В движущемся в постоянном магнитном поле проводнике ЭДС индукции обусловлена не вихревым электрическим полем, а силой Лоренца

εi = B l V sin α.

(7.18)

Токи Фуко — индукционные токи, возникающие в массивных проводниках из-за того, что их сопротивление мало.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого по закону Био — Савара — Лапласа, пропорциональна току. Поэтому сцепленный с контуром магнитный поток Φ пропорционален току в контуре

Ф = LJ,

(7.19)

где L — коэффициент пропорциональности, который называется

индуктивностью контура.

7.6. Явление самоиндукции. Индуктивность

При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним магнитный поток, следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС.

Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока.

Единица индуктивности — генри ([L]СИ = Гн).

Для бесконечно длинного соленоида индуктивность рассчитывается по формуле

	L = µµ0	N 2S	,	(7.20)
		l

где µ — относительная магнитная проницаемость вещества, из которого изготовлен сердечник; N — число витков соленоида; S — площадь; l — длина соленоида.

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость сре-

	ды не изменяется, т.е. L = const, то
	εS = −L	dJ	,	(7.21)
		dt

где знак «минус», обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения силы тока в нем.

115

Если ток со временем увеличивается, то dJdt > 0 и εS > 0, т.е. ин-

дукционный ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

7.7. Энергия магнитного поля

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии

E =	LJ	2	.	(7.22)
м	2

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространение электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для частного случая — однородного магнитного поля внутри длинного соленоида — можно записать

E

=

1

µ

µ

N 2 I

S,

(7.23)

2

l

м

0

или

E =

B2

V =

BH

V ,

(7.24)

2µ0µ

2

м

где V — объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри его, поэтому энергия, заключенная в объеме соленоида, называется объемной плотностью энергии

	E		B2		µ	µH 2		BH
ω =	м	=		=	0		=		.	(7.25)
м	V		2µ0µ			2		2

116

Вопросы для самостоятельного рассмотрения

1.Физическая природа диамагнетизма.

2.Физическая природа парамагнетизма.

3.Физическая природа ферромагнетизма.

4.Запишите формулы, определяющие временные зависимости экстратоков замыкания и размыкания и приведите соответствующие им графики.

5.Что такое явление взаимной индукции? Закон Фарадея, определение коэффициентов взаимной индукции.

6.Принцип работы, устройство и основные характеристики трансформатора

7.Перечислите, от чего зависят вихревые токи. Приведите примеры их использования и устранения их вредных воздействий.

8.Что такое ток и плотность тока смешения?

9.Запишите полную систему уравнений Максвелла для электромагнитного полявинтегральнойформеиопределите физическийсмыслкаждогоуравнения.

10.Запишите полную систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в дифференциальной форме и определите физический смысл каждого уравнения.

Практическое занятие 7 ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

Основные законы и формулы

1. Сила тока

I = dqdt ; I = ∆∆qt ,

где ∆q — заряд, переносимый через произвольное сечение проводника за время ∆t.

2. Плотность тока

Gj = dSdi nG; j = dSdi ; j = SI ,

где nG — единичный вектор, определяющий скорость направленного движения положительных зарядов; S — площадь поперечного сечения проводника.

3. Электродвижущая сила (ЭДС), действующая в цепи

ε = Aст ;ε = v∫Eстdl, q0

где Аст и Ест — работа и напряженность сторонних (неэлектростатических) полей соответственно.

117

4. Закон Ома для однородного участка цепи

I = UR ,

где U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление участка цепи.

5. Зависимость сопротивления проводника от его геометрических размеров

R = ρSl ,

где ρ — удельное сопротивление проводника; l и S — его длина

иплощадь поперечного сечения, соответственно.

6.Закон Ома в дифференциальной форме

j = γE,

где γ — удельная проводимость проводника.

7. Зависимость сопротивления проводника от температуры

R = R0 (1+αt),

где R0 — сопротивление при t = 0 ºC; α циент сопротивления.

8. Мощность тока

P = dAdt = IU = I 2 R

— температурный коэффи-

= U 2 .

R

9. Закон Джоуля — Ленца в интегральной форме

dQ = IUdt = I 2 Rdt = U 2 dt. R

10. Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме

ω= jE = γE2.

11. Закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома)

I = ϕ1 −ϕ2 +ε12 ,

R

где ϕ1 и ϕ2 — потенциалы точек 1 и 2 участка цепи.

