Принцип суперпозиции полей: напряженность поля нескольких зарядовравнавекторнойсумме напряженностей полейкаждого изних

G G	G	G	n G
E = E1	+ E2	+...+ En = ∑Ei .		(5.7)

i=1

Число линий напряженности через элементарную площадку dS равно

где En — проекция	G	EdScosα = EndS,
	Е	на внешнюю единичную нормаль n к пло-
щадке dS.

Величину EnDsG = dΦE называют бесконечно малым потоком Е через dS. Поток Е через замкнутую поверхность S

ΦE = v∫ EndS = v∫ EdS,

где dSG	S	S
	= dSnG.

Для расчета полей более сложных конфигураций необходимо применить теорему Гаусса.

Теорема Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε0

	1	n
ΦE = v∫ EndS =		∑qi .	(5.8)
S	ε0 i=1

5.3. Работа в электростатическом поле. Потенциал — энергетическая характеристика электростатического поля

На всякий заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила, которая может перемещать заряд, т.е. совершать работу. Пусть отрицательный заряд q притягивает точечный положительный заряд, перемещая его из точки 1 в точку 2. В точке 1 расстояние между зарядами r1, а в точке 2 — r2. Из определения работы

r2

А= −∫ Fdr ,

r1

а сила Кулона

F = qq0 . 4πε0r2

74

Знак «минус» перед интегралом поставлен из-за того, что для сближающихся зарядов величина dr отрицательна, а величина А положительна, так как перемещение заряда происходит в направлении действия силы F.

Подставив F под знак интеграла и проинтегрировав, получим

	r2	dr			1		1		(5.9)
	А= kqq		= kqq			−		.
		r2
	0 r∫		0	r2			r1
	1

Работа кулоновских сил по замкнутому контуру равна нулю

v∫dA = 0,

L

т.е. перемещение заряда не зависит от траектории, а определяется только положениями начальной и конечной точек.

Это означает, что электростатическое поле является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

Изменение энергии равно работе, которую может совершить система, переходя из одного состояния в другое. Поэтому величина

−qqr0k равна потенциальной энергии заряда ЕG в данной точке

электрического поля, а знак «минус» показывает, что при перемещении заряда силой F его потенциальная энергия, переходя в работу, уменьшается.

Величина потенциальной энергии точечного заряда

Eп = kqr .

Потенциал электростатического поля ϕ — величина, харак-

теризующая электростатическое поле в данной точке. Он равен отношению потенциальной энергии взаимодействия Еп заряда с полем к величине единичного (пробного) заряда q, помещенного в данную точку поля

ϕ =	Eп	.	(5.10)
	q
	0

Потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля.

75

Физический смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов.

Единица измерения потенциала — Вольт ([ϕ]СИ = В).

Потенциал поля точечного заряда q в точке, находящейся на расстоянии r от заряда, равен

	ϕ =	q	.	(5.11)
		4πε0r

При q > 0 ϕ > 0; при q < 0 и ϕ < 0.

В соответствии с принципом суперпозиции полей, если электростатическое поле создается несколькими зарядами, то его потенциал ϕ в данной точке пространства определяется как алгебраическая сумма потенциалов ϕ1, ϕ2, ϕ3 … ϕn полей, создаваемых точечными зарядами

n
ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 +…+ ϕn = ∑ϕi .	(5.12)

i=1

5.4.Разность потенциалов. Связь между напряженностью

иразностью потенциалов

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля — величина, равная отношению работы А электростатических сил по перемещению положительного заряда q из начальной точки в конечную, к этому заряду

ϕ1 −ϕ2 = qА,

или

2

ϕ1 −ϕ2 = ∫Edl ,

1

где интегрирование ведется вдоль любой линии, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Для электростатических полей разность потенциалов совпадает с напряжением U.

Единица разности потенциалов (напряжения) — Вольт

([U]СИ = В).

Эквипотенциальные поверхности — геометрическое место точек электростатическогополя, вкоторыхзначенияпотенциаловодинаковы.

76

В каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор напряженности электрического поля перпендикулярен ей и направлен в сторону убывания потенциала. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении электрического заряда по эквипотенциальной поверхности, равна нулю. Эквипотенциальные поверхности строят так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями были одинаковы. Зная расположение этих поверхностей, можно построить силовые линии и найти значение напряженности поля и наоборот (рис. 5.2).

E

Рис. 5.2

Эквипотенциальные поверхности не пересекаются. На рис. 5.2 пунктирными линиямиизображены эквипотенциальные поверхности.

При перемещении единичного точечного положительного заряда (q = +1) вдоль оси ОХ из точки х2 в точку х1, расположенные бесконечно близко друг к другу — dx, совершается работа, равная Ехdх.

Для единичного точечного положительного заряда эта же работа равна — dϕ. Приравняв оба выражения, получаем

	Ex = −	dϕ	,	(5.13)
		dx

где знак «минус» показывает, что вектор E направлен в точку убывания потенциала.

Проведя аналогичные рассуждения для осей OY и OZ, получаем

E = −gradϕ;
G dϕ		G dϕ		G dϕ			(5.14)
gradϕ = i		+ j		+ k		,
	dx		dy		dz

где iG, Gj,kG— единичные векторы соответствующих осей OX, OY и OZ.

77