Теоретические сведения

Современная вычислительная математика располагает большим арсеналом методов, а математическое обеспечение ЭВМ — многими пакетами прикладных программ, позволяющих решать различные возникающие на практике линейные системы. Чтобы ориентироваться среди методов и программ и в нужный момент сделать оптимальный выбор, нужно разбираться в основах построений методов и алгоритмов, учитывающих специфику постановок задач, знать их сильные и слабые стороны и границы применимости.

Все методы решения линейных алгебраических задач (наряду с задачей решения СЛАУ, это и вычисление определителей, и обращение матриц, и задачи на собственные значения) можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы – это такие методы, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным (в связи с чем к классу прямых методов применяют еще название точные методы). Итерационными методами называют методы, в которых точное решение может быть получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных (как правило, простых) действий.

Другое ограничение будет касаться рассматриваемых систем. Условимся говорить о численном решении таких СЛАУ, у которых число уравнений совпадает с числом вещественных неизвестных, причем будем предполагать наличие единственного решения, если существование и единственность не следует из каких-либо условий.

Такое ограничение здесь довольно естественно, так как решение и недоопределенных, и переопределенных систем, а также систем с комплексными коэффициентами и переменными, в конечном счете, сводится к решению однозначно определенных вещественных систем.

Итак, изучается вопрос о численном решении систем вида

(3)

или иначе, векторно-матричных уравнений

Ах = b,

где b = (b₁, b₂, …, b_n)^T — вектор свободных членов и x = (x₁, x₂,…, x_n)^Т — вектор неизвестных (он же в другой интерпретации может означать и вектор-решение) с вещественными координатами, а А = — вещественнаяnn-матрица коэффициентов данной системы. Эффективность способов решения системы во многом зависит от структуры и свойств матрицы А: размера, обусловленности, симметричности, заполненности (т.е. соотношения между числом ненулевых и нулевых элементов), специфики расположения ненулевых элементов в матрице и др.

Система линейных уравнений:

В процессе решения получаем:

7	21	3	5	-8	9
0	24	-108,143	5,428571	-15,2857	18,57143
0	0	-28,4643	-0,35714	12,32143	0,357143
0	0	0	5,143455	91,21748	-17,1435
0	0	0	0	17	-4

Из получившийся таблицы находим корни СЛАУ:

x=0.857; y=-0.129; z=-0.125; s=0.84; m=-0.235.

Контрольные вопросы

1. Какие методы используются для решения СЛАУ?

2. Что такое итерация?

3. Как задается предел итераций?

4. Какой из методов наиболее удобен для решения линейных уравнений ленточного вида?

Лабораторная работа №4

«Моделирование движения шарика в вязкой жидкости»

Цель работы : изучение закономерностей движения небольшого сферического тела в вязкой жидкости методом компьютерного моделирования и выбор оптимальных параметров эксперимента для определения вязкости жидкости методом Стокса.

Вязкость жидкости – свойство жидкости оказывать сопротивление относительному перемещению ее слоев, которое проявляется том, что возникает сила трения между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями. Количественной характеристикой вязкости является коэффициент динамической вязкости, или коэффициент внутреннего трения. Классическим экспериментальным методом определения коэффициента динамической вязкости жидкости является метод Стокса, основанный на закономерностях падения шарика в вязкой среде. Вычисление коэффициента динамической вязкости в лабораторной работе осуществляется по результатам измерения времени равномерного движения шариков различного радиуса в вязкой среде по следующей формуле [1]:

где η – коэффициент динамической вязкости жидкости, g– ускорение свободного падения, g =9,81 м/с², r – радиус шарика, ρш – плотность материала, из которого сделан шарик (как правило, сталь), ρж – плотность жидкости, в которой движется шарик (например, касторовое масло), v – скорость равномерного движения шарика, R – радиус сосуда, h – высота столба жидкости.

Поскольку шарик движется равномерно, скорость его движения может быть определена по формуле:

где S – расстояние, пройденное шариком, t – время движения шарика. Окончательно расчетная формула имеет вид:

Точность результата измерения зависит от точности, с которой измерены, входящие в расчетную формулу величины, и от правильного выбора параметров эксперимента – радиуса шарика и области равномерного движения. Выбор оптимальных параметров можно осуществить на основании моделирования процесса падения шарика в вязкой среде.