6.3. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока. Законы Джоуля — Ленца

Электрическое поле при перемещении заряда q по участку цепи совершает работу, равную произведению заряда на напряжение U на концах этого участка цепи

	dA =Udq = IUdt =	U 2	dt.	(6.15)
		R

Эту величину называют работой тока.

Мощность тока Р — величина, характеризующая быстроту совершения полем работы по перемещению заряженных частиц по проводнику, равная отношению работы dА, совершенной за время dt, к этому интервалу времени

P = dA	= IU = I 2R = U 2 .	(6.16)
dt	R

Наличие у проводника электрического сопротивления приводит к рассеянию электрической энергии — переходу ее во внутреннюю энергию проводника.

Закон Джоуля — Ленца: количество теплоты dQ, выделяемое проводником с током, равно произведению квадрата силы тока I, сопротивления проводника R и времени dt прохождения тока

dQ = I 2Rdt.

(6.17)

Элементарный электрический объем проводника: dV = dSdt, сопротивление — R = ρdSdl (по проводнику течет ток вдоль его оси).

Тогда теплота, выделяющаяся в объеме dV за время dt dQ = I 2 Rdt = dSdl ( jdS )2 dt = ρj2dVdt.

Если обозначить величину dVdtdQ через ω — удельную тепловую мощность тока, то используя закон Ома в виде j = γE, получим

ω= ρpj2 , или ω= γE2.

(6.18)

Данное выражение представляет закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме.

96

6.4. Основы классической электронной теории проводимости металлов Лоренца — Друде

Носителями тока в металлах являются электроны проводимости — свободные электроны, образовавшиеся из валентных электронов атомов металла, не принадлежащих определенному атому, т.е. коллективных, или обобществленных. Концентрация электронов проводимости имеет величины порядка 1028 ÷ 1029 м–3. В классической теории Лоренца — Друде эти электроны рассматриваются как идеальный одноатомный электронныйгаз.

Электроны проводимости в отсутствие электрического тока внутри металла хаотически движутся и сталкиваются с ионами кристаллической решетки металла. Средняя скорость теплового дви-

жения электронов при Т ≈ 273 К составляет ≈10−4 мс — так назы-

ваемая скорость дрейфа Vдр .

При нагревании металлов их сопротивление увеличивается, так как с повышением температуры атомы движутся быстрее, их расположение становится менее упорядоченным и они сильнее мешают направленному движению свободных электронов. При очень низких температурах электрическое сопротивление некоторых металлов резко падает до нуля, наблюдается явление сверхпроводимости.

Определим в общем виде величину скорости дрейфа. Пусть проводник имеет цилиндрическую форму площадью поперечного сечения S, в нем создано электрическое поле напряженностью Е, под действием которого свободные электроны движутся против поля,

	создавая ток силой I. За время t =		l		свободные электроны прой-
		V
			др

дут участок проводника длиной l. Суммарный переносимый ими заряд равен

q = eneSVдрt,

где е — модуль заряда электрона; ne — концентрация свободных электронов.

97

Так как по определению

				I = q		,
то				t
		I = eneVдрS,
откуда
				I		=	j	.
V			=
				en S
	др						en
				e			e

Металлы обладают как большой электропроводимостью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы — свободные электроны, которые перемещаются в металле, перенося не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического движения, т.е. осуществляя перенос теплоты.

Видеманом и Францем был экспериментально установлен закон, согласно которому отношение теплопроводности λ к удельной проводимости γ для всех металлов при одной и той же температуре

одинаково и увеличивается пропорционально термодинамической

температуре:
λ	=βT,	(6.19)
γ

где β — постоянная, не зависящая от рода металла.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов позволила найти β:

β = 3ek 2 ,

где k — постоянная Больцмана.

Теория Лоренца—Друде позволяет объяснить основные явления, происходящие при прохождении электрического тока через металлические проводники, но имеет ряд недостатков:

1) полученная теоретическая температурная зависимость величины удельного сопротивления ρ противоречит эксперименталь-

ным данным:

ρтеор T ;ρэксп T;

98

2)вопреки электронной теории электронный газ не обладает теплоемкостью;

3)с позиции классической электронной теории необъяснимо состояние сверхпроводимости, возникающее у некоторых металлов при температуре, близкой к абсолютному нулю.

