П16

МЕТОД ПРОГОНКИ

-c	b 0
0 a

СЛАУ ИМЕЕТ ВИД:

− c x + b x				= f
	1 1	1	2		1
ai xi −1 − ci xi			+ bi xi +1 = fi , i = 2,..., n −1
		− cn xn		= fn
an xn −1

РЕШЕНИЕ ОТЫСКИВАЕТСЯ В ВИДЕ:

xi = αi +1 xi +1 + βi +1 , i = 1,2,...n −1

αi, βi –ПРОГОНОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

МЕТОД ПРОГОНКИ

2 ЭТАПА

•ПРЯМОЙ: ИЩЕМ ПРОГОНОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

•ОБРАТНЫЙ: ИЩЕМ РЕШЕНИЕ

ПРЯМОЙ ЭТАП (ИЩЕМ ПРОГОНОЧНЫЕ КОЭФ-ТЫ)

ИЗ ПЕРВОГО УР-ИЯ:			− c1 x1 + b1 x2 = f1
x =	b1	x		−	f1
			2
1	c1				c1

СРАВНИМ С ФОРМУЛОЙ: x1 = α 2 x2 + β2

	α		=	b1	,	β		= −	f1
		2		c1			2		c1

МЕТОД ПРОГОНКИ

ПОДСТАВИМ ПРОГОНОЧНОЕ СООТНОШЕНИЕ:

xi −1 = αi xi + βi , i = 2,3,...n

В СИСТЕМУ:

ai xi −1 − ci xi + bi xi +1 = fi , i = 2,..., n −1

ai (α i xi + βi )− ci xi + bi xi +1 = fi (aiα i − ci )xi + ai βi + bi xi +1 = fi

ВЫРАЗИМ ИЗ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ xi :

МЕТОД ПРОГОНКИ

xi	=		bi		xi +1	−		fi	− ai βi
		ci − aiαi						ci − aiαi
	Сравним с формулой:
xi	= αi +1 xi +1 + βi +1 ,						i = 2,3,...n −1
αi +1 =			bi		,	βi +1			= −	fi − ai βi
			ci − aiαi							ci − aiαi

ПО ЭТИМ ФОРМУЛАМ ВЫЧИСЛЯЮТ ВСЕ ПРОГОНОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

αi , β i , i = 2,..., n

МЕТОД ПРОГОНКИ

ОБРАТНЫЙ ЭТАП: НАХОДИМ РЕШЕНИЕ

ПОСЛЕДНЕЕ УРАВНЕНИЕ: an xn−1 − cn xn = fn

ПРОГОНОЧНОЕ СООТНОШЕНИЕ: xn−1 = α n xn + βn

	НАХОДИМ xn:	an (αn xn + β n ) − cn xn = fn
	xn	= −	fn − an β n
			cn − anαn

ОСТАЛЬНЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ НАХОДИМ ИЗ ПРОГОНОЧНОГО СООТНОШЕНИЯ:

xi −1 = αi xi + βi , i = n, n − 1,...,2

МЕТОД ПРОГОНКИ

ПРЯМОЙ ЭТАП: НАХОДИМ КОЭФФИЦИЕНТЫ

α

=

b1

,

β

= −

f1

2

c1

2

c1

α

=

bi

,

β

= −

fi − ai β i

, i = 2,3,..., n − 1

i +1

i +1

ci

− aiαi

ci − aiαi

ОБРАТНЫЙ ЭТАП: НАХОДИМ РЕШЕНИЕ

	xn	= −	f n − an βn
			cn − anα n
	xi −1 = αi xi	+ βi , i = n, n −1,...,2

МЕТОД ПРОГОНКИ

ПРЯМОЙ ЭТАП: НАХОДИМ КОЭФФИЦИЕНТЫ

α =

BB0

=

k2

, β = −

FF0

= −

Aτ

1

CC0

k2 − k1τ

1

CC0

( k2 − k1τ )

α

=

BBi

, β

=

AAi βi − FFi

,

i = 1,2,...,M − 1

i +1

i +1

CCi − αi AAi

CCi − αi AAi

ОБРАТНЫЙ ЭТАП: НАХОДИМ РЕШЕНИЕ

y

=

AAM βM − FFM

=

l2 β M + Bτ

M

l2 + τ l1 − l2αM

CCM

− AAM αM

yi −1 = αi yi + βi ,

i = M ,M − 1,...1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА:

1. Решить тестовую задачу

y′′ + tg(t) y′ + cos2 (t ) y = 0, t [0,1], y(0) = 1, y(1) = 10,

Точное решение :

u(t) = cos(sin(t)) + C1 sin(sin(t)), C1=(10 - cos(sin(1)))/sin(sin(1)).

Сравнить приближенные решения, полученные на различных сетках, с точным. решением.

Найти максимальную погрешность при каждом M. Приготовить для отчета Таблицу:

M	Max погрешность |u(ti) – yi|

На основании анализа погрешности сделать

вывод о порядке точности метода	18

Алгоритм решения

•Входными данными в ПФ служат начало и конец отрезка и число шагов (a,b,M)

•Найти шаг сетки и сформировать в цикле массив аргумента (X – массив из M+1 элементов)

•Сформировать массивы AA, BB, CC и FF на основе

коэффициентов ОДУ

•Найти первые прогоночные коэффициенты (alpha0 и beta0)

•В цикле вычислить остальные прогоночные коэффициенты по формулам прогонки

•Найти значение искомой функции в последней точке yM

•В цикле найти все остальные значения функции

•В качестве выходных параметров передать массив аргумента и функции

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА:

t0 := 0	tk := 1	y0 := 1		yk := 10
p(t) := tan (t)		q(t) := cos (t)2		r(t) := 0
C1 :=	10 − cos (sin(1))		= 12.518
	sin(sin(	1))
yt (t) := cos (sin		(t)) + C1 sin(sin(t))