П12_223

Численное дифференцирование

Первая производная

Дифференцирование функции f(x) в некоторой точке:

•Определяем точку x, в которой будет вычислена производная, например, x:=1.

•Вводим оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на панели Calculus (Вычисления) или вводим с клавиатуры вопросительный знак <?>.

•В появившихся местозаполнителях вводим функцию, зависящую от аргумента x, т.е. f(x), и имя самого аргумента x.

•Вводим оператор численного <=> или <→> символьного вывода для получения ответа.

Пример численного и символьного дифференцирования

MathCAD применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7-8 знака после запятой

Численное дифференцирование

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

		( f ′)i − ( f ′)i −1			fi +1 − fi − fi + fi −1					fi +1 − 2 fi + fi −1
f '' (x	) ≈		=		h		h		=
i		h				h				h 2

.

Можно вывести с помощью метода неопределенных коэффициентов

Показать, что формула имеет второй порядок точности

23

Производные высших порядков

MathCAD позволяет численно определять производные высших порядков от 0-го до 5-го включительно

Пример численного и символьного вычисления второй производной:

Численное дифференцирование

ПРИМЕР

Вычислить приближенные значения производных от функции f(x)=sin(x) на отрезке [0,π/2] c шагом π/6.

x		f(x)		f′(x) точно
						f′+(x)		f′_(x)		f′±(x)
0
		0				0.954		-		-
				1
0.524
		0.5				0.698		0.954		0.827
				0.866
1.047
		0.866				0.256		0.698		0.478
				0.5
1.571
		1				-		0.256		-
				0

Как получить формулы для вычисления производных в любой точке сетки с любым порядком точности?

25

Символьное и численное вычисление частных производных