Перечисленные трудности классической электронной теории были сняты применением квантовых представлений.

Вопросы для самостоятельного рассмотрения

1.В чем заключается явление сверхпроводимости и как можно использовать его в технике?

2.Принцип работы термометра сопротивления.

3.Запишите закон Ома для неоднородного участка цепи электрического

тока.

4.Как рассчитать сопротивление при последовательном и параллельном соединении одинаковых по сопротивлению проводников?

5.Проанализируйте зависимость количества теплоты от сопротивления при различных способах соединения проводников.

Практическое занятие 6 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ И ВЕЩЕСТВЕ

Основные законы и формулы

1. Закон Кулона

F =

1

q1

q2

, или F =

k

q1

q2

,

4πεε0

r2

ε

r2

где ε0 — электрическая постоянная, ε0 ≈ 8,85·10–12 Кл2 /Н·м2; ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды; k ≈

≈9·109 Н·м2/ Кл2.

2.Напряженность электростатического поля

E = F . q0

3. Поток вектора напряженности электростатического поля сквозь замкнутую поверхность S

ϕЕ = ∫ EdS = ∫ EndS.

S S

99

4. Принцип суперпозиции электростатических полей

n

E = ∑Ei.

i=1

5. Электрический момент диполя pi = q li.

6. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

			1		n	1
	∫ EdS = ∫ EndS =				∑qi =			∫ρdV.
			ε			ε
	S	S		0	i=1		0 S

7.Объемная, поверхностная и линейная плотности заряда

ρ= dVdq ;σ = dSdq ;τ = dqdl .

8.Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью

E = σ . 2ε0

9. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными и разноименно заряженными плоскостями (плоскопараллельный конденсатор)

E = σ .

ε0

10. Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью

E = 4πε1 0 rq2 (r ≥ R); E = 0 (r < R).

11. Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром

E = 4πε1 0 rq2 (r ≥ R); E = 4πε1 0 Rq2 r′ ( r′≤ R).

12. Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром

E = 4πε1 0 rτ (r ≥ R); E = 0 (r < R).

100

13. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура L

∫ Edl = ∫ El dl = 0.

LL

14.Потенциал электростатического поля

ϕ= En = A∞ . q0 q0

15.Связь между потенциалом электростатического поля и его

напряженностью

E = −gradϕ, или E = −∆ϕ. 16. Вектор поляризации

n

∑ pi

P = i=V1 .

17. Связь между векторами P и E P =χε0E,

где χ — относительная диэлектрическая восприимчивость среды.

18.Связь между диэлектрической проницаемостью ε и диэлектрической восприимчивостью χ среды

ε=1+χ.

19.Связь между векторами электрического смещения D и напряженностью электростатического поля

D=ε0εE.

20.Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

n

∫ DdS = ∫ DndS = ∑qi ,

S

S

i=1

n

где ∑qi — алгебраическая сумма свободных электрических заря-

i=1

дов, заключенных внутри поверхности S.

21. Электроемкость уединенного проводника

C = ϕq .

101

22. Электроемкость шара

C= 4πε0εR.

23.Электроемкость плоского конденсатора

C = ε0dεS ,

где S и d — площадь обкладки конденсатора и расстояние между ними, соответственно.

24. Электроемкость цилиндрического конденсатора

C = 2πε0l ,

ln r2 r1

где l — длина; r1 и r2 — внутренний и внешний радиусы цилиндров. 25. Электроемкость сферического конденсатора

C = 4πε0ε r2r1−r2r1 ,

где r1 и r2 — внутренний и внешний радиусы сфер.

26. Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов

n

C = ∑Ci ,

i=1

27. Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов

1	n 1
	= ∑		.
C
	i=1 Ci

28. Энергия заряженного уединенного проводника

Wэл = Сϕ2 = qϕ = q2 . 2 2 2C

29. Энергия заряженного конденсатора

W =	С∆ϕ2	=	q∆ϕ	=	q2
						.
эл	2		2		2C

30.Объемная плотность энергии электростатического поля

ω= WVэл = ε0ε2E2 = ED2 .

