I. Задачи элементарной математики

§ 1. Линейная функция. Уравнение прямой. Парабола

Линейная функция называется такжелинейной зависимостью или линейной регрессией. Уравнение подчёркивает, чтоy зависит от x, а не наоборот. Уравнение , напротив, указывает на равноправие переменных и применяется, когда линейная комбинация образует новую величину, например, производственные затраты.

Любая линия (не только прямая) пересекает ось абсцисс (ось OX), когда , а ось ординат (осьOY) – если . Поэтому для поиска точек пересечения линии с системой координат подставляем эти значения по очереди в уравнение линии, находим другую координату и тем самым – точку пересечения.

С точки зрения математического анализа запись точнее. Принятая форма записисвязана с традициями аналитической геометрии.

ЛФ1. Отметьте точки в декартовой системе координат:

1)

2)

3)

4)

ЛФ2. Постройте прямые, параллельные осям координат:

1) а) ; б); в); г); д); е);

2) а) ; б); в); г); д); е).

Как выглядят прямые и?

ЛФ3. Постройте прямые, определив точки пересечения с осями координат:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в); г);

4) а) ; б); в); г);

5) а) ; б); в); г);

6) а) ; б); в); г).

Пример 1. Построим прямую .

Если , то, откудаи соответственно. Значит, прямая пересекает осьOY (на которой ) в точке.

Если же , то, откуда. Поэтому прямая пересекает осьOX (на которой ) в точке.

Отмечаем на оси OX точку , на осиOY точку и проводим прямую, проходящую через эти точки.

Пример 2. Построим прямую :

а) если , то, откудаи;

б) если , то, откудаи.

Отмечаем на оси OX точку , на осиOY точку , и проводим прямую, проходящую через точки.

ЛФ4. Постройте прямые, заданные уравнением с угловым коэффициентом:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д);

4) а) ; б); в); г); д).

Пример 3. Построим прямую :

а) пусть , тогда. Отмечаем точку;

б) пусть , тогда. Отмечаем точку.

Прямая проходит через А и В (и продолжается в обе стороны).

Замечание. При слишком близких значениях x прямая получится неточно. Не следует также брать x, при которых получается большое (по модулю) значение y.

ЛФ5. Постройте прямые, обращая внимание на зависимость расположения прямой от знака и величины коэффициентов:

1) а) ; б); в); г);

д) ;e) ; ж) ; з) ;

2) а) ; б); в); г);

д) ;e) ; ж) ; з);

3) а) ; б); в); г);

д) ;e) ; ж) ; з);

4) а) ; б); в); г);

д) ;e) ; ж) ; з).

ЛФ6. Постройте параболы любым способом:

1) а) ; б); в); г);

д) ;e) ; ж) ; з) ;

2) а) ; б); в); г);

д) ;e) ; ж) ; з) ;

3) а) ; б); в); г);

д) ;e) ; ж); з);

4) а) ; б); в); г);

д) ;e) ; ж); з).

Пример 4. Построим параболу .

Если , то. Парабола пересекает осьOY в точке .

Чтобы найти точки пересечения с осью OX, решаем уравнение , получаем точкии.

Перед квадратом стоит знак «–». Значит, ветви направлены вниз. В уравнении отсутствует линейное слагаемое px, поэтому вершина находится на оси OY. Общий вид параболы дан на рисунке 1. Ось OY проходит через точку .

Рисунок 1 – Парабола

ЛФ7. Постройте параболы, указав вершину и точки пересечения с осями координат (если такие точки есть):

1) а) ; б); в);

г) д); е);

2) а) ; б); в);

г) д); е);

3) а) ; б); в);

г) д); е);

4) а) ; б); в);

г) д); е).

Пример 5. Построим параболу .

Пусть , тогда. Парабола пересекает осьOY в точке .

Решим уравнение . Получим точкии. В них парабола пересекает осьOX.

Когда парабола задана уравнением , её вершина находится по формуле. В нашем случае, поэтому. Соответственно, , и вершина – в точке. Ветви идут вверх – перед квадратом в уравнении стоит знак «+». Ось OY проходит через (рисунок 2).

Рисунок 2 – Парабола

Пример 6. Построим параболу .

Ветви направлены по горизонтали, поскольку x квадратично зависит от y. При этом перед квадратом в уравнении стоит знак «+» и ветви идут в положительном направлении – вправо.

Пусть , тогда. Решение уравнения – точкии, в них парабола пересекает осьOY.

Если , тои парабола пересекает осьOX в .

Вершину находим по формуле при, поэтому. При этом . Вершина параболы находится в точке (рисунок 3).

Рисунок 3 – Парабола