Практическое занятие 5. Произведения векторов

Практическое занятие 5. Скалярное , векторное и смешанное произведения векторов.

Упражнение 1.

1)Что можно сказать о ненулевых векторах, если 1) a b

0,

2) a b

0

3) a b

0 ;

2) Что можно сказать о не нулевых векторах, если a

b

0 ;

3) Что можно сказать о не нулевых векторах, если1)

0, 2)

0, 3)

0

abc

abc

abc

Упражнение 2. Вычислить скалярное произведение векторов a

3;3; 2 .

1; 3;3 ,b

Упражнение 3. Даны точки M1 1; 3;2

, M2

3;1; 1 , M3 1;

1;0

. Вычислить координаты

векторов: 1) M1M3 M2 M3 M1M2 , 2)

M1M 2

M 2M3 M1M3 .

Упражнение 4. Используя скалярное произведение, вычислить:

1) проекцию вектора i

j

на вектор i

j ;

2) угол между векторами

2i

3 j

5k И

i

3k

Упражнение 5. Пусть задан вектор силы F

2;3;

5 .Определить величину усилия от действия

силы F в заданных направлениях :

a 1; 2;3

3) c 3;

2;0

1)

2)

b (2;

1; 1)

Пусть даны два вектора a 1;

2;3

Упражнение 6.

, b (2;

1; 1) требуется вычислить

1) a a b b , 2) a b a b .

Упражнение 7. Найти координаты единичного вектора, образующего равные углы с

осями координат.

Упражнение 8.	Какие углы образует вектор c				3; 2;0 с осями координат.
Упражнение 9.	Постоянная сила F 3; 2;			1 приложена к телу и перемещает его вдоль отрезка
прямой из точки M1 1; 2;5 в точку M2				3;1; 2	. Вычислить работу силы.

Векторное произведение векторов.

Упражнение 10. Вычислить определители:

	1	3 2		i		j	k				i		j		k
1)	3	4 1	2)	1	0		1			3)	1	0			1
	3	2 5		0	1		3					1 1			0

Упражнение 11. Для векторов a 1;1;3 ,b					2;1;2 , c 2;0;5 вычислить векторные
произведения:
1) a b; 2) a с; 3) с b; 4) a b c ; 5) a b									a b c
Упражнение 12. Вычислить площадь					ABC , где:

1)A 2; 3;1 ; B 0;3;1 ;C 1; 3;2

2)A 0; 3;0 ; B 2;3; 1 ;C 1;0;2

Упражнение 13. ВЫЧИСЛИТЬ МОМЕНТ СИЛЫ F , ПРИЛОЖЕННОЙ В ТОЧКЕ B , ОТНОСИТЕЛЬНО

ТОЧКИ A

1)	F			(1;	3;	5), A 1; 5; 7	, B 3; 7; 9 ;
2)		F		(2;	4;	1), A 1; 3; 0	, B 0; 3; 5 ;

Упражнение 14.				Найти все единичные вектора перпендикулярные векторам a 1;						2;3	,
b (2; 1; 1) .
Упражнение 15.				Найти все векторы перпендикулярные векторам a 1; 2;3 , b (2;						1;	1)
Смешанное произведение векторов.
Упражнение 16.				Для векторов a 1;1;3 ,b 2;1;2 , c 2;0;5 вычислить смешанное
произведение
			abc .

Упражнение 17. Вычислить объём пирамиды, если известны координаты её вершин

1) A 2;1;4 , B 1;2;3 ,C 6;0;2 , D 3;3;3 ;2) A 2;1;5 , B 5;0;3 ,C 4;0;8 , D 6; 2;6

Упражнение 18. Проверить являются ли векторы компланарными:

a 1;2;3 ,b 1;3;0 , c 0;5;3

Упражнение 19. Лежат ли точки A 1;2; 1 , B 3;3; 4 ,C 2;2;1 ; D 5;3;0 в одной и той же плоскости ?

Упражнение 20. Три вершины тетраэдра расположены в точках

M1 1;1; 1 , M2 2;0; 1 , M3 3; 2;1 . Найти координаты четвёртой вершины D,лежащей на оси OX ,если объём тетраэдра равен 4ед 3 .

Ответы и решения. Скалярное умножение векторов.

Упражнение 2.

0 ; Упражнение 3.

1)

12; 24;18 , 2)

0;

30;30 .

a b

Упражнение 4.

Решение.

1)

Сначала вычисляем векторы i

j

=

1;1;0 ,

i

j =(1; 1;0 ).

