Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Практикум по высшей математике_часть 1.pdf

Скачиваний:

211

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

6.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Значение функции в точке x = −4 определяется первым аналитическим выражением, т.е. f (−4) = −(−4)2 =16 . Так как f (−4 −0) ≠ f (−4 +0) и указанные

пределы конечны, то x = −4 – точка неустранимого разрыва первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен f (−4 + 0) − f (−4 −0) = −8 −(−16) =8 . Заметим,

что f (−4 −0) = f (−4) , следовательно, в точке x = −4 функция непрерывна слева. Рассмотрим точку x = 2 :

f (2 −0) = lim 2x = 4 ,

f (2 +0) = lim x2 = 4 .

x→2−0

x→2+0

Значение функции в точке x = 2

определяется третьим аналитическим

выражением, т.е.

f (2) = 22 = 4 . Так как

f (2 −0) = f (2 +0) = f (2) ,

то в точке x = 2 функция непрерывна.

Задания для самостоятельного решения

3.32.Исследовать на непрерывность функции и установить характер точек

разрыва:

y =

;

y =

;

− x

(x +3)3

y =

;

y =

;

x2 −4

−5x +

y =

;

y =

tgx

;

3x −1

y = 4x +1;

y = arcsin

;

2 − x,				x ≤ 0,
9) y = cos x,				0 < x < π/ 2,
0,				x ≥ π/ 2;
		2	− x +1, x < 2,
	x		− x +1, x < 2,
11) y =	5 − x,			2 < x < 5,
				x ≥5;
	2,			x ≥5;

	−x −1,				x < −1,
10)	y = 0,				−1 ≤ x < 0,
			x,		x ≥ 0;
			1	,	x <3,

		x −3
12)					3 ≤ x < 6,
	y = x2 ,
	36
					x ≥ 6.
			−5 ,
	x

3.33.Доопределить (если это возможно) функции так, чтобы они стали непрерывными:

y =

sinx

;

y =

+ 4x

;

y =

− x + 2

;

y =

−1

126

3.34.Найти односторонние пределы функции y = f (x) в точке x = a . Ис-

следовать функцию на непрерывность:

1) f (x) =

2 − x,

> 0,

a = 0, a =1;

x2 − 4,

x ≤ 0,

sin x

x ≥ 0,

2) f (x) =

a = 0;

x < 0,

cos x,

3) f (x) =

+ x,

x > 0,

a = 0, a =1;

− x,

x ≤ 0,

sin x

x ≠ 0,

4) f (x) =

| x |

a = 0, a =π;

x = 0,

5) f (x) =

x < 0,

= 0, a

=1;

5 + x,

x ≥ 0,

6) f (x) =

x +1,

x < 0,

= 0, a

=1;

2x ,

x ≥ 0,

7) f (x) =

a = 0;

8) f (x) = ex ,

a = 0;

2 − 2x

f (x) =

a = 0;

10)

f (x) =

2 +

a =1;

1 x−1

1 − 4x−1

11)

f (x) =

a = ±2;

12)

f (x) =

a = ±3;

(x − 2)3

1 + 21 (x−3)

13)

f (x) = arctg

1 ,

a = ±0;

14)

f (x) = log(2 − x) ,

a = 2 −0 .

2 − x

3.35. При каком значении A функция является непрерывной в точке x0 = 0 :

tgx

−

ln(x +1)

x (−1;1),

1) y =

2) y =

x =

x = 0;

−

x|x2 −4|

, x ≠

, x

≠ 0,

y = e

4) y = e

x =

x = 0?

3.36. Исследовать на непрерывность и изобразить графически функции:

1) y =

;

2) y =| x −2|;

−

3) y =5

;

4) y =

sin 2x

x−1

127

Задания для индивидуальной работы № 8

Задание 8.1. Вычислить предел функции (см. табл. 8.1):

