П16

Практика 16

Решение краевой задачи для ОДУ 2 порядка

Приближенное решение ОДУ

УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

y′′ + p(t ) y′ + q(t) y = r(t), t [a, b]

2 дополнительных условия на функцию y заданы в разных точках: t=a, t=b

k1 y(a) + k2 y′(a) = A		КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
	′	.
l1 y(b) + l2 y (b) = B

Нельзя решить методом Эйлера

Нужны специальные методы!

2

Линейное ОДУ 2 порядка

u′′ + p(t)u′ + g(t )u = f (t ), t [a, b]

k1u(a) + k2u′(a) = A

Краевые условия:

m1u(b) + m2u′(b) = B

Приближенные методы решения:

•конечных разностей

•стрельбы

•балансов (конечных объемов)

•коллокации;

•вариационные (наименьших квадратов, Ритца);

•проекционные (Галеркина);

•проекционно-сеточные (конечных элементов)

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

y′′ + p(t) y′ + q(t) y = r(t), t [a, b]

k1 y(a) + k2 y′(a) = Al1 y(b) + l2 y′(b) = B

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД

1. Введем на отрезке [a, b] разностную сетку

(t0, t1, t2, ..., tM), ti=a+τ i, i.=0, 1,..., M,

τ =(b–a)/M, M – параметр задачи

2. Вместо точного решения y(t) будем отыскивать приближенное решение в узлах разностной сетки: yi=y(ti)

5

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

y′′ + p(t) y′ + q(t) y = r(t), t [a, b]

Формулы приближенного дифференцирования:

′′

≈

yi +1

− 2 yi

+ yi −1

′

) ≈

yi +1 − yi −1

, i = 1,2,..., M −1

)

,

y

(ti

τ 2

y (ti

2τ

Подставим в уравнение:

y

i +1

− 2 y

i

+ y

i −1

+ p(t

)

yi +1

− yi −1

+ q(t

) y

= r(t

), i = 1,..., M − 1

i

τ 2

i

2τ

i

i

.

Приводим подобные:

yi +1 − 2

yi + yi −1 +

p(ti )τ

( yi +1 − yi −1 ) + τ

2

q(ti ) yi

= τ

2

r(ti ), i = 1,..., M −1

2

p(t

i

)τ

(2 −τ 2 q(t

))+ y

p(t

)τ

= τ 2 r(t

y

1

−

− y

1 +

i

),

i −1

i +1

2

i

i

2

i

AAi

CCi

BBi

6

FFi

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

y′′ + p(t) y′ + q(t) y = r(t), t [a, b]

Заменим производные в краевых условиях:

k1 y(a) + k2 y′(a) = A		k y + k						y1 − y0	= A,
	′	1	0			2		τ
l1 y(b) + l2 y (b) = B				+ l				yM − yM −1		= B.
		l y
			M		2
	Приводим подобные:	1						τ

τ k1 y0 + k2 (y1 − y0 ) = .Aτ , τl1 yM + l2 (yM − yM −1 ) = Bτ

(τ k1 − k2 )y0 + k2 y1 = Aτ ,			− l2 yM −1 + (τl1 + l2 ) yM = Bτ
− CC0	BB0	FFo	AAM	− CCM	FFo

7

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

y′′ + p(t) y′ + q(t) y = r(t), t [a, b]

k1 y(a) + k2 y′(a) = Al1 y(b) + l2 y′(b) = B

Заменили производные в уравнении и краевых условиях приближенными формулами и привели подобные в уравнениях

Получили СЛАУ на вектор приближенного решения:

–СС0 y0 +BB0 y1 =FF0

AAi yi–1 – CCi yi + BBi yi+1.= FFi, i=1, 2,..., M – 1 AAM y M–1 – CCM yM = FFM

где:

CC	i	=2 – q ( t		) τ 2	AA = 1 – p ( t			) τ / 2,
			i		i	i
BB =1 + p (t			) τ / 2,		FFi = τ	2 r ( t	),
i		i				i
CC0 =k2 – τ k1,					BB0= k2,			FF0 = A τ,
CCM =l2+ τ l1,					AAM= l2,			FFM= –B τ.

8

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

Матрица СЛАУ:

	− CC	0
		0
		0
		...
		BBM −1
		− CCM

Матрица специального вила - трехдиагональная

9

МЕТОД ПРОГОНКИ

ВАРИАНТ МЕТОДА ГАУССА ДЛЯ СЛАУ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

ТОЧНЫЙ, ЭКОНОМИЧНЫЙ МЕТОД

ПРИМЕНЯЕТСЯ ДЛЯ СИСТЕМ С ЛЕНТОЧНЫМИ

(ТРЕХДИАГОНАЛЬНЫМИ) МАТРИЦАМИ

ВСЕ НЕНУЛЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОСРЕДОТОЧЕНЫ НА ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ И ДВУХ БЛИЖАЙШИХ К НЕЙ

0

0