= 12 + 02 +( 3 )2 = 4 = 2 .

a

Тогда из (1.10) следует, что cosα = 1

, cos β = 0 и cosγ =

3

. Следова-

2

тельно, α = π , β

= π , γ =

π .

2

3

2

6

Задания для самостоятельного решения

1.1. Даны точки A,

B, C . Разложить векторы

и

по ортам

,

,

:

AB

AC

i

j

k

1) А(2;3;−4), В(1;7;−5), С(2;5;−3) ;

2)

А(−3;0;2), В(4;3;8), С(2;−3;−1) .

1.2. Даны векторы а = (−3;4;−1) ,

= (−1;2;3) ,

= (−4;−2;1) . Найти коор-

b

c

динаты векторов:

1) 4а +3

− 2c ;

2) −5а + 4

+ c ;

b

b

3) −а + 2

;

4) а − 2

+ c .

b

b

1.3.Определить начало вектора a = (2;−3;1) , если его конец совпадает с точкой B(1;−1;2) .

1.4.На сторонах OA и OB прямоугольника OABC отложены единичные

векторы i и j (рис.

1.5). Выразить через i и j векторы ОА, AC, CB ,

,

,

, если

OA

=3 и

OB

= 4 . Пусть точка M – середина стороны BC ,

BO

OC

BA

аточка N – середина стороны AC . Определить векторы OM , ON, MN .

ВМ

N

j

О i

А

Рис. 1.5

1.5. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества:

1)

+

b

−

a

=

b

+

a

;

2)

−

a

+

b

=

a

−

b

.

a

a

2

2

2

2

1.6.Даны три вершины параллелограмма A(4;2) , B(5;7) , C(−3;4) . Найти четвертую вершину D . Сделать чертеж.

1.7.Вектор a составляет с осями Ox и Oz углы α =120 и γ = 45 соответственно. Найти угол между вектором a и осью Oy .

1.8.В равнобедренной трапеции OACB (рис. 1.6) угол BOA равен 600 ,

OB = BC =CA = 2 , M и N – середины сторон BC и AC . Выразить векторы АС, OM , ON, MN через единичные векторы m и n направлений ОА и OB .

8

B	M	C
n		N
O		A
m

Рис. 1.6

1.9. Радиус-вектор точки M (x, y, z) составляет с осью Ox угол 450 , а с осью Oy – 600 . Длина его r = 6 . Определить координаты точки M , если ее координата z отрицательна. Выразить вектор OM = r через орты i, j, k.

1.10.Построить параллелограмм на векторах ОА=i + j и ОВ = k −3i . Определить координаты его диагоналей.

1.11.Найти скалярное произведение векторов a и b :

1)

a

= 2

i

+3

j

−5

k

,

b

= −4

j

+3

k

;

2)

a

= −

i

+ 2

j

,

b

=3

i

+ 2

j

−

k

.

1.12. Определить угол между векторами

и

, если

a

b

1)

= −

+

,

=

− 2

+ 2

;

2)

=3

+ 2

−

,

= 4

−3

.

а

i

j

b

i

j

k

а

i

j

k

b

i

k

1.13.

Даны векторы

и

. Определить пр

и пр

.

a

b

b

a

а

b

1)

= (1;1;2) ,

= (1;−1;4) ;

2)

= (0;3;1),

= (4;− 2;1) .

a

b

a

b

1.14. Найти направляющие косинусы вектора а , если:

1)

=8

−4

+

;

2)

= −4

+3

.

a

i

j

k

a

j

k

1.15. Даны векторы

= (4;−2;−4) и

= (6;−3;2) . Вычислить:

а1

а2

)2 ;

1)

;

2) (

−

3) (2

−3

) (

+ 2

) ;

4)

2

−

;

а

а

а

а

а

а

а

а

а

а

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

5)

пр

;

6) пр

;

7) пр

+

(

− 2

) ;

8)

cos(a1,

a2 );

а2

а1

а1

а2

а1

а2

а1

а2

9)

| (

+ 2

) (2

+

) |;

10) направляющие косинусы вектора

.

а1

а2

а1

а2

а1

1.16.Преобразовать выражение (2i − j) j + ( j − 2k) k + (i − 2k)2 .

1.17.Даны векторы а = (3;−5;8) и b = (−1;1;−4) . Найти а +b и а −b .

1.18.Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 2m + n и b = m − 2n , где m и n – единичные векторы, угол между

которыми равен 60 .

1.19. Модуль вектора а равен 4. Углы, образуемые вектором а с координатными осями равны α = 600 , β =1200 , γ = 450 соответственно. Найти коорди-

наты вектора а .

1.20. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = 2i + j и b = −2 j + k .

1.21. Даны векторы a = 2m −3n, b = n + 2m и m = 2, n =1. Найти угол между векторами a и b , если угол между векторами m и n равен 600 .

