Геометрические характеристики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЯ СЕЧЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Площадь поперечного сечения является геометрической характеристикой, определяющей напряжение стержня при растяжении-сжатии. При других видах деформации (изгиб, кручение) стержня напряжение зависит от других геометрических характеристик сечения.

Рассмотрим поперечное сечение произвольной формы. Назначим декартову систему координат. Выделим элементарную площадку dA. Обозначим расстояние от центра тяжести элементарной площадки до оси z через y, до оси y через z, до начала координат через ρ. Тогда геометрические характеристики поперечного сечения можно представить в виде момента площади

Площадь (А) – момент нулевого порядка .

Статический момент площади (S) – момент первого порядка , могут быть положительными, отрицательными, равными нулю. Единицы измерения [см³], [м³]. С помощью статического момента площади определяют координаты центра тяжести сечения y_с=S_z/А, z_с=S_y/А.

Момент инерции (I) - момент второго порядка. Различают осевые (I_z, I_y), центробежный (I_zy) и полярный (I_ρ) моменты инерции:

. Осевые моменты инерции (экваториальные моменты) относительно осей координат всегда положительны и отличны от нуля. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю. Полярный момент инерции используется для сечений круглой формы, всегда положительный и отличный от нуля. Все моменты инерции измеряются в [см⁴], [м⁴].

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЫХ ФИГУР

ПРЯМОУГОЛЬНИК ПОЛУКРУГ РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

КРУГ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СОСТАВНЫХ СЕЧЕНИЙ

Для определения геометрических характеристик составных сечений используется следующий подход. Сечение разбивают на несколько простых фигур, моменты инерции которых известны. В центре тяжести каждой фигуры назначают локальную систему координат. Выбирают систему координат относительно которой будет производится расчет. Затем все геометрические характеристики отдельных частей суммируются, а геометрические характеристики отверстий вычитаются. Пример приведен ниже.

Сечение сложной формы разбиваем на три прямоугольника,

назначаем локальные системы координат с началом в

центре тяжести каждого прямоугольника. Расчет

будем производить в системе координат yz.

Ось y - проходит через левую, а ось z -

через нижнюю грань составного сечения.

При вычислении геометрических характеристик

необходимо помнить, что статический момент

площади фигуры относительно центральных

осей всегда равен нулю, также, как и центробежный момент инерции симметричного сечения.

ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ

Аналогично формулам изменения нормальных и касательных напряжений при ПНС получены зависимости

Моменты инерции относительно центральных осей, т.е. осей, проходящих через центр тяжести сечения, называют центральными. Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в ноль, называют главными и относительно этих осей моменты инерции принимают экстремальное значение. Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то эти оси называют главными центральными, а моменты инерции относительно их – главными центральными моментами инерции.

Главные моменты инерции определяют, как Положение главных осей инерции можно найти с помощью формулы

Используя приведенный выше материал, вычислим геометрические характеристики сечений, не имеющих осей симметрии и симметричных сечений.

ПРИМЕР 1

Определить положение главных центральных осей инерции и вычислить моменты инерции относительно них. Поперечное сечение состоит из двух прокатных профилей: двутавра № 20 и уголка 10/6,3.

Решение

По сортаменту определим необходимые для расчета характеристики прокатного профиля. Необходимо обратить внимание на систему координат, принятую в сортаменте.

Двутавр №20: А=26,8см², b=10см, Уголок 10/6,3: А=15,5см,

I_x=1840см⁴, I_y=115см⁴, номер I_x=153см⁴, I_y=47,2см⁴, x₀=1,58см,

двутавра соответствует его. y₀=3,4см, I_xy=48,6см⁴.

высоте в см. В нашей Высота уголка составляет

системе координат 10см, а ширина полки 6,3см.

I_z1=I_x=1840см⁴, I_y1=I_y=115см⁴ I_y2=I_x=153см⁴, I_z2=I_y=47,2см⁴.

Пусть площадь двутавра будет А₁, а площадь уголка А₂, присвоим эти же индексы и остальным геометрическим характеристикам.

Назначим локальные системы координат, проходящие через центры тяжести двутавра и уголка. В строительстве принято направлять ось абсцисс вдоль стержня, тогда в поперечном сечении располагаются оси y и z.

1. Определим положение центра тяжести сечения (z_с, y_с)

Выберем за начало отсчета систему координат y₁ и z₁.

После нахождения координат нанесем с учетом знака на чертеж центр тяжести сечения. Если координаты были найдены верно, то центр тяжести должен находиться на прямой между центром тяжести двутавра и уголка. В данном случае эта проверка выполняется, поэтому можно приступить к следующим действиям. Проведем через центр тяжести центральные оси. Выставим расстояния от центральных осей сечения до осей, проходящих через центры тяжести уголка и двутавра. Все дальнейшие расчеты будут выполнены относительно центральных осей всего сечения.

2. Вычислим моменты инерции сечения

Т.к. центробежный момент инерции не равен нулю, значит, оси y и z не являются главными осями инерции.

4. Определим положение главных осей инерции

Нанесем главные оси инерции на чертеж, учитывая, что угол α₀ получился отрицательный, поэтому поворот осей осуществляется по ходу часовой стрелки. Ближе к исходной оси, относительно которой момент инерции был больше (I_z), располагается ось u_max, следовательно, рядом с осью, относительно которой момент инерции был меньше (I_y), будет находиться ось v_min.

5. Вычислим значения главных центральных моментов инерции сечения

4