Таблица 8.1

Номер

варианта

lim

−3x +1

lim

− x − 2

x2 + x − 2

x→1

x→−1 x2 + 4x +3

lim

−5x + 2

lim

+3x + 2

x2 −3x + 2

2x2 +3x − 2

x→2

x→−2

lim

− 4x +1

lim

−3x +1

x2 −3x + 2

2x2 +3x − 2

x→1

x→1 2

lim

− 2x −3

lim

−3x − 4

x→3

x2 − 4x +3

x→4

x2 −6x +8

lim

− 2x −3

lim

+3x − 4

x→3

x2 − 4x +3

x→1

x2 + x − 2

lim

− x − 2

lim

+3x + 2

x→−1 x2 +3x + 2

x→−1

2x2 + x −1

lim

+5x − 2

lim

+ 2x −1

x2 + x −2

3x2 −7x + 2

x→−2

x→1 3

lim

+5x − 2

lim

+ 2x −3

x2 + x −2

x2 + 4x +3

x→−2

x→−3

lim

+3x + 2

lim

− x − 2

3x2 +5x − 2

x→−2

x→ −1 x2 −3x − 4

lim

+ x − 2

lim

−3x + 2

x2 +3x + 2

3x2 −7x + 2

x→−2

x→2

lim

+ x − 2

lim

+ x −1

x2 −1

3x2 + 2x −1

x→1

x→−1

lim

− 4x +1

lim

+3x − 2

3x2 +5x − 2

2x2 −3x +1

x→1 3

x→1 2

lim

− 4x +1

lim

− 4x +1

3x2 −7x + 2

x2 − 4x +3

x→1 3

x→1

lim

+ x − 2

lim

+ x − 2

x2 − 4x +3

x2 −3x + 2

x→1

lim

−3x − 4

lim

+ 2x −3

x2 + 4x +3

x→−1

2x2 + x −1

x→−3

128

Задание 8.2. Вычислить пределы функций (см. табл. 8.2):

Таблица 8.2

Номер

варианта

lim

2x3 +3x2 +1

xlim→±∞(

+ 2х−1 −

− х

+3)

− 2x + 2

x→∞

lim

−3х

lim

(

х2 +5х−1 −

2 −3х+ 4

)

x→∞

5 − x8

x→±∞

lim

− 2x

+ 4х

lim

(

2х2 − 4х+3 −

х2 − 2х+1

)

3x4 + x2 +3

x→∞

x→±∞

lim

−3х

lim

(

х2 + х+3 −

х2 − х+5

)

x→∞

2x2 + 7x +3

x→±∞

lim

(

5х2 +10 −

х2 − 2х

)

5x2 + 6x −3

x→∞

x→±∞

lim

− 2x −3

lim

(

х2 + 2 −

х2 −3х+ 4

)

x→∞

x2 −3x

x→±∞

lim

− x

− 2

lim

(

2х2 − х −

2х

2 +3х−1

)

x2 −7

x→∞

x→±∞

lim

4х

−

lim

(

х2 −3х+1 −

х2 − х+3

)

x→∞

x7 +3x −5

x→±∞

lim

+3x

lim

(

х2 − 4х−3 −

х2 +3х+ 4

)

6x5 − x

x→∞

x→±∞

lim

+ x

− 2х

lim

(

3х2 −3х+1 −

х2 − 2х

)

x→∞

1 − x3

x→±∞

lim

+3x

lim

(

х2 −3 −

х2 − 2х+ 4

)

x→∞

x3 +5

x→±∞

lim

+ 4x

lim

3х2 + 2 −

3х2 − х

−

+ 7

x→∞

x→±∞

lim

+ 7

lim

(

х2 +5 −

х2 − 2х+5

)

2x2 −5x +1

x→∞

x→±∞

lim

+5x −1

lim

(

2х2 −2х+3 −

х2 + х−3

)

x→∞

3x2 + x − 2

x→±∞

lim

1 − x

lim

(

х2 + 7х −

х2 −3х+ 4

)

3x3 + 2x −9

x→∞

x→±∞

lim

− x +1

xlim→±∞(

х2 −5х+3 −

х2 + 2х)

+5x +3

x→∞ x

129

Окончание табл. 8.2

lim

+3x

+ 2

lim

(

х2 − 2х+3 −

2 − х−1

)

x→∞

2x6 + x −3

x→±∞

lim

+ 2x −1

lim

(

х2 + 7х−5 −

2 + 2х

)

x→∞

3x2 −5x +1

x→±∞

lim

+ x − 4

lim

(

х2 + 7х+3 −

2 − 2х

)

2x2 + x − 4

x→∞

x→±∞

lim

+ 2x

lim

(

х2 +5х+3 −

2 −5х−3

)

x→∞

7x2 −3x +1

x→±∞

lim

+3x

− 2х+1

lim

(

2х2 +3х− 2 −

х2 − 2х+5

)

x→∞

x2 −3

x→±∞

lim

19x

−3x

2х

lim

(

х2 + 2х−3 −

2 + 2х

)

x→∞

8x9 + 7x7 − 2х5

x→±∞

lim

−3

lim

(

х2 + 2x −1 −

х2 +1

)