9

1.22. Даны точки A(a,0,0), B(0,0,2a), C(a,0, a) . Найти угол между векто-

рами OC и AB .

1.23. Найти угол, образованный единичными векторами l1 и l2 , если известно, что векторы а =l1 + 2l2 и b =5l1 − 4l2 перпендикулярны.

1.24. Найти вектор b , коллинеарный вектору a = (2 2;−1;4) , если

|

|=10 .

b

1.25. Даны три вектора a ,

и c . Доказать, что вектор (

)

−(

)

b

c

a

a

c

b

b

перпендикулярен вектору c .

A(−3, −2,0) , B(3, −3,1) ,

1.26. Даны три

последовательные

вершины

C(5,0,2) параллелограмма ABCD . Найти координаты четвертой вершины D и

угол между векторами

и

.

АС

BD

A(3;−1;2) ,

B(1;2;−1) , C(−1;1;−3) ,

1.27. Проверить,

что четыре

точки

D(3;−5;3) служат вершинами трапеции.

1.28. Даны вершины треугольника A(3;2;−3) , B(5;1;−1) , C(1;−2;1) . Найти углы треугольника ABC .

1.29.Доказать, точки A(3;0) , B(0;1) , C(2;7) и D(5;6) являются вершинами прямоугольника ABCD .

1.30.Найти вектор a , коллинеарный вектору b = (3;6;6) и удовлетво-

ряющий условию a b = 27 .

1.31. Найти вектор c , если он перпендикулярен векторам a = (2;3;−1) ,

b= (1;−2;3) и удовлетворяет условию c (2i − j + k) = −6 .

1.32.Какой угол образуют единичные векторы a и b , если известно, что векторы c = a + 2b и d =5a − 4b перпендикулярны.

1.33.Даны единичные векторы m и n , угол между которыми равен 300 .

Найти:

2) (2

)(3

);

1) (

+

)2 ;

+3

− 2

m

n

m

n

m

n

2) (

−

)2 + (

−

)2 , если

= 2 2,

= 4 и (

,

) =1350 .

m

n

a

b

a

b

a

b

1.34.Даны точки A(1, 2) и B(3, −4) . Построить вектор AB = a , его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Найти углы, которые вектор a образует с осями координат.

1.35.Вычислив внутренние углы треугольника ABC с вершинами A(1;2;1) , B(3;−1;7) , C(7;4;−2) , проверить, является ли этот треугольник равно-

бедренным.

1.36. Показать, что угол между диагоналями прямоугольника, построен-

2

2

ного на векторах

и

(

) , определяется формулой cos ϕ = ±

| a |2

−|

b

|2 .

a

b

a

b

| a |

+| b |

10

1.37. Треугольник ABC задан координатами своих вершин A(3;2;−3) , B(5;1;−1) и C(1;−2;1) . Вычислить величину внешнего угла треугольника при

вершине A и координаты вектора a , сонаправленного с вектором AB и имеющего длину вектора AC .

1.38. Векторы a и b взаимно перпендикулярны, вектор c образует с ними углы, равные π3 . Зная, что | a |= 3 , | b |= 5, | c |= 8 , вычислить:

1) (3a − 2

) (

+ 2c ) ;

2) (a +

+ c )2 ;

3) (a + 2

−3c )2 .

b

b

b

b

1.39. Векторы

и

образуют угол ϕ =

2

π . Зная, что | a |=3 , |

|= 4 , вы-

a

b

b

3

числить:

4) (

)2 ;

1)

;

2)

2 ;

3)

2 ;

+

a

b

a

b

a

b

5) (

−

)2 ;

6) (3

−2

)(

+3

);

7) (3

+ 2

)2 .

a

b

a

b

a

b

a

b

1.40.Даны вершины четырёхугольника A(1;−2;2) , B(1;4;0) , C(−4;1;1) и D(−5;−5;3) . Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.

1.41.Даны векторы а = (−4,−1,4) и b = (−2,−1,2) . Найти проекции век-

тора с = 2а −5b на векторы а и b .

1.42. Даны вершины A(1, −2, −3), B(−1,−1,−2), C(3,0, −2) треугольника.

Найти проекцию вектора АВ на вектор АС .

1.43.Определить длину радиус-вектора OM точки M (6, −6,7) .

1.44.Даны точки А(2,2,0) и В(0, −2,5) . Найти длину вектора АВ.

1.45.Заданы координаты A(3;5;4) , B(8;7;4) , C(5;10;4) , D(4;7;8) вершин

пирамиды ABCD . Найти:

а) длину ребра AB ; б) угол между ребрами AB и AD .

1.46. Вектор x , коллинеарный вектору a = (6;−8;−7,5) , образует острый угол с осью Oz . Зная, что | x |= 50 , найти его координаты.

1.47. Вектор a составляет с координатными осями Ox и Oy углы

α= 60 , β =120 . Вычислить его координаты, если | a |= 2 .

