мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР2 / Варианты ТР / ТР-КИТ Задания

Омский государственный университет путей сообщения

С.В.Окишев

Математический анализ

Задания и указания

к типовому расчету ТР-КИТ

«Кратные интегралы и теория поля»

ЗАДАНИЯ:

1. Дано скалярное поле , точка и вектор . Найти:

1) семейство линий уровня скалярного поля;

2) ; 3) ;

4) наибольшую скорость изменения поля в точке .

3. Найти и в точке .

_________________________________________________________

4. Составить двукратный интеграл по области от функции

двумя способами: в и в .

5. Изменить порядок интегрирования в заданном двукратном

интеграле функции . Область изобразить.

6. Сделать чертеж области на плоскости, ограниченной

данными линиями. Вычислить двойной интеграл по области .

10. Перейдя к полярной СК, вычислить двойной интеграл по .

11. Выполнить чертеж тела в пространстве, ограниченного

данными поверхностями. Вычислить массу тела с помощью

тройного интеграла, если – плотность массы.

_________________________________________________________

16. Вычислить работу силового поля при перемещении

материальной точки вдоль дуги кривой от точки до

точки (на плоскости).

17. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура

(непосредственно). Обход контура совершается против

часовой стрелки (на плоскости).

18. Вычислить поток векторного поля через часть плоскости,

расположенную в первом октанте. Считать, что нормаль

образует острый угол с осью .

19. С помощью ТЕОРЕМЫ СТОКСА

найти циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого

контура . Обход контура совершается против часовой

стрелки (смотрим из конца координатной оси вращения).

21б. С помощью ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА

найти поток векторного поля через внешнюю сторону

замкнутой поверхности .

Указания

1. В задаче 1) следует сначала получить канонический вид линий уровня в общем виде, а затем построить две-три конкретных линии на плоскости. Градиент в точке не только вычислить, но и построить. Максимальная скорость изменения поля в точке есть .

2. В задаче 3) после вычисления в точке указать, не является ли эта точка источником (либо стоком) векторного поля. Ротор в точке записать как конкретный вектор – разложением по базису .

3. В задачах 4), 5) следует сначала построить область , описываемую системой неравенств либо данным двукратным интегралом. Для составления двукратных интегралов необходимы правильность области в заданном направлении и однозначность линии входа и линии выхода. Это выполняется не всегда, поэтому приходится разбивать заданную область на подобласти и записывать в ответе сумму нескольких двукратных интегралов. Подынтегральная функция записывается в общем виде как .

4. В задаче 10) происходит преобразование двойного интеграла по формуле ФПК. Обратите внимание на корректность преобразований, на область определения функции: задачи ТР «сырые», могут быть ошибки составителя.

5. В задаче 11) обозначение носит условный характер. На самом деле это функция , которую и нужно интегрировать по заданному телу . Для составления трехкратного интеграла тело, разумеется, надо построить.

6. В задачах 16), 17), 18) используются алгоритмы ВКИ-2 и ВПИ-2.

Задачи на работу и циркуляцию силового поля решаются сведением к определенным интегралам (как бы развертыванием кривых на прямую). Задачи на вычисление потока векторного поля через ориентированную поверхность решаются сведением к сумме двойных интегралов (для каждой координаты векторного поля вычисляется отдельный двойной интеграл). Рекомендую студентам ознакомиться с методическими указаниями «Кратные интегралы и теория поля».

7. В задачах 19) и 21)б предлагается применить теоремы теории поля для более быстрого вычисления циркуляции и потока. Но эти теоремы будут рассмотрены лишь на последней лекции семестра, поэтому следует ознакомиться с методическими указаниями «Кратные интегралы и теория поля».