102

Примеры решения задач

Задача 6.1

Капелька воды диаметром d находится во взвешенном состоянии в масле при напряженности электрического поля E. Поле это однородное и его напряженность направлена вертикально вверх. Определите количество элементарных зарядов, находящихся на капле.

Дано: d; E

n — ?

Р е ш е н и е

Капля висит в масле, следовательно уравновешены силы, действующие на нее.

Запишем условие равновесия капли

mg + FA + Fэ = 0,

или

−mg + FA + Fэ = 0.

Выталкивающая сила (сила Архимеда) FA =ρm gV , где V — объем капли и V = 43 πr3, так как r = d2 , то V = π6d3 , или V = π6d3 ρm g,

где ρm — плотность масла; m — масса капли и m =ρвV =ρв π6d3 .

Сила, действующая на каплю со стороны электростатического поля

Fэ = qE,

где q = e n, e — элементарный заряд; n — число элементарных зарядов.

103

Тогда

Fэ = e nE.

Подставляем все формулы в условие равновесия

π6d3 ρm g − π6d3 ρвg + e nE = 0.

Преобразуя данное уравнение, найдем число элементарных зарядов

n = πd3 (ρв −ρm ). 6 e E

Ответ: n = πd3 (ρв −ρm ). 6 e E

Задача 6.2

Заряды 40 нКл и –10нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Определите величину третьего заряда и его расположение, чтобы равнодействующая сила со стороны двух других зарядов, была бы равна нулю.

Дано:

q1 = 40·10–9Кл q2 = –10·10–9Кл

l = 0,1 м

q, x — ?

Р е ш е н и е

Укажем расположение зарядов и направление сил, действующих на заряд q

Выразим силу F1 =

1

q1

q

и силу F2 =

1

q2

q

.

4πε0

(l +

x2 )

4πε0

x2

104

Запишем условие равновесия заряда q

F1 + F2 = 0, или F1 + F2 = 0,

тогда

	F1 = F2 , или			q2		=		q1	.
				x2			(l + x2 )
	Откуда
	x =			l				.
				q
				1		−1
				q
				2

Точка А находится ближе к меньшему по модулю заряду, поэтому

x =	0,1		= 0,1(м).
	40	−1
	10

Заряд может быть любым, так как он не входит в расчет. Ответ: x = 0,1 м.

Задача 6.3

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на одной линии напряженности однородного поля, равна 2 кВ. Расстояние между этими точками — 10 см. Определите напряженность этого поля.

Дано:

∆ϕ = 2 10−3 В d = 0,1 м

Е — ?

Р е ш е н и е

Разность потенциалов ∆ϕ между точками 1 и 2 с потенциалами ϕ1 и ϕ2 связана с напряженностью электрического поля

∆ϕ = Ed,

где d — расстояние между точками.

105

Поле Евпромежутке 1—2 считается постоянным. Такимобразом

	E	=	∆ϕ	;
			d
E =	2 10−3	= 20 10			−3		В
								.
	0,1
							м

Ответ: E = 20кВ/м.

Задача 6.4

Электроемкость одного конденсатора в 9 раз больше электроемкости другого. Определите, на какой из конденсаторов надо подать большее напряжение (и во сколько раз), чтобы их энергия была одинаковой.

Дано:

C2 = 9C1

Eэл1 = Eэл2

С1U12 = С2U22

U2 — ?

U1

Р е ш е н и е

Энергия конденсатора

Eэл = С∆ϕ2 2 = CU2 2 ,

где С — емкость конденсатора; U = ∆ϕ — разность потенциалов,

равная напряжению.

Если конденсаторы имеют одинаковую энергию, то Поэтому

U2	=	C1		= 3.
U		C	2
1

Ответ: на конденсатор меньшей емкости надо подать напряжение в 3 раза большее, чем на первый.

Задачи для самостоятельного решения

9.15; 9.18; 9.40; 9.76; 9.84; 9.117.

106