Методические указания к задаче № 2

Теоретический материал для решения этой задачи изложен в литературе [1, с. 97 -103, 110-113; 2, с. 29-35].

В данной задаче рассматриваются вопросы обработки резуль­татов измерений [6].

Вследствие несовершенства методов и средств измерений, субъективных особенностей экспериментаторов, а также влияния внешних факторов результат измерения всегда отличается от ис­тинного значения измеряемой величины, т.е. содержит погрешность.

Если систематические погрешности могут быть значительно уменьшены или даже исключены из результатов измерения ( как это имеет место в данной задаче), то случайные погрешности, вызванные большим числом случайных причин, всегда присутству­ют в результатах измерения.

Случайные погрешности проявляются при многократных и равноточных измерениях, выполненных одним и тем же средством из­мерения, по одной и той же методике и при неизменных внешних условиях.

Для оценки результатов измерений, содержащих случайные погрешности, пользуются понятиями и методами теории вероятнос­тей и математической статистики.

Задача оценки случайных погрешностей результата измере­ния состоит в установлении границ изменения погрешности. Наи­более полной характеристикой случайной погрешности, как и лю­бой случайной величины, является закон распределения их веро­ятностей.

В большинстве физических измерений случайные погрешности подчинены нормальному закону распределения, который основан на предположении следующих закономерностей:

погрешности многократных измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

вероятность (частота) появления погрешностей, равных по значению, но противоположных по знаку, одинакова;

малые по абсолютной величине погрешности более вероятны, чем большие;

вероятность появления случайных погрешностей, превосходящих по абсолютному значению некоторое определенное число очень мала (практически равна нулю);

среднее арифметическое погрешностей ряда равноточных из­мерений при неограниченном возрастании их числа стремится к нулю.

На практике часто приходится иметь дело со статистичес­ким материалом весьма ограниченного объема (менее 20 значений). Этого материала явно недостаточно для того, чтобы судить о законе распределения случайной величины.

Тем не менее, во многих случаях можно принять нормаль­ный закон распределения погрешностей, как это сделано в ус­ловии данной задачи.

Исходя из этого, по результатам статистических данных могут быть вычислены числовые характеристики случайной ве­личины. Эти характеристики подразделяются на точечные и интервальные.

Точечные оценки представляются одним числом, основными числовыми характеристиками которого являются среднее ариф­метическое и среднее квадратическое отклонения.

При ограниченном числе измерений в качестве точечной оценки истинного значения измеряемой величины А понимается среднее арифметическое результатов наблюдений , т.е.

,

где n - число наблюдений.

Рассеивание результатов наблюдений характеризуется сред-неквадратическим отклонением , несмещенная оценка которого по результатам ограниченного числа наблюдений опреде­ляется по выражению

.

При интервальной оценке среднего квадратического откло­нения ищется интервал, в который с доверительной вероятностью - попадает истинное значение  :

,

где _ - погрешность, .

Здесь g - относительная погрешность определяемая по таблице 4 в соответствии со схемой

g n	g
n	

где  - заданная доверительная вероятность;

n - число наблюдений.

Таблица 4

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
5	0,264	0,501	0,681	0,791	0,849	0,886	0,913	0,933	0,948	0,959
6	0,286	0,536	0,717	0,821	0,874	0,908	0,932	0,950	0,936	0,972
7	0,305	0,567	0,748	0,845	0,895	0,926	0,948	0,963	0,974	0,981
8	0,323	0,595	0,784	0,865	0,911	0,940	0,960	0,972	0,981	0,987
9	0,340	0,620	0,797	0,882	0,925	0,951	0,968	0,979	0,986	0,991
10	0,358	0,645	0,810	0,899	0,939	0,962	0,976	0,986	0,991	0,995

Примечание. Для отсутствующих в таблице значений - следует применять линейную интерполяцию.

Последовательность выполнения задачи № 2:

1. Вычисление точечных оценок среднего значения и среднего квадратического отклонения. Для их расчета следует составить алгоритм и программу для программируемого микрокалькулятора либо для другой доступной для студента ЭВМ.

2. Используя квантили Стьюдента, вычислить интервальные оценки среднего отклонения и среднего квадратического отклонения заданного физического параметра.

3. На основании полученных результатов расчета сделать вы­вод.

По этим выражениям и заданным в таблице 2 результатам наблюдений могут быть определены точечные оценки идля соответствующего варианта задания.

Для определения этих оценок следует составить алгоритм и программу расчета для программируемого микрокалькулятора, используя полученный опыт по дисциплине «Вычислительная техника», а также литературу.

Чтобы иметь представление о точности и надежности полученных значений и, применяются интервальные оценки, в которые с заданной, так называемой доверительной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины. Обычно назначают достаточно большую доверительную вероятность, например,  = 0,95 или 0,99, при которой можно практически считать событие достоверным.

Так, интервальная оценка истинного значения измеряемой величины определяется по выражению

,

где _m- погрешность, которая при заданной доверительной вероятностиопределяется по формуле:

.

В этой формуле t_a - коэффициенты (квантили) Стюдента, зависящие от  и числа измерений n . Значения коэффициентов Стюдента при выполнении данной задачи могут быть определены по таблице 5.

Таблица 5

Доверительная вероятность 	Число измерений
	5	6	7	8	9	10
0,95	2,78	2,57	2,48	2,37	2,31	2,26
0,99	4,60	4,03	3,71	3,50	3,36	3,25

Для самоподготовки к очному зачету контрольной работы по материалам данной задачи рекомендуется проработать следующие вопросы.