1.48.Даны векторы a , b и c . Найти: а) скалярное произведение векторов a b ; б) проекцию вектора b на вектор a ; в) площадь треугольника, построенного на векторах a и b , если

1. a = AB , A(1;2;−1) , B(−1;0;1) , b = 2i − j + k , c = (1; 2; 0) ;

2.a = (1; 1; 1) , b = BC , B(0;1;2) , C(2;−1;0) , c = 2 j − k ;

3.a = −i + 2 j , b = (−1; 2; −1) , c =CD , C(0;2;−1) , D(−1;−2;−1) ;

4.

a =

LN

, L(1;2;3) , N (−1;2;0) ,

= −

+ 2

+

, c = (2; 3; −1) ;

b

k

i

j

5.

a = (−2; 0; 3) ,

=

− 2

, c =

, A(0;−2;1) , B(1;2;−1) .

b

j

k

AB

11

Задания для индивидуальной работы № 1

Задание 1.1. Даны векторы a и . По данным таблицы 1.1 найти:

1)(3a − 2b) (−a + 2b) ;

2)−2a +b ;

3)прa b , прb a ;

4)угол между векторами a и b ;

5)направляющие косинусы векторов а и b .

Таблица 1.1

Номер

a

b

варианта

1

3i + j − 2k

−

+

4 j

−

5k

2i

2

−2

+

+3

+3

− 4

i

j

k

i

j

k

3

−5

+ 2

+

2

−3

+ 7

i

j

k

i

j

k

4

i − 2 j +3k

−

+

2 j

−

k

3i

5

2i − j +3k

−

+

5 j

−

3k

2i

6

5

−3

+ 2

+ 2

−3

i

j

k

i

j

k

7

3

−5

+ 2

−2

+ 4

−3

i

j

k

i

j

k

8

−7

+ 2

−3

3

− 2

+

i

j

k

i

j

k

9

5

− 2

+3

−

+

−

i

j

k

2i

5 j

3k

10

4

+ 2

−5

−3

−8

i

j

k

i

j

k

11

3

− 2

+

−3

+ 7

i

j

k

2i

j

k

12

−

+ 2

+5

2

+3

− 4

i

j

k

i

j

k

13

4

−3

+5

5

+3

− 2

i

j

k

i

j

k

14

3

− 2

+5

−

+

−

i

j

k

3 j

5k

2i

15

−4

+3

−5

5

− 2

−7

i

j

k

i

j

k

16

−3

+ 7

5

+ 6

−8

i

j

k

i

j

k

17

4

−3

+ 2

7

+3

−8

i

j

k

i

j

k

18

−

+3

−7

2

−5

i

j

k

j

k

19

4

+ 2

2

−5

+ 7

i

k

i

j

k

12

Окончание табл. 1.1

20

3

+ 2

−7

2

−3

−

i

j

k

i

j

k

21

4

+ 2

3

− 2

−8

i

j

i

j

k

22

3

− 2

+

6

+ 2

−

i

j

k

i

j

k

23

4

+3

−

7

+3

−

i

j

k

i

j

k

24

−5

+3

− 2

+3

−6

i

j

k

i

j

k

25

−3

+ 2

−

4

+ 7

−8

i

j

k

i

j

k

26

4

+3

−7

5

+3

+

i

j

k

i

j

k

27

2

−

+5

4

+ 2

−5

i

j

k

i

j

k

28

−4

+ 2

+5

3

+ 2

−8

i

j

k

i

j

k

29

−

+ 2

+ 7

8

−3

+ 2

i

j

k

i

j

k

30

7

+ 2

−3

2

+

−7

i

j

k

i

j

k

Задание 1.2. В таблице 1.2 заданы координаты точек A , B и C . Найти:

1)косинус угла между векторами AB и AC ;

2)вектор 3AC +5BC ;

3)длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах AB

и BC ;

4)проекцию вектора AC − AB на оси координат;

5)проекцию вектора CB + 2AC на вектор BC ;

6)модуль вектора 3AC − BC и его направляющие косинусы;

7)площадь треугольника ABC ;

8)углы треугольника ABC ;

9)координаты четвертой вершины D параллелограмма ABCD .

