ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Румянцев Н.В., Медведева М.И., Полшков Ю.Н., Пелашенко А.В.

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Учебное пособие

ЧАСТЬ 1

Утверждено на заседании Ученого совета экономического факультета Донецкого национального университета протокол № 8 от 18.04.2008 г.

Донецк – 2008

ББК 22.1

УДК 516+517(076.1)

Практикум по решению задач курса «Высшая математика»: Учебное пособие. Часть 1/Сост. Н.В.Румянцев, М.И.Медведева, Ю.Н.Полшков, А.В.Пелашенко.

–Донецк: ДонНУ, 2008. – 172 с.

Впрактикуме приведены задания для самостоятельной и индивидуальной работы по всем основным темам курса «Высшая математика». Рассмотрены подробные решения типовых задач, а также необходимый теоретический материал. Практикум составлен в соответствии с программой курса “Математика для экономистов”, изучаемой студентами всех экономических специальностей. Пособие может быть использовано преподавателями при подготовке и проведении практических занятий, а также для самостоятельной работы студентов любой формы обучения.

Рецензенты: д.ф-м.н., проф. Горр Г.В., д.т.н., проф. Улитин Г.М.

Ответственный за выпуск: Румянцев Н.В., д.э.н., проф.

©Донецкий национальный университет, 2008

©Н.В.Румянцев, М.И.Медведева, Ю.Н.Полшков, А.В.Пелашенко

2

РАЗДЕЛ 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ТЕМА 1

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Вектором AB =| a | называется направленный отрезок. Точка A – начало вектора, точка B – конец вектора (рис. 1.1). Длина отрезка AB называется модулем (длиной) вектора AB : | a |=| АВ| .

В

а

A

Рис. 1.1

Если известны координаты точек А(xA , yA , zA ) и В(xB , yB , zB ) , то координаты вектора а= AB можно найти по формуле

	AB	= (xB − xA , yB − yA , zB − zA ) .								(1.1)
Разложение вектора				по ортам		,		,		записывается в виде
			а		i		j		k

a = xi + y j + zk , где i, j, k – единичные взаимно перпендикулярные векторы (орты), совпадающие по направлению с координатными осями Ox, Oy, Oz .

B

A

B

b

−

A

a

b

c

a

a +b

a

O

C

O

b

C

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Суммой векторов

+

+

называется вектор

(рис. 1.2), начало ко-

a

b

c

ОС

торого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора c . В частно-

3

сти, в параллелограмме, построенном на векторах ОА= а и ОВ =b , одна век- тор-диагональ ОB есть сумма a + b , а другая есть разность a − b данных векторов (рис. 1.3).

Если векторы a = (x1, y1, z1) и b = (x2 , y2 , z2 ) заданы в координатной форме,

то их сумма (разность) находится по формуле

±

= (x1 ± x2 , y1 ± y2 , z1 ± z2 ) .

(1.2)

a

b

Произведением вектора

на число (скаляр) λ называется новый вектор,

a

имеющий длину

λ

и одинаково направленный с вектором

a

при λ > 0 или

a

противоположно направленный вектору a при λ < 0 .

В координатной форме произведение вектора a на число λ определяется формулой

λ			a				= (λx1,λy1,λz1) .			(1.3)
Длина (модуль) вектора									= ( x, y, z)	вычисляется по формуле
								a
						= x 2 + y 2 + z 2 .				(1.4)
		а

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла ϕ между ними:

a

b

=

a

b

cosϕ .

(1.5)

Свойства скалярного произведения

1.a b = b a ;

2.a (b + c) = a b + a c ;

3.(λa) b = (λb) a = λ(a b) ;

4.

a

b

= 0, если либо

= 0 , либо

b

= 0 , либо

;

a

a

b

5.

=

2

или

2 =

2 (скалярный квадрат вектора равен квадрату его

a

a

a

a

a

длины, т.е.

).

a

=

a

a

Пусть векторы

( х1 , y1 , z1 ) и

( х2 , y2 , z2 )

заданы своими координатами,

a

b

тогда скалярное произведение этих векторов находится по формуле

= х1 х2 + y1 y2 + z1 z2 .

(1.6)

a

b

4