П12_223

Численное интегрирование

II курс, 2 семестр, 2014

Численное интегрирование

Дано: таблица значений функции

x	x0	x1	x2	..	xN
f	f0	f1	f2	..	fN	a ≤ x	i	≤ b, i=0, 1,..., N;

Найти:

b

I = ∫ f (x )dx

a

Геометрический смысл определенного интеграла

y	y= f(x)	определенный интеграл численно
		равен значению площади фигуры,
		ограниченной подынтегральной
		функцией, осью х,
		прямыми x=a и x=b

a

b

x

Формулы прямоугольников

1.На каждом участке подинтегральную функцию заменяем константой

2.Площадь криволинейной области заменяется на сумму площадей прямоугольников

		fi-1
		f1
f0
x0	x1	xi-1 xi	xN

А. Формула левых прямоугольников

I = ( x1 − x 0 ) f 0+ ( x 2 − x1 ) f 1+ .. + ( x N − x N −1 ) f N −1

	N
	= ∑ f i −1 ( x i − x i −1 )
	i =1
	Если расстояние между	N	N −1
		I = h∑ fi −1	= h∑ fi
	узлами равное: h = xi − xi −1

i =1

i =0

Формулы прямоугольников
В. Формула правых прямоугольников
			fi
	x0		xi-1 xi
I = ( x − x		) f +( x		2	− x ) f +.. + ( x		N	− x	N −1	) f =
1	0	1			1	2				N
N
∑ fi ( xi − xi −1 )
i =1

	N
Если расстояние между	I = h∑ fi
узлами равное: h = xi − xi −1

i =1

Формулы прямоугольников
С. Формула средних прямоугольников
	fi-1/2
x0	xi-1 xi
I = ( x1 − x0 ) f 1/ 2+( x2 − x1 ) f3 / 2 +.. + ( xN − xN −1 ) f N −1/ 2=
N
∑ fi −1/ 2 ( xi − xi −1 ),	где	fi −1/ 2 = f ( xi − h / 2)
i =1

	N
Если расстояние между	I = h∑ f ( xi −1/ 2 )
узлами равное: h = xi − xi −1

i =1

Решение в MathCAD

g(x) := sin (x)		a := 0				b :=	π
						2					⌠b
⌠
			I := −cos (b) + cos (a) = 1								g(x) dx = 1
	g(x) dx → −cos (x)
											⌡
⌡											a
						(b − a)
	lev_pryam(a , b , N , g) :=		h ←
						N
			for		i 0.. N
				xi ← a + h i
				f	i	← g(x )
								i
			S ← 0
			for		i 1.. N
			S ← S + fi
			S ← S h
			S
	lev_pryam(a , b , 10, g) − I = 0.076									lev_pryam(a , b , 20, g) − I = 0.039
	lev_pryam(a , b , 40, g) − I = 0.02

fi+1

Формула трапеций

fi-1

fi

1. На каждом участке

подинтегральную функцию

заменяем прямой

2. Площадь криволинейной

x0

xi-1

xi

xi+1

xN

области заменяется на сумму

площадей трапеций

I =

( x1 − x0 )

( f + f ) +

( x2 − x1 )

( f + f

) + .. +

( xN − xN −1 )

( f

+ f

)

2

N

2

0 1

2

1

2

N −1

Если расстояние между узлами равное,

h = xi − xi −1

I =

h

( f0 + f1 + f1 + f

2 + f 2 + f

3 + .. + f n −1 + f n ) =

2

=

h

( f

0 + 2 f1 + 2 f 2 + 2 f3 + .. + 2 f n −1 + f n ) =

2

f0 + f n

n −1

= h(

+

∑ fi )

2

i =1

Пример 1

Вычислить интеграл с помощью метода трапеций:

3.6

x +2

I = ∫

dx

2.0

1+x2

n -

число отрезков разбиения = 4,

h :=

3.6− 2 = 0.4

- шаг интегрирования

4

x := 2 + i h

f (x ) + f (x )

i

x + 2

n−1

0

n

f (x) :=

I := h

+

∑ f (xi)

= 2.601

2

2

1 + x

i = 1

⌠ 3.6

f (x) dx = 2.599 - проверка в MathCAD

⌡2

Пример 2

Вычислить интеграл от таблично заданной функции с помощью метода трапеций

x	0	0.2	0.3	0.5	0.7	0.9	1
f	0.3	0.7	0.5	0.6	0.4	0.2	0

Шаг непостоянный, поэтому необходимо рассчитать площади трапеций на каждом локальном интервале, а затем сложить их.

0.3 + 0.7

0.2 +

0.7 + 0.5

0.1 +

0.5 +

0.6

0.2 +

2

2

2

0.6 + 0.4

0.2 +

0.4 + 0.2

0.2 +

0.2 + 0

0.1 =

2

2

2

= 0.44

Решение в MathCAD

	trap(a , b , N , g) := h ←			(b − a)
				N
	for		i 0.. N
		xi ← a + h i
		f	i	← g(x )
				i

f0 + fN

S ←

2

for i 1.. N − 1 S ← S + fi

S ← S h

S

− 4 trap(a , b , 10, g) − I = −2.057× 10− 3 trap(a , b , 20, g) − I = −5.141× 10

trap(a , b , 40, g) − I = −1.285× 10− 4