Затем по формуле

проекцию

i

j

i j

1;1; 0

1;

1; 0

0

ПР(

)

i

j

0

i

j

i

j

2

2

затем

2) Сначала вычисляем векторы 2i

3 j

5k

(2;

3;5),

i

3k

1;0;

3

cos

a b

2;

3;5

1; 0;3

17

0.9

по формуле

a

b

22

3 2

52

12

32

38

10

260

Упражнение 5.

Решение. 1)

0.9 . Усилие направлено противоположно направлению

ПРa F

вектора a . 2) ПРa F

0.13 .

направление усилия и направление вектора a совпадают.

3) ПРa F 0 . Сила перпендикулярна направлению и поэтому никакого усилия в направлении вектора a нет.

Упражнение 6. Ответ.1) 3; 3; 3 , 2) (3,-3,3). Упражнение 7.Решение. Единичный вектор,

образующий равные углы с осями координат вычисляем по формуле : e cos ;cos ;cos .

																															1
								cos2								cos2	cos2
	e		e																			3				cos				1 cos
																															3
Длина e равна			1							1			1					1				1						1
		e						;				;				и e				;						;
1			3				3						3		2		3					3						3

Упражнение 8. Указание. Каждая координата это проекция вектора на соответствующую ось.

3

340 . Аналогично определяются

3 ПР

c

c

cos

13 cos

cos

0.83

i

13

углы

1240 и

900 .

Упражнение 9. Ответ. А=3.

Векторное умножение векторов.

Упражнение 10. Определители вычисляем разложением по первой строке:

1) 50; 2) 1; 3;1 ; 3) 1; 1;1 .

Упражнение 11. Векторные произведения вычисляем по формуле

1) ( 1; 8;3), 2) (5;1; 2), 3) ( 5; 14; 2), 4) ( 6; 9;5),5) ( 2, 3, 6)

Упражнение 12. 1). Площадь вычисляем согласно формуле ,с учётом, что площадь треугольника в два раза меньше площади параллелограмма.

1 шаг. Вычисляем по формуле (4.14) векторное произведение, a b , где

a AB 2;6; 1 ;

b AC 1;0;1

													i			j		k
								a b			2				6			1			6; 1; 6
											1				0			1
2					шаг. Находим длину векторного произведения
					62		1 2	62
	a b									73					8.5 .			Площадь треугольника							ABC численно
равна половине							длины векторного произведения S																a b					8.5		4.25 (ед. 2 ).
																						ABC	2					2
2).Решая аналогично, получаем S																ABC					7.9 (ед. 2 ).

Упражнение 13. Указание. Используйте формулу вычисления момента силы.

Упражнение 14. Решение. Находим вектор c перпендикулярный заданным векторам

i

j

k

c

8.4 .

a , b c

a

b

1

2

3

5; 6;3

. Вычисляем длину вектора c .

2

1

1

c

Единичный вектор e перпендикулярный векторам a , b равен e

0.6; 0.7; 0.4 .

c

Вектор e1

e также перпендикулярен данным векторам a , b .

e и e1

Ответ.

Векторы

перпендикулярны векторам a , b .

Упражнение 15. Все данные вектора

коллинеарны вектору c из упражнения 13.

Ответом является вектор 5t;6t;3t , где t произвольный параметр.

Смешанное произведение векторов.

																									1	1	3
Упражнение 16.			Произведение вычисляем по формуле																						2	1	2	17
																						abc
																									2	0 5
Упражнение 17.			Решаем задачу 1). Согласно формуле вычисляем векторы
	AB	1;1;	1 , AC					4; 1; 2 , AD										1; 2;	1 .		Объём пирамиды равен
смешанному произведению
					1												1	1	1
			V				AB AC AD										4	1	2		12
				6
																	1	2	1
Решаем задачу 2) аналогичным образом V																			2.3.

Упражнение 18. Указание. Проверьте чему равно смешанное произведение.

Ответ. Да, являются.

Упражнение 19. Для этого нужно проверить компланарность векторов

AB 2;1; 3 ; AC 1;0; 2 ; AC 4;1;1 .

Ответ. Не лежат.

Упражнение 20. Согласно формуле объём пирамиды равен

			1
v						M					2 M4			M2 M3 M2 M1											. Вычисляем координаты векторов
			6
	M2M4										x 2;0;1 , M2M3													1;		3; 2		, M2M1		1;1;0	. Отсюда
																						x		2		0 1
																												2 2x . Выписываем формулу объёма
	M 2 M 4 M 2 M3																M 2 M1					1				3 2
																						1				1 0
v			1								2x		. Решая это уравнение получаем координаты вершины M 4
						2
			6
1) 4							1				2			2x			24					2			2x	x		11;
				6
2) 4									1		2x			2			24					2x		2		x		13;
				6
Ответ: Возможны две ситуации 1)M4																													11;0;0 ; 2)M4		13;0;0