4.9. Потоки событий

Определение 1: Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Пример: Поток железнодорожных составов; поток вызовов на телефонную станцию; поток отказов компьютера и т.д.

Важной характеристикой потока событий является его интенсивность λ – среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность может быть постоянной или переменной, зависящей от времени.

Определение 2: Поток событий называется регулярным, если события следуют один за другим через определенные, равные промежутки времени, для нерегулярных потоков длительность промежутков – случайная величина.

Пример: Поток занятия в вузе, следующих с интервалом в 15 минут; поток пригородных автобусов, отправляющихся с вокзала каждый час (регулярные потоки). Поток отказов ЭВМ; поток заявок в службу скорой помощи (нерегулярные потоки).

Определение 3: Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Пример: Поток запросов процессора к винчестеру (стационарный поток). Поток покупателей в магазин (нестационарный поток)

Определение 4: Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени ичисло событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

Пример: Поток пассажиров в метро (поток без последствий). Поток покупателей в магазине (поток с последствиями).

Определение 5: поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Пример: Поток клиентов в парикмахерской; поток поездов (ординарные потоки). Поток клиентов загса, направляющихся для регистрации брака; поток вагонов на станции (неординарные потоки).

Определение 6: Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последствий.

Название "простейший" связано с тем, что процессы, связанные с простейшими потоками, имеют наиболее простое математическое описание. Простейший поток играет среди потоков особую роль. При наложении (суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Доказано, что для простейшего потока с интенсивностью λ интервал Т между соседними событиями имеет так называемое показательное распределение с плотностью

(t>0).

Величина λ в формуле называется параметром показательного закона. Для случайной величины Т, имеющей показательное распределение, математическое ожидание есть величина, обратная параметру, а среднее квадратическое отклонениеравно математическому ожиданию:

.

Определение 7: Поток событий называется рекуррентным (поток Пальма), если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между событиями представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением.

Пример: Непрерывное обслуживание покупателей в магазине.