Примеры решения заданий контрольной работы № 1 Матрицы и определители

Сумма (разность) определяется только для матриц одинаковой размерности. Пусть

. Тогда .

При умножении матрицы А на число нужно все элементы матрицыА умножить на это число.

Если , то.

Произведением матрицы на матрицуназывается матрица, элементы которой находятся по формуле. В общем случае

Пусть ,.

Имеем:, где

следовательно

.

Определителем второго порядка называется число, равное . (1.1)

Примеры.

1) ; 2).

Определителем третьего порядка называется число, равное сумме произведений элементов его первой строки на их алгебраические дополнения.

. (1.2)

Аналогично определяются определители более высоких порядков.

Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

.

Определители третьего порядка можно вычислить и по правилу треугольников (правилу Саррюса) по схеме:

. (1.3)

Пример.

Системы линейных уравнений

Метод Крамера

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

.

Вычислим определитель системы

Вычислим определители D₁, D₂, D_3, заменяя в определителе D элементы первого, второго и третьего столбцов соответственно элементами столбца из свободных членов.

.

Таким образом,

, х₂=,.

Итак,

х₁=1, х₂=6, х₃=5.

Метод обратной матрицы

Определение. Матрица А называется невырожденной, если D=det А0.

Каждая невырожденная матрица А имеет обратную , причем для матрицытретьего порядка с элементами:обратная матрицаимеет вид:

, (1.4)

где А₁₁, А₁₂ ,…, А₃₃ – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы, располагаемые по столбцам в новой матрице.

Пример. Решить систему уравнений матричным методом:

. Имеем: А=,Х=,Н=.

, .

Для нахождения обратной матрицы А^-1 вычисляем все алгебраические дополнения элементов матрицы А:

, ,,

, ,,

, ,.

Составляем обратную матрицу (1.4):

.

Тогда

.

Таким образом, х₁=1, х₂=6, х₃=5.

Метод Жордана-Гаусса последовательного исключения переменных

Пример. Решить систему методом Жордана-Гаусса. Найти общее, частное и базисное решение системы.

Составляем расширенную матрицу системы и проводя элементарные преобразования над строками матрицы исключаем переменные в соответствующих этой матрице системах линейных уравнений. В результате преобразований исходная матрица сводится к трапецеидальному виду. Преобразуем расширенную матрицу системы:

Поясним сделанные преобразования:

1. Первую строку умножим последовательно на (- 2), (-3), (-4) и прибавим ко второй, третьей и четвертой строкам соттветственно.

2. Вторую строку умножаем на (-1), (-2) и прибавим к третьей и четвертой строке соответственно.

3. Поменяем местами вторую и четвертую строчку.

4. Вторую строку умножаем на 2 и на (-3) и прибавим к первой и третьей строке соответственно. Удаляем четвертую – нулевую строку.

5. Третью строку умножаем на на (-1) и на (-3) и прибавляем ко второй и первой строке соответственно.

Используя последнюю матрицу, эквивалентную исходной, получаем равносильную систему уравнений следующего вида:

х₁++1,2х₄ = 1

х₂+ +0,4х₄ = 3

х₃+ −1,4х₄ =− 2.

Переменныех₁, х₂, х₃назовём базисными, переменную х₄ − свободной. Полагая х₄=0, непосредственно находим базисное решение: х₁=1, х₂=3, х₃=−2.При х₄=5, получим частное решение: х₃=5, х₂=1, х₁=−5. При х₄= t, где t R, получим общее решение системы:

х₁=1-1,2 t

х₂=3-0,4 t

х₃=-2+1,4 t.