6.4.3. Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, пересекающих поверхность, ограниченную данным контуром.

(6.4.15)

Очевидно, данный закон устанавливает количественную связь между протекающими токами и возникающим при этом магнитным полем. Вводя удельные величины запишем в дифференциальной форме:

(6.4.16)

Принцип непрерывности магнитного потока

Определим магнитный поток через некоторую поверхность согласно

(6.4.17)

Из опытов известно, что вошедший внутрь любого объема магнитный поток равен магнитному потоку, вышедшему из того же объема. Следовательно, алгебраическая сумма вошедшего в объем и вышедшего из объема потоков равна нулю:

(6.4.18)

Это выражение представляет собой математическую запись принципа непрерывности магнитного потока, его можно записать в дифференциальной форме:

(6.4.19)

6.4.4. Скалярный и векторный магнитный потенциалы.

Поскольку расчет магнитного поля сводится к определению векторов В и Н, то представляет достаточно трудоемкую задачу. На практике, в областях, где отсутствуют протекающие токи, часто можно такой расчет свести к более простому – нахождению вспомогательной величины -скалярного магнитного потенциала. Действительно, в таких областях поле можно считать потенциальным и каждой точке сопоставить новую физическую величину скалярный магнитный потенциал, определив его соотношением

(6.4.20)

Так как

,

то при постоянстве абсолютной магнитной проницаемости среды

,

подставив в последнее (6.4.20) получим

(6.4.21)

Уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала.

Для областей занятых током расчет поля можно упростить вводя векторный магнитный потенциал, определяя его уравнением:

(6.4.22)

Умножим (6.4.16) на величину абсолютной магнитной проницаемости:

.

Будем считать, что μ_а всюду постоянна. Тогда получаем

(6.4.23)

Подставим в (6.4.23) (6.4.22):

(6.4.24)

В результате приходим к

(6.4.25)

Уравнению Пуассона для векторного магнитного потенциала.

Через векторный потенциал можно определить магнитный поток. На основании теоремы Стокса получаем:

.

В результате получаем

(6.4.26)

Таким образом, для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую площадь, необходимо подсчитать циркуляцию векторного потенциала по замкнутому контуру, на который опирается эта площадь.

6.4.5. Расчет магнитостатических полей

Задачи расчета магнитных полей

Рассмотрим некоторые типы задач расчета магнитных полей. Первый тип задач — определение индуктивности какого-либо контура или взаимной индуктивности двух контуров.

Второй тип задач — определение сил, действующих в магнитном поле на движущийся электрон, неподвижный проводник с током, ферромагнитные массы в магнитном поле.

Третий тип задач — расчет поля, создаваемого заданным распределением токов в пространстве.

Четвертый тип задач — расчет магнитных экранов. Магнитными экранами называют устройства, предназначенные для ослабления магнитного поля в заданной области пространства по сравнению с магнитным полем вне экрана. К магнитной экранировке прибегают, пример, для защиты чувствительных приборов от влияния посторонних магнитных полей, в частности от влияния магнитного поля Земли.

Пятый тип задач — нахождение распределения токов в некотором месте для получения заданной картины магнитного поля. Так, например, в морском деле большое значение имеет дегауссировка кораблей: корабль, обладая большой ферромагнитной массой, возмущает магнитное поле Земли не только в непосредственной близости от себя, но и на достаточно большом расстоянии. Соответствующие индикаторы возмущения магнитного поля Земли могут привести в действие находящиеся поблизости самодвижущиеся мины (имеются ввиду в условиях военного времени), и в результате корабль может оказаться подорванным. Чтобы этого не случилось, на кораблях устанавливают специальные намагничивающие обмотки, которые располагают таким образом, чтобы скомпенсировать возмущение магнитного поля Земли вблизи корабля.

Много различных задач на расчет магнитных полей возникает |и в магнитной записи звука, а также при магнитной дефектоскопии, которая позволяет по картине магнитного поля судить о наличии раковин, трещин и других дефектов в изделиях из ферромагнитных материалов. Широко распространена она на железнодорожном транспорте при контроле целостности рельсов железнодорожного пути. Широкое распространение ее объясняется экономичностью и быстротой осуществления контроля.

Общая характеристика методов расчета и исследования магнитных полей

Методы расчета и исследования магнитных полей можно подразделить на три группы: аналитическую, графическую и экспериментальную. Группа аналитических методов объединяет все чисто аналитические приемы интегрирования уравнения Пуассона (для областей, занятых током), уравнения Лапласа (для областей, не занятых током), применение методов зеркальных и конформных отображений и др.

В силу трудностей математического характера классические аналитические методы позволяют решать относительно небольшой класс задач.

В тех случаях, когда расчет поля аналитическими методами вызывает затруднения, прибегают к графическому методу построения картины поля или к исследованию магнитного поля на модели. Графические методы построения картины поля применимы к двухмерным вихревым полям.

За последние годы был развит метод интегральных уравнений (см 6.7), предполагающий использование ЭВМ и значительно расширяющий круг решаемых задач.

Метод зеркальных изображений

Данный метод применяют при расчете магнитных полей при протекании тока вблизи стальных масс. Допустим, что в воздухе или какой-либо среде с проницаемостью μ₁ параллельно границе раздела сред проходит проводник с током – рис.6.4.1.

Вторая среда имеет проницаемость μ₂ . Требуется найти напряженность поля в точках пространства.

Для учета влияния границы раздела сред вводят расчетные токи, выбирая их значения так, чтобы удовлетворить граничным условиям.

Поле в верхнем полупространстве находится как суперпозиция полей, создаваемых заданным током и его зеркальным изображением по отношению к границе раздела I₂. Все пространство при этом имеет проницаемость μ₁.

Поле в любой точке нижнего полупространства имеющего проницаемость μ₂, определяется как поле расчетного тока I₃.

Для определения величин расчетных токов воспользуемся граничными условиями (6.4.8) и (6.4.11) из которых следует, что

,	(6.4.26),(6.4.27)

Магнитное экранирование

Положим что в пространстве расположено равномерное поле известной напряженности. Требуется заэкранировать некоторую область пространства от действия магнитного поля. Применим цилиндрический экран – рисунок 6.4..

В 1 и 2 области магнитная проницаемость равна единице, проницаемость стенки экрана μ₂.

Так как в пространстве отсутствуют токи применим уравнение Лапласа (6.4.21) к каждой из областей:

После раскрытия в цилиндрической СК получаем систему из трех уравнений вида

.

Решение этих уравнений методом Фурье дает для первой области

,

для второй области

для третьей

.

Постоянные интегрирования определяются путем составления шести уравнений:

1) , так как на бесконечности.

2) При должен быть конечен, поэтому.

3) При поэтому.

4) При поэтому.

5) Равенство нормальных составляющих на границах раздела дает

и .

Совместное решение 1)-5) дает:

,

при переходе к декартовой СК

.

Здесь

, ,.

Напряженность в первой области по модулю

.

Отношение напряженности внутри экрана к напряженности снаружи экрана

.