2) Виды динамических моделей

Динамические модели можно подразделить на два больших класса: традиционные модели и современные модели или ещё их называют модели в пространстве состояний.

К традиционным моделям относят простейшие инерционные модели, модели на базе передаточных функций и комплексных коэффициентов передачи.

Многие технологические процессы обладают инерционностью. Говорят, что такие процессы имеют «память». Инерционные модели бывают дискретные и непрерывные, линейные и нелинейные.

Если модель линейная дискретная, то её представляют в виде суммы свертки (весовая функция):

(4.4)

где - дискретные значения выходного сигнала;- дискретная весовая функция;- дискретные значения входного сигнала;- случайная помеха.

В этой модели по существу нет параметров, она непараметрическая. Роль величин, которые необходимо определить из экспериментальных данных, играют значения ординат импульсной характеристики, которые рассматривают как коэффициенты регрессивной модели, а роль факторов здесь играют значения одной и той же входной величины, но в разные моменты времени.

Если линейная модель непрерывная, то модель будет типа интеграла свертки:

(4.5)

Модель (4.5) также как и (4.4) является непараметрической. Она содержит неизвестную весовую функцию g(τ). На практике широко используется возможность представления весовой функции для стационарной системы в форме Релея-Ритца путем разложения функции в ряд по системе известных ортогональных функций:

где - заданная система базисных функций (фильтров), зависящая от параметраα.

Такой прием делает модель параметрической. Теперь она содержит ограниченное множество параметров a_i, подлежащих определению.

Нелинейные инерционные модели могут быть представлены в виде сумм или рядов Вольтерра.

В импульсном варианте модель можно представить:

(4.6)

Для непрерывного объекта:

(4.7)

В выражениях (4.6) и (4.7) g₁ и g₂ соответственно весовые функции, их называют ядрами Вольтерра первого и второго порядка; g₀ - составляющая не связанная с входным сигналом.

Непосредственное определение ядер по опытным данным представляет собой сложную задачу. Поэтому их обычно аппроксимируют путем разложения в ряд по системе известных ортогональных функций:

Теперь задача построения модели сводится к определению параметров весовой функции по косвенным экспериментальным данным.

Модели на базе передаточных функций

Для непрерывных динамических объектов выходная величина определяется интегралом свертки (4.5).

Применим преобразование Лапласа. На основании теоремы свертывания имеем:

(4.8)

Для импульсного динамического объекта, согласно выражения (4.4) после z- преобразования получаем:

(4.9)

Модели (4.8) и (4.9) имеют вид регрессионных зависимостей. Параметры этих моделей, которые необходимо определить из экспериментальных данных, содержатся в выражениях передаточных функций.

Модели на основе комплексного коэффициента передачи

К модели частотного вида можно перейти путем замены в выражении (4.8) аргумента р на jw:

(4.10)

В роли аргументов в моделях (4.8),(4.9),(4.10) выступает не время, а соответственно параметры преобразования: z, p, jw. Все эти модели линейны по входным сигналам, но, как правило, не линейны по параметрам.

Современные модели ( модели в пространстве состояний)

В настоящее время все чаще переходят к математическому описанию динамических систем в описание систем в пространстве состояний. При этом используют конечно - разностные и дифференциальные уравнения в форме Коши, т.е. разрешенных относительно первых разностей и первых производных. Описание систем в пространстве состояний позволяет с единых позиций рассматривать различные системы: линейные, нелинейные, дискретные и непрерывные.