Таблица 1.2

Номер

A

B

C

варианта

1

(1;

−

2;

3)

(0; 1; 2)

(3;

−

4;

5)

2

(0;

−

3;

6)

(

−

−

3;

−

3)

(

−

−

3;

−

12;

9;

6)

3

(3;

3;

−

(5;

5;

−

2)

(4; 1;

1)

1)

4

(

−

2;

−

3)

(3;

4;

−

6)

(1;

1;

−

1)

1;

5

(

−

−

0)

−

−

4)

(3;

−

2; 1)

4;

2;

( 1;

2;

13

Окончание табл. 1.2

6

(5;

3;

−1)

(5; 2; 0)

(6;

4; −1)

7

(3;

−

−

5)

(

0;

−

−

2)

(2; 3; 0)

7;

1;

8

(2; 4; 6)

(0;

−

4)

(

6;

−

2;

8; 10)

9

(0;

1;

−2)

(3;

1;

2)

(4;

1;

1)

10

(3;

3;

−

1)

(1;

5;

−

(4;

1;

1)

2)

11

(2;

1;

−

1)

(

6;

−

−

4)

(4; 2; 1)

1;

12

−

−

2; 1)

(

−

−

2;

5)

(

−

−

2;

2)

( 1;

4;

8;

13

(6;

2;

−

3)

(6;

3;

−

(7;

3;

−

3)

2)

14

(1; 0; 4)

(

−

−

(

−

5;

−

−

3;

6; 1)

10;

1)

15

(2;

−

8;

−

(4;

−

6;

0)

(

−

−

5;

−

1)

2;

1)

16

(3; 6; 9)

(0;

−

6)

(9;

−

3;

12; 15)

17

(0;

2;

−4)

(8;

2;

2)

(6;

2;

4)

18

(3;

3;

−

1)

(5;

1;

−

(4; 1; 1)

2)

19

−

(0; 1; 3)

(

−

4;

−

2)

( 4; 3; 0)

2;

20

(1;

−

0)

(

−

−

1;

4)

(8;

−

−

1;

2;

1;

1)

21

(7; 0; 2)

(7; 1; 3)

(8;

−

2)

1;

22

(2;

−

3;

2)

−

−

3;

−

(

−

−

−

3)

(

1;

1)

3;

7;

23

(2; 2; 7)

(0;

0;

6)

−

5;

7)

(

2;

24

(1;

2;

−

(0;

1;

−

2)

(

−

4;

−

5)

3)

3;

25

(0;

3;

−

6)

(9;

3;

6)

(12;

3;

3)

26

(3;

3;

−

1)

(5;

1;

−

(4;

1;

−

2)

3)

27

−

(2;

3;

−

2)

(0;

0;

3)

( 2; 1; 1)

28

(1;

4;

−

1)

(

−

4;

−

5)

(8; 4; 0)

2;

29

(0; 1;

0)

(0; 2; 1)

(1;

2;

0)

30

−

4)

−

6;

7)

(1; 10;

9)

( 4; 0;

(

1;

..

14

ТЕМА 2

ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Простейшие задачи аналитической геометрии

Расстояние между двумя точками A(x1, y1) и B(x2 , y2 ) вычисляется по формуле

	AB		= (x	− x )2 + ( y	2	− y )2 .	(1.11)
			2	1		1
Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны две точки							A(x1, y1) и
B(x2 , y2 ) . Число λ называется отношением, в котором точка M (x, y)							делит от-

резок AB , если AM = λ MB . Координаты точки M (x, y) , делящей отрезок AB в отношении λ , определяются по формулам:

x =	x1 + λx2		,	y =		y1 + λy2		, λ ≠ −1.	(1.12)
	1 + λ					1 + λ
Если λ > 0 , то точка M лежит между точками A и B , если λ < 0 , то точ-
ка M не принадлежит отрезку AB .
Если точка M (x, y)				– середина отрезка AB , то λ =1 и из формул (1.12)
получаем
x =	x1 + x2	,		y =	y1 + y2		.		(1.13)
2				2
		Прямая линия на плоскости
Общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид
Ax + By +C = 0 ,									(1.14)

где A, B,C – постоянные коэффициенты, причем A2 + B2 ≠ 0 .

Если в общем уравнении прямой B ≠ 0 , то, разрешив его относительно y,

	получаем уравнение вида
			y = kx +b	(1.15)
	(здесь k = −	A	, b = −C ). Уравнение (1.15) называется уравнением прямой с уг-
		B
			B

ловым коэффициентом k = tgα , где α – угол, образованный прямой с положи-

тельным направлением оси Ox .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(xA , yA ) , с угло-

вым коэффициентом k , имеет вид:

15

	y − yA = k(x − xA ) .				(1.16)
Уравнение (1.16) так же называется уравнением «пучка прямых».
Уравнение
	у − уА	=	х− хА		(1.17)
	уВ − уА		хВ − хА

называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки A(xA , yA ) и

B(xB , yB ) .

Если прямая параллельна оси Ox , т.е. в уравнении (1.17) имеет место равенство yA = yB , то уравнение такой прямой задается формулой y = yA . Если

прямая параллельна оси Oy , т.е. xA = xB , то уравнение прямой задается форму-

лой x = xA .

Угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки A(xA , yA ) и B(xB , yB ) , где xA ≠ xB , можно вычислить по формуле

kAB	=	yB − yA	.	(1.18)
		xB − хA
Углом ϕ между двумя прямыми l1 : y = k1x +b1 и l2 : y = k2 x +b2				называют

тот угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую l1 , чтобы она совпала с прямой l2 . При этом угол ϕ можно найти из равенства

tgϕ =	k2 − k1			.			(1.19)
	1 + k k
		2	1
Если две прямые			заданы общими уравнениями				l1 : A1x + B1x +C1 = 0 и
l2 : A2 x + B2 x +C2 = 0 , то угол ϕ между ними можно найти из равенства
tgϕ =	A 1 B 2		− A2 B1			.	(1.20)
	A A
			+ B B
	1		1		2

Из формулы (1.19) несложно получить условия параллельности и перпен-

дикулярности двух прямых, заданных уравнением с угловым коэффициентом:

если l	|| l	, то k	= k	2	, если l	l	2	, то	k	= −	1	.
1	2	1			1				1		k2
Для прямых					l1 : A1x + B1x +C1 = 0 и l2 : A2 x + B2 x +C2 = 0 условия парал-

лельности и перпендикулярности можно получить, воспользовавшись равенст-

вом (1.20). Тогда если l || l , то		А1	=	В1	≠	С1	, если l l , то A A + B B = 0 .
1	2	А2		В2		С2	1	2	1	2	1	2

16

Пусть a и b величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (рис. 1.7), т.е. прямая проходит через точка A(a;0) и

B(0;b) . Тогда уравнение прямой имеет вид

	х	+	у	=1.	(1.21)
	а		b

Уравнение (1.21) называется уравнением прямой в отрезках.

y

b

О

a

x

Рис. 1.7

Расстояние d от точки M (x0 , y0 ) до прямой Ax + By +C = 0 вычисляет-

ся по формуле:

d =			Ах0 + Ву0 +С			.	(1.22)
			А2 + В2

Примеры решения задач

Пример 1.8. Построить прямую 2x − 4 y +8 = 0 .

Решение. Для построения прямой достаточно знать координаты любых двух ее точек, например, точек пересечения с осями координат. Подставим в уравнение прямой x = 0 : 2 0 − 4 y +8 = 0 , −4 y +8 = 0 , −4 y = −8 , y = 2 . Нашли

точку A(0,2) . Если y = 0 , то аналогично получаем 2x − 4 0 +8 = 0 , 2x = −8 ,

у

5

3

А

1

В

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 х

Рис. 1.8

17

x = −4 . Получили вторую точку B(−4,0) . Найденные точки наносим на число-

вую плоскость и проводим через них прямую линию (рис. 1.8).

Пример 1.9. Даны точки A(2, −1) и B(3,0) . Найти длину отрезка AB и

координаты точки М, делящей отрезок AB в отношении АМ : МВ =1: 2 . Решение: Длину отрезка AB найдем, воспользовавшись формулой (1.11)

расстояния между двумя точками:
	АВ		= (3 − 2)2 + (0 +1)2 = 12 +12 = 2 .
По формулам (1.12) находим координаты точки М:
				1
	х =			2 + 2 3	=	7	: 3 =	7	; y =	−1 + 0 = −	2 .
				1		2		3
	M						2		M	3	3
				1 + 2
										2
												7	;−	2
Следовательно, координаты искомой точки – M												3		3	.
Пример 1.10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку C(3,2) и
середину отрезка AB , если A(−2,1),								B(4,3) .
Решение. Найдем координаты середины отрезка												AB ,			воспользовавшись
формулами (1.13):

x = −22+ 4 =1; y =1 +2 3 = 2 .

Следовательно, точка M (1;2) – середина отрезка AB . Так как yC = yM , то уравнение прямой, проходящей через точки C(3,2) и M (1;2) имеет вид: y = 2 .

Пример 1.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

A(2;1) :

1) параллельно прямой l : 2x − y +1 = 0 ; 2) перпендикулярно прямой l .

Решение: 1) Преобразуем уравнение прямой l : y = 2x +1, тогда ее угловой kl = 2 . Так как искомая прямая параллельна прямой l , то их угловые коэффициенты равны, т.е. k = kl = 2 . Подставим в (1.16) значение углового коэффициента и координаты точки A(2;1) : y −1 = 2(x − 2) . Отсюда y = 2x −3 .

	2) Из условия перпендикулярности прямых следует, что k = −		1	= −	1 .
			kl
	Тогда уравнение прямой имеет вид:				2
	y −1 = −1 (x − 2) или y = −	1 x + 2 .
	2	2

18

Пример 1.12. Найти угол между прямыми y = −3x +1 и 2x +3y − 4 = 0 . Решение. Преобразуем уравнение второй прямой, разрешив его относи-

тельно переменной y : y = −23 x + 43 . Тогда угловые коэффициенты первой и

второй прямой k1 = −3, k2 = −23 , соответственно. Воспользовавшись формулой

(1.19), получаем

	−	2	+3		7			7		7 .
tgϕ =		3			=	3	=		ϕ = arctg
				2				9
	1 +3				3					9
				3

Для вычисления угла между данными прямыми можно также воспользоваться формулой (1.20). Для этого преобразуем уравнение первой прямой: 3x + y −1 = 0 . Тогда

tgϕ =	A1B2		− A2 B1		= 3 3 − 2 1	=	7	ϕ = arctg	7 .
	A A						9
			+ B B 2 3 +3 1						9
	1	2	1	2

Пример 1.13. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки M (1,2)

на прямую l : y = 34 x − 12 .

