2. Описание метода измерения γ и используемой аппаратуры.

Поскольку удельная теплоёмкость при постоянном объёме C_V равна (7):

где i– число степеней свободы молекул газа,R- молярная газовая постоянная, а удельная теплоёмкость при постоянном давленииC_pравна (8):

,

то теоретическое значение равно (9):

.

Для одноатомного газа (He, Ar) число степеней свободыi=3, поэтому. Для двухатомных газов (N₂, O₂)i=5,. Для многоатомных газов (CH₄)i=6, поэтому. Это теоретические расчетные значения γ. Показательγвходит в уравнение Пуассона (10), поэтому нам необходимо измерить параметры какого-либо адиабатического процесса для того, чтобы определитьγэкспериментально, опытным путем. В настоящей работе определяетсяγдля воздуха (смесьN₂ иO₂ с малыми примесями иных газов), т.е. воздух в основном двухатомный газ. Для нихi=5 и расчетное γ=1,4.

На рисунке 2 изображен измерительный стенд.

Р

7

исунок 2 – Измерительный стенд

В него входят: 1 – баллон, в который электронасосом может нагнетаться воздух, давление которого измеряется манометром 2 со шкалой 3. Кнопкой 6 включается насос, питание насоса включается кнопкой 5. Кран 4 соединяет баллон с атмосферой. Стенд позволяет измерить давление газа в баллоне, которое изменяется в результате прохождения тепловых процессов в объёме газа. Проходящие процессы графически изображены на рисунке 3 в координатах Pи V.

В стеклянный баллон 1 (рисунок 2) при помощи насоса 7 накачивают воздух, создавая этим внутри баллона давление выше атмосферного. Это давление измеряется манометром 2. Начальное состояние газа на рис. 3 отображается точкой 1. Давление при этом равно P₁удельный объём равенV₁, температураt₁равна температуре воздуха в лаборатории.

(P₁; V_1; t₁)

P

P₁

1

изотерма

3

(P₃; V_2; t₁)

P₃

изохора

адиабата

P₂

2

(P₂; V_2; t₂)

V

V₁

V₂

Рисунок 3 -

Быстрое расширение газа можно рассматривать как адиабатическое (без обмена теплом с окружающей средой, теплообмен не успевает произойти). Поэтому, если открыть кран 4 на короткое время, в течение которого давление внутри баллона снизится до атмосферного и снова закрыть его, газ в баллоне адиабатически перейдет в новое состояние 2, характеризуемое давлением P₂, удельным объёмом V₂и температуройt₂(точка 2 на рисунке 3). Кривая 1-2, по которой меняютсяP,V,t- адиабата, описываемая уравнением Пуассона(22)

Температура газа t₂ в конце адиабатического расширения будет меньше, чемt_1, т.к. совершается работа расширения газа (23) за счет его внутренней энергии (21), что и приводит к снижению температуры. Параметры начального и конечного состояния газа связанны уравнением Пуассона

, (24)

Вследствие теплопроводности стенок баллона газ будет нагреваться до температуры окружающего воздуха t_1.Это происходит за 4-5 минут. Поскольку при этом кран 4 закрыт,V₂остается неизменным, давление из-за нагрева повысится доP₃ (изохорически, т.к.V=const).

Новое состояние газа характеризуется параметрами (P₃, V₂, t₁) – точка 3 на

рисунке 3. Обратите внимание, температура состояния 3 и 1 – одинаковые, это температура воздуха в лаборатории. Поэтому, в соответствии с законом Бойля-Мариотта, для газа при одной и той же температуре P иVсвязаны соотношениемPV=const, откуда

, (25)

Точка 3 лежит на изотерме 3-1, по которой изменится состояние газа в баллоне до первоначального, исходного 1, если мы откроем кран 4. Эта операция не входит в наши измерения.

Таким образом, мы замерили давление P₁после накачки,P₂после кратковременного открытия и закрытия крана иP₃ после нагрева закрытого баллона до температуры окружающего воздухаt₁

Теперь произведем некоторые чисто алгебраические операции с соотношением (25), чтобы избавиться от неизвестных V₁, V₂. Возведем (25) в степень γ и разделим почленно на уравнение (24)

; →; →; →, (26)

Прологарифмуем уравнение (26)

, (27)

Формула (27) показывает, как по измеренным P₁, P₂, P₃ мы можем рассчитать γ.

Но условия эксперимента позволяют упростить расчетную формулу (27) следующим образом. Обозначим давление в баллоне через P₁, а разность уровней жидкости в манометре черезH, тогда

, (28)

где P₂– атмосферное давление;

b- коэффициент перехода от разности уровней манометра к разности давлений (т.е. цена деления шкалы манометра в единицах давления).

Обозначим через h разность уровней манометра после того, как мы открыли и закрыли кран 4 и выждали 4-5 минут для нагрева газа в баллоне до температуры окружающего воздухаt₁(т.е. до параметров точки 3 рис. 3). Тогда

, (29)

где P₃- давление газа в баллоне в точке 3;

P₂– атмосферное давление;

b– коэффициент перехода от разности уровней к давлению;

h- разность уровней манометра в точке 3.

Из (28) (30) и подставляя его в (29) получим

, (31)

И, наконец, подставляя выражение P₂ из (30) иP₃из (31) в основную формулу для γ (27), получим

, (32)

Величины имного меньше единицы, поэтому можно воспользоваться формулой, справедливой для малыххс точностью до нескольких процентов. Заменяя логарифмы в (32) на -и -, получим

, (33)

Формула (33) и будет расчетной в наших измерениях γ.