- •И.Н. Слинкина
- •Оглавление
- •Вопросы к блокам по курсу «Исследование операций» Блок 1
- •Блок 1.
- •1.1. Предмет и задачи исследования операций
- •1.2. Основные понятия и принципы исследования операций
- •1.3. Математические модели операций
- •1.4. Понятие линейного программирования
- •1.5. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о наилучшем использовании ресурсов
- •1.6. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о выборе оптимальных технологий
- •1.7. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о смесях
- •1.8. Примеры экономических задач линейного программирования. Транспортная задача
- •1.9. Основные виды записи задач линейного программирования
- •1.10. Способы преобразования
- •1.11. Переход к канонической форме
- •1.12. Переход к симметричной форме записи
- •Блок 2.
- •2.1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •2.2. Решение задач линейного программирования графическим методом
- •2.3. Свойства решений задачи линейного программирования
- •2.4. Общая идея симплексного метода
- •2.5. Построение начального опорного плана при решении задач линейного программирования симплексным методом
- •2.6. Признак оптимальности опорного плана. Симплексные таблицы
- •2.7. Переход к нехудшему опорному плану.
- •2.8. Симплексные преобразования
- •2.9. Альтернативный оптимум (признак бесконечности множества опорных планов)
- •2.10. Признак неограниченности целевой функции
- •2.11. Понятие о вырождении. Монотонность и конечность симплексного метода. Зацикливание
- •2.12. Понятие двойственности для симметричных задач линейного программирования
- •3.1. Несимметричные двойственные задачи
- •3.2. Открытая и закрытая модели транспортной задачи
- •3.3. Построение начального опорного плана. Правило "Северо-западного угла"
- •3.4. Построение начального опорного плана. Правило минимального элемент
- •3.5. Построение начального опорного плана. Метод Фогеля
- •3.6. Метод потенциалов
- •3.7. Решение транспортных задач с ограничениями по пропускной способности
- •3.8. Примеры задач дискретного программирования. Задача о контейнерных перевозках. Задача о назначении
- •3.9. Сущность методов дискретной оптимизации
- •3.10. Задача выпуклого программирования
- •3.11. Метод множителей Лагранжа
- •3.12. Градиентные методы
- •4.1. Методы штрафных и барьерных функций
- •4.2. Динамическое программирование. Основные понятия. Сущность методов решения
- •4.3. Стохастическое программирование. Основные понятия
- •4.4. Матричные игры с нулевой суммой
- •4.5. Чистые и смешанные стратегии и их свойства
- •4.6. Свойства чистых и смешанных стратегий
- •4.7. Приведение матричной игры к злп
- •4.8. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания
- •4.9. Потоки событий
- •4.10. Схема гибели и размножения
- •4.11. Формула Литтла
- •4.12. Простейшие системы массового обслуживания
- •2. Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью.
- •Список рекомендуемой литературы
1.6. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о выборе оптимальных технологий
В задаче о наилучшем использовании ресурсов определяется оптимальный план выпуска продукции. Пусть при производстве какого-то общественно необходимого продукта используется n технологий. При этом требуется m видов ресурсов, заданных объемами (). Эффективности, т.е. количество конечной продукции (в рублях), производимой в единицу времени поj-той () технологии, обозначим через. Пусть, далее,- расходi-го ресурса в единицу времени по j-той технологии. В качестве неизвестной величины примем интенсивность использованияj-той технологии, т.е. время, в течении которого продукция производится по j-той технологии. Пренебрегая временем переналадок, необходимыми для перехода от одной технологии к другой , получим следующую математическую модель задачи: найти план интенсивностей использования технологий Х=, обеспечивающий максимум выпуска в стоимостном выражении:
,
при ограничениях на лимитируемые ресурсы
(),
и условия неотрицательности
, ().
1.7. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о смесях
В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходным материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе относят задачи о выборе диеты, составления кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности и т.д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.
Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи о диете. Имеются пищевые продукты, известные под номерами 1, 2, 3, ..., j, ..., n. Они содержат различные питательные вещества, обозначаемые номерами 1, 2, 3, ..., i, ..., m (углеводы, белки, жиры, витамины, микроэлементы и др.). Единица j-го продукта содержит единицi-го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени нужно потреблять не менее единицi-го питательного вещества. Обозначим через стоимость единицы продукцииj-го вида. Требуется выбрать рацион минимальной стоимости, содержащие необходимые количества питательных веществ. План задач – это количества продуктов каждого вида, обеспечивающие необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты.
Математическая модель задачи:
Найти:
,
при ограничениях
(),
, ().
1.8. Примеры экономических задач линейного программирования. Транспортная задача
Рассмотрим простейший вариант модели транспортной задачи, когда речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителей к потребителям, при этом имеется баланс между суммарным спросом потребителей и возможностями поставщиков по их удовлетворению. Причем, потребителям безразлично, из каких пунктов производства будет поступать продукция, лишь бы их заявки были полностью удовлетворены. От схемы прикрепления потребителей к поставщикам существенно зависит объем транспортной работы, возникает задача о наиболее рациональном прикреплении, правильном направлении перевозок грузов, при котором потребности полностью удовлетворяются, вся продукция от поставщиков вывозится, а затраты на транспортировку минимальны.
Задача формулируется так: имеется m пунктов производства, в каждом из которых сосредоточено () единиц однородного продукта. Этот продукт нужно доставить n потребителям, где потребность составляет () единиц. Причем
.
Известны величины - затраты на перевозку единицы продукта изi-го пункта производства в j-тый пункт потребления. Обозначим через количество продукта, перевозимое изi-го пункта производства в j-тый пункт потребления. Матрица С=|||| называется матрицей тарифов
Матрица Х=|||| - матрицей перевозок:
С целью удобства построения математической модели матрицы тарифов и перевозок совмещают в одну, именуемую макетом транспортной задачи:
|
... | |||
... ... | ||||
... ... | ||||
... |
... ... |
... ... |
... ... |
... ... |
... ... |
Математическая модель транспортной задачи: целевая функция, описывающая транспортные затраты,
,
минимизируется при ограничениях на возможности поставщиков: весь продукт из пункта производства должен быть вывезен:
();
на спрос потребителей, который должен быть удовлетворен:
();
при условии неотрицательности переменных, исключающем обратные перевозки
(,).