Решение. Длина перпендикуляра равна расстоянию от точки М до прямой l . Запишем уравнение прямой l в общем виде: 3x − 4 y − 2 = 0 . Тогда из равен-

ства (1.22) получаем

d =

Ах0

+ Ву0

+С

=

3 1 + (−4) 1 + (−2)

=

7

.

5

А2 + В2

32 + 42

Пример 1.14. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3;1) и образующих угол 45 с прямой 2x +3y −1 = 0 .

Решение. Пусть искомые прямые представлены уравнениями прямой с угловым коэффициентом y = k1x +b . Так как прямая проходит через точку

A(3;1) , то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1 =3x +b или b =1 −3k . Пусть k1 – угловой коэффициент искомой прямой, k2 – угловой коэффициент заданной прямой 2x +3y −1 = 0 . Преобразовав последнее уравнение

2x +3y −1 = 0 3y = −2x +1 y = −	2 x +	1	,
	3	3

19

получаем k2 = −23 . По условию ϕ = 45 , т.е. tgϕ =1. Тогда, используя формулу

(1.19) угла между двумя прямыми, получаем уравнения для определения неизвестного углового коэффициента k1 :

	k1 − k2				=1 или			k2 − k1			=1.
1 + k k			2			1 + k k				2
1								1
Решаем первое уравнение:
	k +	2
1		3 =1 k + 2 =1 − 2 k 5 k = 1 k = 1 .
				1				3		3		1	3	1	3	1	5
	2
1 − 3 k1
Тогда b =1 −3k =1 −3						1		= 2	и уравнение прямой имеет вид: y = 1 x + 2 .
						5		5									5	5
Аналогично из		второго					уравнения						находим			k1 = −5 . Следовательно,
b =1 −3k =1 +3 5 =16 и вторая прямая задается уравнением y = −5x +16 .
Пример 1.15. Точка A(1;1)									является вершиной квадрата, диагональ									BD

которого лежит на прямой x + y −6 = 0 . Найти уравнения сторон и второй диа-

гонали этого квадрата.

Решение. Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то

kAC = − 1 =1. Следовательно, уравнение второй диагонали ( АС ) имеет вид

kBD

y −1 =1 (x −1) или y = x .

Так как угол между стороной AD и диагональю AC равен 45 , то

k+AC − kAD = tg45 =1 kAD = 0 .

1 kAC kAD

Значит, прямая AD параллельна оси Ox и ее уравнение имеет вид x =1. Кроме того, AD AB , следовательно, уравнение прямой AB имеет вид y =1.

Координаты точки B найдем как координаты точки пересечения прямых AB и BD из системы уравнений

y =1,			y	B	=1,
	−6	= 0,
x + y			xB = 5.

Отсюда уравнение BC есть y =5 и уравнение CD есть x =5 .

20

Пример 1.16. На плоскости Oxy найти множество точек, координаты которых удовлетворяют системе линейных неравенств

x + 2 y ≤8,

3x + 2 y ≤12,

x ≥ 0,y ≥ 0.

Решение. Неравенства x ≥ 0 и y ≥ 0 определяют первую четверть координатной плоскости. Построим на плоскости Oxy прямые x + 2 y =8 и 3x + 2 y =12 . Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Определим

полуплоскости, удовлетворяющие каждому неравенству. Для этого в каждое неравенство подставляем координаты точек, не лежащих на соответствующих прямых. Если после подстановки будет получено верное неравенство, то выделяем (штрихуем) ту полуплоскость, в которой лежит выбранная точка. Если неравенство неверно, то выделяем (штрихуем) полуплоскость, не содержащую эту точку. Так как точка O(0;0) не принадлежит рассматриваемым прямым, то ее координаты подставляем в соответствующие неравенства:

5 0 +8 0 ≤ 40,				0 ≤ 40,
	0	+ 4 0	≤ 24,		≤ 24.
6				0

Выделив (заштриховав) полуплоскости, удовлетворяющие исходным неравенствам, получим многоугольник OABC (рис.1.9).

у

8
7
6
5
4	А
3			В
2
1
О				С
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	х

Рис. 1.9

21

Задания для самостоятельного решения

1.49.Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки:

1)	A(−2,−7) , B(1, −1), C(4,5) ;	2)	D(−2,9), E(2, −7), F(0,1) ;
3)	K (−1,−1), L(−3,−7), M (2,7) ;	4)	A(2,3) , B(1,1), C(−2,4) .

