§ 3. Аналитическое задание функций

Функция заданааналитически, если предложена некоторая формула, по которой для каждого конкретного аргумента x можно найти соответствующее значение y. В общем случае это зависимость , но если её можно свести к виду, то говорят, что функция заданав явном виде.

Например, –неявно заданная функция . В то же время– функция в явном виде. С другой стороны, можно вести речь одвузначной функции , определённой при, поскольку для любоговозможны 2 значенияx (при функцияне определена, приполучим).

Задача о поиске зависимости на основе известной неявно заданной функции возникает, например, при решениидифференциальных уравнений или при построении графиков. Кроме того, необходимость выразить переменную x через переменную t, когда дана зависимость , появляется приинтегрировании функций.

АЗ1. Выразите y как функцию . Найдите значение. Укажите область определения функции:

1) а) ; б); в);

г) ; д); е);

2) а) ; б); в);

г) ; д); е);

3) а) ; б); в);

4) а) ; б); в);

5) а) ; б); в);

6) а) ; б); в);

г) ; д); е).

Пример 1. Пусть . Еслии, то обратные величины также равны:, и. Функция определена при.

В точке условие превращается в невозможное равенство, а при вычисленииполучаем деление на 0. Если же, то.

Ответ: .

Пример 2. Пусть . Очевидно,. Сам же логарифм может принимать любое значение (в отличие, например, от квадратного корня или синуса), поэтому ограничений нанет, и тогдаx – любое число.

По определению логарифма, – это степень, в которую надо возвести 10, чтобы получитьy. Таким образом, , или.

Если , то.

Ответ: ,.

Пример 3. Пусть . Еслисуществует, то. Из условия видно, что. Значит,, и тогда(поскольку числитель). Поэтому. Отсюда.

По свойству пропорций можно поменять местами и:. Возведём в квадрат. Функция определена при, что не отражается на уже установленном ограничении.

В точке находим.

Ответ: .

Пример 4. В случае замечаем, что в левой части условия есть, но, и тогда дробь. Значит, в правой части, откуда.

Равенство , равносильное начальному, возводим в квадрат:, тогдаи.

То, что , т.е., учитывается формулой функции. В самом деле, дробь, и при вычитании её изэто число можно только уменьшить.

В точке будет.

Ответ: .

Пример 5. Пусть . Возведём в квадрат, но учтём, чтои, т.е. чтои.

Из уравнения выразим, тогдаи тем самым. Также находим.

Ответ: .

Пример 6. Пусть . Из условия видно, чтои. Обратные величины также равны:или.

Переносим: , выражаем, где.

Итак, при.

Кроме того, .

Ответ: .

15