- •Содержание рабочей программы
- •Рекомендуемая литература
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •9. Теоретический материал и методические указания к выполнению контрольных заданий приведены в работе [10] - му № 2312.
- •5.11. 5.12.
- •Задания на контрольную работу № 2 Введение в математический анализ
- •8.1. 8.2. 8.3
- •Примеры решения заданий контрольной работы № 1 Матрицы и определители
- •Системы линейных уравнений
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Жордана-Гаусса последовательного исключения переменных
- •Элементы аналитической геометрии
- •Линии второго порядка
- •Примеры решения заданий контрольной работы № 2 Пределы
- •Непрерывность функции
- •Производная фунции и её геометрический смысл
- •Правило Лопиталя
- •Исследование функций и построение графиков
Непрерывность функции
Определение. Функция называетсянепрерывной в точке х = х0 , если она в этой точке определена и .
Пример. Исследовать на непрерывность функцию
.
Построим график этой функции (рис. 3).
Данная функция состоит из трех аналитических выражений, каждое из которых непрерывно в своей области. Поэтому функция может иметь разрывы только в местах перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=1.
Исследуем эти точки:
а) х=0:
; ;.
Так как предел функции при слева, равен пределу функции присправа и равен значению функции прих=0, то в этой точке функция непрерывна.
б) х=1:
; .
Так как предел слева не равен пределу справа, то в точке х=1 функция имеет разрыв 1-го рода, со скачком .
Производная фунции и её геометрический смысл
Пусть c=const, u=u(x), v=v(x) некоторые дифференцируемые функции, тогда справедливы следующие правила дифференцирования:
1. ;4. ; (2.1)
2. ; 5. (2.2)
3. ; 6.;
если — сложная функция аргумента х и
или .
На основании определения производной и правил дифференцирования составлена таблица производных основных элементарных функций.
1.где— любое действительное число |
2.; |
3.; |
4.; |
5.; |
6.; |
7.; |
8.; |
9.; |
10.; |
11.; |
12.; |
13.. |
|
B приведенной таблице основных формул дифференцирования функций, переменная u может быть как независимой переменной, так и некоторой функцией от другой переменной.
Примеры. Найти дифференциалы функций:
1. ; 2.; 3.;
4. .
Решение.
1. .
Найдем производную данной функции:
Так как дифференциал функции , получим:
.
2. .
Найдем производную данной функции:
Следовательно, .
3. .
Найдем производную данной функции. Применяем формулу (2.1) производной произведения двух функций,
Следовательно, .
4. .
Найдем производную данной функции. Применяем формулу (2.2) производной частного двух функций,
.
Следовательно, .
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке.
Найдем значение функции в точке x0, ; производную функциии значение производной в точкеx0, :
; ;.
Так как уравнение касательной, проходящей через т., имеет вид
, получим:
; или.
Уравнение нормали, проходящей через т., имеет вид
.
Для рассматриваемого случая получим:
Сделаем чертеж (рис. 4).
Уравнение данной линии запишем в виде или. Это парабола с вершиной в точке (2, 1) и осью симметрии, параллельной осиОУ.
Правило Лопиталя
Пусть функции иопределены, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точкиx0, за исключением, может быть, самой точки x0. Причем в указанной окрестности производная функции не равна нулю. Тогда, еслии, илии, то предел отношения этих функций представляет собой неопределенность видаили. Если при этом существует предел отношения производных данных функций и он равен некоторому числуk, то этому же числу равен предел отношения самих функций. Это можно записать так:
.
При этом x0 может быть как конечным числом, так и бесконечностью.
Примеры. Найти
1) ; 2); 3).
Решение.
1) .
.
3)
(напомним, что ).