1.50.Точка C делит отрезок AB , где A(4, −3), B(−8,6) , в отношении

λ= 2 :1. Через точку C провести прямую, составляющую с осью Ox угол 1350 .

1.51.Построить точки A(−2,1) и B(3,6) и найти точку M (x, y) , деля-

щую AB в отношении:

1) AM : MB =3: 2 ; 2) AM : MB = −3: 2 ; 3) BM : MA = −1: 2 .

1.52.Построить точки A(−1,4) и B(2,5) . Найти точку M (x, y) , делящую

AB в отношении:
1) AM : MB = 2 : 3;	2) AM : MB = −1: 5 .

1.53. Найти середины сторон треугольника с вершинами

A(2, −1), B(4,3), C(−2,1) .

1.54.Отрезок, ограниченный точками A(1,4) и B(4, −14) , разделен на

три равные части. Найти координаты точек деления C и D .

1.55.Даны две точки A(−4,3) и B(2,−1) . На прямой AB найти точку C ,

удаленную от точки A на расстояние, втрое больше, чем от точки B , и расположенную по ту же сторону от A , что и B .

1.56. В параллелограмме ABCD известны вершины A(1, −2) ,

B(2,3), C(5,6) . Найти вершину D .

1.57.Построить прямую, отсекающую на оси Oy отрезок b =3 и со-

ставляющую с осью Ox угол: 1) 450 ; 2) 1350 . Написать уравнения этих прямых. 1.58. Написать уравнения прямых, отсекающих на положительной по-

луоси Oy отрезок, равный 3 единицам, и образующих с осью Ox углы

1.59. 1) 450 ;

2) 600 ;

3) 1350 ;

4) 1500 .

1.60.Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку (−2,3) и написать ее уравнение.

1.61.Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(−1,3) и

B(4, −2) .

1.62.Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(1,2) и точку пересечения прямых 2x +3y − 4 = 0 и 3x −5y +13 = 0 .

1.63.Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (1,2) и

отсекающей на координатных осях отрезки равной длины.

1.64.Составить уравнение прямой, параллельной прямой 2x +3y −1 = 0

иотсекающей на положительный полуоси абсцисс отрезок, равный четырем единицам.

1.65.Найти угол наклона к оси Ox каждой из следующих прямых, заданных двумя точками:

22

1)	A(2,	5) и B(7,6) ;	2)	C(−3,2) и D(−1,5) ;	3) E(1,−3) и F (−2,1) ;
4)	K (3, −4) и L(−3,2) ;		5)	M (2,−4) и N (−3,−4) .
1.66.		Даны точки O(0,0)		и A(−3,0) . На отрезке OA построен паралле-
лограмм, диагонали которого пересекаются в точке					B(0,2) . Найти уравнения
сторон и диагоналей параллелограмма.

1.67.Уравнение одной из сторон ромба 2x + y −3 = 0 . Написать уравне-

ния остальных его сторон, если диагонали ромба лежат на осях координат.

1.68.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку (2,3)

иотсекает от координатного угла треугольник, площадь которого равна 12 кв. ед.

1.69.Найти уравнение прямой, проходящей через точку (−4,6) и отсе-

кающей от осей координат треугольник площадью шесть кв. единиц.

1.70.Привести к уравнениям в отрезках следующие уравнения прямых:

1) 3x − 4 y +12 = 0 ;	2) 5x −6 y −30 = 0 ;
3) 4x +5y −20 = 0 ;	4) 3x − 2 y −1 = 0 .
Построить эти прямые.

1.71.Вычислить углы треугольника, заданного координатами своих вершин: A(2,4), B(−1, −2), C(11,13) .

1.72.Найти угол между прямой 9x +3y −7 = 0 и прямой, проходящей через точки A(1, −1) и B(5,7) .

1.73.Противоположные вершины квадрата находятся в точках B(−2,2)

иD(0, −3) . Составить уравнения сторон квадрата.

1.74.Определить угол между прямыми:

1) 3x − 4 y = 6 и 8x + 6 y =11;	2) 5x − y +7 = 0 и 2x −3y +1 = 0 ;
3) 2x + y = 0 и y =3x − 4 ;	4) 3x + 2 ó = 0 и 6x + 4 y +9 = 0 ;
5) y = 2x −3 и y = 1 x +1;	6)	x	+	y	=1 и	x	+	y	=1.
		a				b
2				b				a

1.75.Вычислить угол между прямыми:

1) y =3x −5 и y = −2x +3 ; 2) 28x − 2 y −5 = 0 и 2x − 2 y +1 = 0 ; 3) 3x + y + 7 = 0 и 10x + 2 y −3 = 0 ; 4) x + 2 y −8 = 0 и 5x − y +3 = 0 .

