- •6.4. Магнитостатическое поле
- •6.4.1. Векторы магнитного поля.
- •6.4.2. Граничные условия для векторов магнитного поля.
- •6.4.1. Векторы магнитного поля
- •6.4.2. Граничные условия для векторов магнитного поля. Условия для нормальных составляющих векторов в и н
- •Условия для касательных составляющих в и н. Поверхностный ток
- •6.4.3. Закон полного тока
- •6.4.4. Скалярный и векторный магнитный потенциалы.
- •6.4.5. Расчет магнитостатических полей
6.4.2. Граничные условия для векторов магнитного поля. Условия для нормальных составляющих векторов в и н
Пусть в пространстве имеется некая граница раздела сред. Выделяем на ней элементарную площадку S. Размеры малы настолько, что в пределах этой площадки нормальная компонента распределена равномерно. Строим на основании этой площадки цилиндр. Применим к цилиндру закон Гаусса:
|
(6.4.6) |
|
(6.4.7) |
Рисунок 6.4.2 – К выводу граничных условий.
В этих интегралах направление совпадает с внешней нормалью к цилиндру. Устремим высоту цилиндраh0 так, чтобы S1 и S2 находились в разных средах. Тогда:
Так как имеет конечные значения, то. В итоге получим
, |
(6.4.8-9) |
Из (8) и (9) следует, что нормальная компонента вектора магнитной индукции непрерывна при прохождении границы сред. Тангенциальная компонента вектора напряженности магнитного поля непрерывна только при отсутствии на границе сред поверхностного тока. В другом случае компонента Н претерпевает разрыв, который определяется отношением магнитных проницаемостей сред.
Условия для касательных составляющих в и н. Поверхностный ток
Условия для касательных составляющих магнитных векторов выводятся также как и для электрических. Через нормаль проводим плоскость р. На линии пересечения выделяем элемент длины l, малый настолько, чтобы в пределах этого участка касательные составляющие в 1 и 2 средах были распределены равномерно. На этом отрезке строим контур так, чтобы участки контура были в разных средах. Положительное направление обхода контура связано с этими векторами правилом правого винта . Применим к контуру первое уравнение Максвелла в интегральной форме
|
(6.4.10) |
Левую часть представим в виде суммы интегралов по участкам контура
;
на участках АВ и СD может быть представлен
Устремим h0 так, чтобы участки контура находились в разных средах. Тангенциальная составляющая распределена равномерно.
Рисунок 6.4.3 - Условия для касательных составляющих В и Н.
Так как векторы в 1 и 2 средах, а также векторимеют конечную величину, то
.
В результате предельного перехода, примененного к соотношению , получим .
Рисунок 6.4.4 – Граничные условия при наличии поверхностного тока.
Пусть на границе раздела S отсутствуют поверхностные токи, тогда правая часть соотношения обращается в нуль, получаем
|
(6.4.11) |
При отсутствии поверхностных токов тангенциальная компонента непрерывна при прохождении границы раздела сред.
2. Пусть на границе раздела сред S имеются поверхностные токи, тогда
Плотность поверхностного тока распределена в пределах l равномерно (это условие является следствием исходного предположения о равномерном распределении тангенциальной составляющей в пределахl.
С учетом приведенных соотношений предельный переход приведет к следующему соотношению:
|
(6.4.12) |
При наличии поверхностных токов на границе раздела тангенциальная составляющая претерпевает разрыв, величина которого определяется плотностью поверхностного тока. Используя взаимосвязь единичных векторов, соотношение можно переписать в векторной форме:
Для магнитной индукции:
, |
(6.4.13-14) |
Из соотношений (12), (13) следует, что тангенциальные компоненты вектора магнитной индукции на границе раздела претерпевают разрыв. Наличие поверхностного тока только изменяет величину разрыва, увеличивая или уменьшая ее. Понятие поверхностного тока - это удобная идеализация, упрощающая решение задач. Ток протекает в конечном по величине слое. Причем тангенциальная составляющая непрерывна во всех точках внутри этого слоя, но по разные стороны этого слоя тангенциальная составляющаяимеет различные значения. Поэтому, когда мы переходим к поверхностным токам, мы вынуждены предположить скачкообразное изменение тангенциальной составляющей.