Растчет статически неопределимых систем методом сил

1. Исходные данные

Необходимо выполнить расчет статически неопределимой рамы.

На рис.1, а показаны геометрические размеры рамы, заданная нагрузка: F = 9 кН, М = 6 кНм, q₁ = 3 кН/м, q₂ = 2 кН/м. Жесткость поперечных сечений горизонтальных элементов рамы EI₁ = 2EI, жесткость поперечных сечений вертикальных элементов рамы EI₂ = EI, жесткость поперечных сечений на растяжение-сжатие ЕА = 0,1EI. Жесткость . Изменение температуры. Высота прямоугольного поперечного сечения горизонтальных и наклонных элементов, высота прямоугольного поперечного сечения вертикальных элементов. Коэффициент линейного температурного расширения материала. Заданное смещение связей,.

Рис.1.

2. Вычисление степени статической неопределимости

На рис.1, б в кружках показана нумерация замкнутых контуров (К = 3) и во флажках – число простых цилиндрических шарниров (Н = 6). Степень статической неопределимости будет:

.

Простым шарниром называется шарнир, соединяющий два диска. Если шарнир соединяет n дисков, то Н = (n – 1).

3. Выбор трех вариантов основной системы метода сил

Основная система метода сил (ОСМС) – статически определимая и геометрически неизменяемая система, образованная из заданной путем удаления лишних связей. Количество лишних связей определяется степенью статической неопределимости.

Удалением двух лишних связей образовано три варианта ОСМС (рис.2, а, б, в). На этом же рисунке справа приведены схемы для кинематического анализа каждого из вариантов.

а)

б)

в)

Рис.2.

Вариант 1 (рис.2а):

Диски “1”, “2” и “0” соединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, и образуют геометрически неизменяемый диск, который мы назовем “Новая земля”. Диск “3” к диску “Новая земля” присоединяется при помощи шарнира и линейной связи, при этом ось связи не проходит через шарнир. Диски “3” и “Новая земля” образуют геометрически неизменяемую систему. В целом ОСМС (рис.2.а) геометрически неизменяема.

Вариант 2 (рис.2б):

Диски “1”, “2” и “0” соединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, и образуют геометрически неизменяемый диск, который мы назовем “Новая земля”. Диски “3”, “4” и “Новая земля” соединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, и образуют геометрически неизменяемый диск, который мы также назовем “Новая земля”. Диск “5” к диску “Новая земля” присоединяется при помощи шарнира и линейной связи, при этом ось связи не проходит через шарнир. Диски “5” и “Новая земля” образуют геометрически неизменяемую систему. В целом ОСМС (рис.2.б) геометрически неизменяема.

Вариант 3 (рис.2в):

Диски “1”, “2” и “0” соединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, и образуют геометрически неизменяемый диск, который мы назовем “Новая земля”. Диски “3”, “4” и “Новая земля” соединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, и образуют геометрически неизменяемый диск. В целом ОСМС (рис.2.в) геометрически неизменяема.

Для расчета заданной рамы выбран первый вариант ОСМС.

4. Построение необходимых эпюр внутренних усилий в единичных и грузовом состояниях осмс

В единичных состояниях определяются изгибающие моменты и строятся их эпюры. На рис.3, а представлена расчетная схема ОСМС с реакциями определенными от и эпюра изгибающих моментов. На рис.3, б и в – то же отисоответственно.

На рис.4, а представлена расчетная схема ОССМ с заданными постоянными нагрузками и реакциями и эпюра изгибающим моментов. На рис.4, б – то же от действия временных нагрузок.

в)

б)

а)

Рис.3.