118

12.Первое правило Кирхгофа

∑Ii = 0.

i

13.Второе правило Кирхгофа

∑Ii Ri = ∑ε.

i k

Примеры решения задач

Задача 7.1

На вход электрической цепи подано напряжение U1 = 100 В. Напряжение на выходе U3 = 40 В. Через сопротивление R2 (см. рис.) проходит ток I = 1 A. Если на выход цепи подать напряжение U3′ = 60 В,

то на входе напряжение будет U1 = 15 В. Определите сопротивления

R1, R2, R3.

Дано:

U1 = 100 B; I2 = 1 A.

U3 = 40В; U3′ = 60 B. U1 = 15 B.

R1; R2; R3 — ?

Ре ш е н и е

Впервом случае падение напряжения на сопротивлении R2 рав-

но U2 = U1 – U3 = 100 – 40 = 60 (B).

Это означает, что R				=		U2		=	60	= 60 (Ом). Так как через сопро-
	2					I2		1
тивление R3 в первом случае идет такой же ток, что и через сопро-
тивление R2, то R =	U3		=		40		= 40 (Ом).
3	I2			1

119

Если на выход цепи подано напряжение U3′, то падение напряжения на сопротивлении R2 равно U2′ = U3′ – U1′ = 60 – 15 = 45 (В).

При этом	U2′	=	R2	и R	=	U1R2	=	100 60	= 20 (Ом).
	U1 R1			1		U2	25

Ответ: R1 = 20 Ом; R2 = 60 Ом; R3 = 40 Ом.

Задача 7.2

Гальванический элемент дает на внешнее сопротивление R1 ток I1, а на сопротивление R2 — ток I2. Определите ток короткого замыкания.

Дано:

I1; R1; I2; R2

Iк.з — ?

Р е ш е н и е

Сила тока короткого замыкания определяется так: Iк.з= εr , где

ε и r — ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока соответственно.

По закону Ома для замкнутой цепи I1 = R1ε+ r и I2 = R2ε+ r .

Решая два последних уравнения относительно ε и r, получаем

ε =

I1I2 (R2 − R1)

; r

=

I2 R2 − I1R1

.

I

2

− I

I

2

− I

1

1

I

к.з

= ε =

I1I2 (R2 − R1)

.

r

I

2

R

− I R

2

1

1

Ответ: Iк.з= ε = I1I2 (R−2 − R1) . r I2 R2 I1R1

Задача 7.3

Определите длину проводника l, имеющего площадь поперечного сечения S для изготовления нагревателя, который за время τ может нагреть массу воды m от начальной t1 до конечной температуры t2. Напряжение в сети — U, КПД кипятильника — η, удельное сопротивление проводника — ρ, удельная теплоемкость воды — с.

120

ηU 2τS

Дано:

S; τ; t1; t2; η, ρ

l — ?

Р е ш е н и е

Необходимое для нагревания воды количество теплоты

Q1 = cm(t2 – t1).

Мощность нагревателя

	Q		U 2				U 2
P =	2	=			, или Q	=			τ.
	t			R	2			R

Определим КПД кипятильника

η =	Q1	, или η =	cm(t2 −t1)R	.
	Q2
			U 2τ

Далее определим сопротивление проводника

	R =	ηU 2τ			.
		cm(t	2	−t )
				1

Из определения сопротивления проводника R = ρSl выразим его длину l = RSρ или окончательно

l = cmρ(t2 −t1) .

	Ответ: l =	ηU 2		τS	.
		cmρ(t	2	−t )
				1

Задачи для самостоятельного решения

10.17; 10.26; 10.30; 10.33; 10.36; 10.37; 10.48; 10.53; 10.60; 10.62;10.82; 10.86.

121

M = PGm BG .

Практическое занятие 8 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Основные законы и формулы

1. Магнитный момент рамки с током

Pm = ISn,

где S — площадь рамки; n — вектор единичной внешней нормали. 2. Вращательный момент, действующий на рамку с током в маг-

нитном поле

3. Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля

B = µµ0 HG,

где µ и µ0 — относительная магнитная проницаемость среды и магнитная const, соответственно.

4. ЗаконБио— Савара— Лапласадляэлементапроводникастоком

dBG = µ0µ I dl rG — векторная форма; 4π r3

dB = µ0µIdl sin α — скалярная форма. 4πr2

5. Магнитная индукция поля «прямого» тока

B = µ20πµRI .

6. Магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

B= µµ0 2IR .

7.Магнитная индукция поля на оси соленоида

B = µµ0 In.

8. Закон Ампера

dFG = I dl BG — векторная форма; dF = IBdl sin α — скалярная форма.

122

4πr3

9. Магнитное поле свободно движущегося заряда B = µµ0q VrG — векторная форма;

B = µµ0qV sin α — скалярная форма. 4πr2

10. Сила Лоренца		GG
G
F	= q VB		— векторная форма;

F= qBV sin α — скалярная форма.

11.Закон полного токаG для магнитного поля в вакууме (теорема

оциркуляции вектора B )

G G

v∫ Bdl = v∫ Bl dS

L L

n

= µ0 ∑Ii .

i=1

12. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь произвольную поверхность

ФВ = ∫BdS = ∫BndS.

SS

13.Теорема Гаусса для поля с магнитной индукцией B

v∫ BdS = v∫ BndS = 0.

SS

14.Работа поперемещению замкнутого контура вмагнитное поле

15.	Закон Фарадея	dA = IdФ.
		εi = −	dФ	.
16.	ЭДС самоиндукции		dt

εS = −L dIdt .

17.Индуктивность бесконечного длинного соленоида, имеющего N витков

L = µµ0 Nl2S .

123

18.	Энергия магнитного поля
		E		=		LI 2		.
			m
19.	Объемная плотность энергии2магнитного поля
		E		µ	µH 2				BH
	ω=	m	=	0				=		.
					2				2
		V

Примеры решения задач

Задача 8.1

Проволочный виток с диаметром 20 см помещен в однородное магнитное поле, индукция которого равна 10–2 Тл. При пропускании по витку тока в 2 А он повернулся на 90º. Определите, какой момент сил подействовал на виток.

Дано:

B = 10–2 Тл I = 2 A

d = 0,2 м α = 90º

M — ?

Р е ш е н и е

Модуль момента сил, действующих на виток с током в магнитном поле, M = Pm BS sin α, где Pm = IS — магнитный момент витка;

S — площадь витка; α — угол между векторами PGm и BG.

Так как α	= 90º, а площадь контура				S =	πd		2
							4	, то модуль момента
сил
M =		Iπd 2	B; M =	2 3,14 0,22 10−2			= 6 10−5 (Н·м)
	4			4

Ответ: M = 6 10−5 Н·м.

Задача 8.2

Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 4 мТл. Найдите период T обращения электрона.

124

Дано:

e =1,6 10−19 Кл

m = 9,1 10−31кг B = 4 10−3 Тл

T — ?

Р е ш е н и е

Период обращения электрона, движущегося по окружности под действием силы Лоренца, связан с угловой скоростью выражением

T = 2ωπ.

Учитывая, что линейная скорость V = ωR, а сила Лоренца является центростремительной силой: Fл = mαц,

можно записать

e BV = mVR 2 .

Далее определяем скорость

V = e mBR .

Получим выражение для периода

T = 2eπBm .

T = 2 3,14 9,1 10−31 =8,9 10−9 (с) 1,6 10−19 4 10−3

Ответ: T =8,9 нс.

Задача 8.3

Магнитный поток через контур из проволоки с сопротивление

1 Ом равномерно увеличивается от 0 до 10−4 Вб. Какой заряд при этом прошел через поперечное сечение проводника?

Дано:

R = 1 Ом

Ф2 = 10–4 Вб

∆q — ?

125

Р е ш е н и е

При равномерном увеличении магнитного потока через Ф1 = 0 Вб контур и сила тока в цепи постоянны, в этом случае электрический заряд ∆q = I ∆t.

Следовательно, нужно найти силу тока в цепи.

По закону электромагнитной индукции модуль ЭДС определяется как

εi = ∆∆Φt ,

где ∆t — время изменения магнитного потока. По закону Ома для замкнутой цепи сила тока

I = εRi ,

где R — полное сопротивление цепи. Окончательно

I = Rε = R∆∆Φt ; ∆q = I ∆t = ∆RΦ;

∆q = 10−4 =10−4 (Кл). 1

Ответ: ∆q =10−4 Кл.

Задача 8.4

Найдите энергию магнитного поля соленоида, в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 0,5 Вб.

Дано:

I = 10 A Ф = 0,5 Вб

Em — ?

Р е ш е н и е

Зная силу тока и магнитный поток Ф, можно найти индуктивность соленоида

L = Φl .

126