2x2 + 2

x→∞

x→±∞

lim

+ x +1

xlim→±∞(

х2 − 2х+3 −

х2 + 2х+ 4 )

x→∞

x −3

lim

(

2х2 + 2х −

2х2 −3х+1

)

x→∞

3x2 + 7

x→±∞

lim

+ 2x −3

lim

(

х2 + 2х−1 −

х2 + 2х+3

)

7x4 − 2x + 6

x→∞

x→±∞

lim

+3x

lim

х2 + х+1 −

х2 − х−1

x→∞

4x8 −3x2 + 2

x→±∞

lim

x + 4

lim

(

+ 2х−1

−

− х+3)

4 − x

x→∞

x→±∞

lim

+3x +1

lim

(

3х2 + 2х −

3х2 +3

)

3x2 + 2x + 4

x→2

x→±∞

xlim→±∞(

х2 − 2х)

lim

х2 −5х+3 −

−1

x→−3 x

Задание 8.3. Вычислить предел функции (см. табл. 8.3):

					Таблица 8.3

Номер			Номер
варианта			варианта
1	lim sin 3x		16	lim	4x
	lim sin 3x			lim	sin8x
	x→0	2x		x→0	sin8x
2	lim	7x	17	lim	1 −cos 2x
	lim	arcsin 5x		lim	x
	x→0	arcsin 5x		x→0	x

130

Окончание табл. 8.3

lim

sin2 3x

sin 2x

x→0

lim

1 −cos 4x

lim

x→0

x→0 1 −cos3x

lim

sin 5x

lim

arcsin 2x

x→0 1 −cos 2x

x→0

lim

1 −cos6x

lim

10x

5x2

arctg5x

x→0

lim

xarcsin13x

lim arcsin

sin

x→0

x→0 1 −cos 2x

lim

1 −cos7x

lim arcsin

7tg2x

x→0

lim

7xarctg5x

lim

sin 5x

sin

x→0

x→0 1 −cos6x

lim

100x

lim

1 −cos 2x

arctg2 3x

x→0

lim arcsin x

lim

sin 5x

x→0

lim

2x2

lim

arctg5x

arctg3x

x→0

sin 3x

lim

6x2

lim

3 −3cos 2x

arcsin 2x

x→0

1 −cos 2x

lim

sin 4x

lim

6arctg6x

arctg2 7x

x→0

lim

1 −cos5x

lim

sin

arcsin2 3x

x→0

Задание 8.4. Вычислить предел функции (см. табл. 8.4):

Таблица 8.4

Номер

варианта

х+3

8 +3x x+5

lim

2x +

x→∞

3x −1

9x −3 3x−2

x−1

lim

1 +3x 3

limx→∞

x→∞

1 +9x

7 +3x

131

Окончание табл. 8.4

2 x+5

lim

4 +5x 7

lim

2x −

4 3

5x −

x→∞

3 + 2x

2x −1 x−10

3 5 х−1

lim

1 +

2x +

x→∞

5x −

x−3

3x +

3x +5

lim

3 2

lim

4 2

5x +

3x −

x→∞

1 + 7x x+5

11х+5

lim

1 −

3x −

x→∞

7x −1

x→∞

3х−1

1 + 2x

x+5

lim

1 −

lim

5x +

x→∞

3 + 2x

lim

3x − 4 7 x+5

2 +3x

5 x−1

limx→∞

x→∞

3x +1

3x −

7x +

−5

9 +5x 2 x−1

lim

limx→∞

5 3

5x +

7x −

x→∞

3х+4

2 + 2x 2+3x

lim

1 −

lim

2x −

3x +

x→∞

lim

2x −3 5 x−4

5x +

7 x−1

limx→∞

x→∞

2x −

5x −

х+3

2 + 4x 7 x+5

8 2

lim

limx→∞

1 −

x→∞

4x −

2 x−5

5 х+7

limx→∞

3x +1

lim

1 +

3x −

x→∞

3x −1

−3

3x −

2 x+5

5 7

lim

1 + 7x 7

lim

x→∞

7x −1

x→∞

1 +3x

6x −

2 x−7

8x −5 8 x

lim

limx→∞

x→∞

8x −

2 + 6x

132

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
13.04.20154.9 Mб206Полшков Ю.Н. Курс лекций по высшей математике.pdf
#
13.04.20156.31 Mб211Практикум по высшей математике_часть 1.pdf
#
13.04.20157.85 Mб231Практикум по высшей математике_часть 2.pdf