-® ¢ë¡à âì 楫®¥ ç¨á«® k > 0, -¥ ¤¥«ï饥 à §-®áâì m¡n. ‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á «¥¬¬®© - ©¤¥¬ -®à¬ «ì-ë¥ ¯®¤£à㯯ë R ¨ S ª®-¥ç-®£® ¨-¤¥ªá £à㯯 A ¨ B ᮮ⢥âá⢥--® â ª, çâ®¡ë ¨ ¯®à冷ª r í«¥¬¥-â cR ä ªâ®à-£à㯯ë A=R, ¨ ¯®à冷ª s í«¥¬¥-â dS ä ªâ®à-£à㯯ë B=S ¡ë«¨ ªà â-ë ç¨á«ã k. •®« £ ï, ª ª ¨ ¢ëè¥,

P = A=R £ B=S;

¯®ª ¦¥¬, çâ® ®¯à¥¤¥«¥--ë© â ¬ ¦¥ £®¬®¬®à䨧¬ ' : G ! P ï¥âáï ¨áª®¬ë¬.

‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ¤«ï -¥ª®â®à®£® 楫®£® ç¨á« t ¢ë¯®«-¥-® à ¢¥-á⢮ g' = (h')t, â® á ãç¥â®¬ à ¢¥-á⢠a = cm ¨ b = dn íâ® ¡ã¤¥â ®§- ç âì, çâ® (cR)m = (cR)t ¨ (dS)n = (dS)t. •®н⮬㠤®«¦-л ¢л¯®«-пвмбп ба ¢-¥-¨п m ´ t (mod r) ¨ n ´ t (mod s). •®áª®«ìªã ç¨á« r ¨ s ¤¥«ïâáï - k, ®âáî¤ á«¥¤ãîâ áà ¢-¥-¨ï m ´ t (mod k) ¨ n ´ t (mod k), ¨§ ª®â®àëå ¯®«ãç ¥¬ m ´ n (mod k), çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã k.

33