П12_223

Формула Симпсона (парабол)

На каждом участке	Если N - четное, h=xi-xi-1, то
подинтегральную функцию	x
заменяем полиномом второй	∫i+1 f (x)dx ≈	h	( fi −1 + 4 fi + fi +1 )
степени (параболой)
	3
	xi−1

		4 f N −1	+ f N		=
2443
		N / 2

Пример 3

Вычислить интеграл с помощью метода трапеций и
Симпсона, N = 4.																			2	(3x 2 − 2x + 1)dx
																	I = ∫
Решение. Вычислим шаг сетки:																			1
																					h =		2 − 1					= 0.25
																									4
	Составим таблицу значений функции:
	x		1		1.25						1.5						1.75					2
	f		2		3.1875				4.75								6.6875					9
По формуле											2 + 9
трапеций:				Itr ≈ 0.25												+ 3.1875 + 4.75 +									6.6875 = 5.031
												2
По формуле					I sim	≈	0.25		(			+	4			3.1875		+	2		4.75	+		4		6.6875			+	9	) =	5
						3			2
Симпсона:

Точное решение I = 5

Решение в MathCAD

simp(a , b , N , g) :=	h ←			(b − a)
					N
	for		i 0.. N
		xi ← a + h i
		f	i	← g(x )
							i
	S ← f0 + fN
	for		i 1.. N − 1
		S ← S + 2 fi							if mod(i, 2)		0
		S ← S + 4 fi							otherwise
	S ← S					h
					3
	S
simp(a , b , 10, g) − I = 3.392× 10− 6									simp(a , b , 20, g) − I = 2.115× 10− 7

Расходящиеся интегралы

ошибка будет иметь тип «Found a number with a magnitude greater than 10^307»

(Найдено число, превышающее значение

10307)

Или

«Can’t converge to a solution» (Не сходится к решению)

Численное

дифференцирование

Численное дифференцирование

Вычисление производной от таблично заданной функции

Используется также для приближенного вычисления производных от сложных функций

Задана таблица значений функций:

	x	x0	x1	x2	..	xN
							xi, i=0, 1,..., N; a ≤ x i ≤ b
	f	f0	f1	f2	..	fN

Требуется найти F′ (z) для заданного значения z [a, b]

16

Численное дифференцирование

Методы решения:

•Построить интерполирующую функцию F(x), x [a,b], найти ее производную F′ (z)

•Можно использовать кусочно-параболическую, кусочнокубическую интерполяцию

•Для вычисления производных в узлах будем использовать формулы конечных разностей:

'

f

i

+ − f

i

f+ (xi

) =

1

Разность «вперед»

xi +1 − xi

f

'

(xi ) =

fi

− fi −1

Разность «назад»

−

xi

− xi −1

'

fi +1

− fi −1

Центральная разность

f ± (xi )

=

17

xi +1 − xi −1

Численное дифференцирование

Геометрическая иллюстрация

f_

f+	fi	fi+1

f±

fi-1

		xi	xi+1
x
	i-1

Какая формула точнее?

18

Численное дифференцирование

Оценка погрешности формулы «разность вперед»

f +' (xi ) = fi +1 − fi h

Разложим функцию в ряд Тэйлора в точке xi

f

= f ( x ) = f ( x

+ h) = f

+ hf ′+ h2

f ′′+ h3

f ′′′+ ...,

i +1

i +1

i

i

i

2

i

6

i

Подставим в формулу:

′

+

h2

′′

h3

′′′

2

h

h

'

(

)

=

fi + hfi

2

fi +

6

fi + ... − fi

′

+

′′

′′′

f+

xi

h

= fi

2

fi +

6

fi + ...

Главный член погрешности 19

Численное дифференцирование

Оценка погрешности формулы «центральная разность»

'

fi +1 − fi −1

f

± (xi

) =

2h

fi +1 = fi

+ hfi

′

+

h2

′′

h3

′′′

fi

2

fi

+

6

+ ...,

fi −1 = fi

− hfi

′

+

h2

fi

′′

h3

′′′

2

−

6

fi + ....

fi

+ hfi

′

+

h2

fi

′′

h3

′′′

+ hfi

′

−

h2

′′

h3

′′′

'

(xi

) =

2

+

6

fi

+ ... − fi

2

fi +

6

fi + ...i

f

±

2h

= fi

′

+

h2

′′′

6

fi + ...

Главный член погрешности 20