1.76.Составить уравнения прямых, проходящих через точку M (1;−1) и

образующих угол α = 60		с прямой 2x −3y + 6 = 0 .
1.77. Написать уравнение прямых, проходящих через начало координат
под углом 450 к прямой y = 4 − 2x .
1.78.	Прямые y = −2 и y = 4		пересекают прямую			3x − 4 y −5 = 0	соот-
ветственно в точках A и B . Построить вектор					, определить его длину и его
				АВ
проекции на оси координат.							A(3,1) ,
1.79.	Вычислить	площадь	четырехугольника с			вершинами

B(4,6) , C(6,3) , D(5, −2) .

23

1.80.	Даны	прямые	x + y − 4 = 0 (1);		6x +8 y −11	= 0	(2); 2x − 2 y +3 = 0
(3); 4x −3y + 7 = 0		(4); 9x +9 y +5 = 0		(5); и	x − y + 2 = 0	(6). Указать, какие из
них между собой параллельны, а какие – перпендикулярны.
1.81.	Треугольник		ABC	задан	уравнениями		своих	сторон:
2x + 7 y −1 = 0 ( AB) , 3x − 2 y +11 = 0 (BC)					и 3x −5y + 7 = 0 ( AC) .			Составить

уравнение высоты, опущенной из вершины B .

1.82.Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами

A(4,−5) , B(7,6), C(−7,−2) .

1.83.Составить уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку (−1;4) и параллельна:

1)	прямой 2x +3y +5 = 0 ;						2)	оси абсцисс; 3) оси ординат;
4)	прямой −		x	+	y	=1;	5)	биссектрисе II и IV координатных углов.
1.84.		5		2		точек A(8,9),		B(−5, −7), C(−11,−3)
		Какая		из					расположена ближе
всего к прямой 6x +8y −15 = 0 ?
1.85.		Найти			расстояние			между прямыми	2x −3y −5 = 0	и
2x −3y + 21 = 0 .

1.86.Найти проекцию точки A(−6;2) на прямую 4x −5y +3 = 0 .

1.87. Даны вершины четырехугольника A(−4, −2) , B(−3,1) , C(4,3) , D(5, −3) . Показать, что середины сторон этого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

1.88.В параллелограмме ABCD даны вершины A(−1,3), B(4,6), C(1,−5) .

Составить уравнения его сторон.

1.89.Даны вершины A(2,6), B(−6,0), C(−3, −4) треугольника. Составить

уравнения его сторон и медиан.

1.90.Дан треугольник с вершинами A(−2;0) , B(2,6) , C(4,2) . Написать

уравнение стороны AC , медианы BE и высоты BD .

1.91.Определить вершины и углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями x +3y = 0, x =3 и x − 2 y +3 = 0 .

1.92.Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, вершины которого A(−4,2), B(2, −5), C(5,0) .

1.93. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами

A(−3,0), B(2,5), C(3,2) .

1.94.Найти точку M (x, y) , лежащую на одной прямой с точками P(1, −7), и Q(−2,5) , если координаты искомой точки равны между собой.

1.95.Составить уравнение пучка прямых, проходящих через точку (−4,3) . Выбрать из этого пучка прямые, составляющие с осью Ox углы:

1) 300 ; 2) 450 ; 3) 600 ; 4) 1200 ; 5) 1350 .

Построить эти прямые.

24

1.96.Построить точку A(−2,5) и прямую 2x − y = 0 . Написать уравне-

ние пучка прямых, проходящих через точку A и выбрать из пучка прямую: 1) параллельную данной; 2) перпендикулярную к данной.

1.97. Написать уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой 4x −3y = 0 на четыре единицы.

1.98. Найти расстояние точек от точек A(4,3), B(2,1), C(1,0) до прямой 3x + 4 y −10 = 0 . Построить точки и прямую.

1.99. Найти длину перпендикуляра, проведенного из начала координат к прямой x − y +8 = 0 и угол, образованный этим перпендикуляром с осью Ox .

1.100. Даны вершины треугольника A(−2,0), B(2,4), C(4,0) . Написать

уравнения сторон треугольника, высоты AD , медианы AE . Найти длину медианы AE .

1.101. Найти расстояние от начала координат до прямой 12x −5y +39 = 0 . 1.102. В равнобедренном треугольнике ABC точка C(−2;3) – вершина

прямого угла. Найдите уравнения катетов этого треугольника, если его гипотенуза задана уравнением 3x − 4 y −12 = 0 .

1.103. Заданы уравнение стороны прямоугольника 3x − 4 y +5 = 0 и две его вершины A(1;−3) и C(1;2) . Найдите уравнения остальных сторон прямо-

угольника.

1.104. В треугольнике ABC заданы вершина A(1;3) и уравнения двух его медиан x − 2 y +1 = 0 и y −1 = 0 . Найдите уравнения сторон треугольника.

1.105.	Даны	вершины A(−3;−2) ,		B(−1;2) и C(1;3)		трапеции	ABCD
( AD || BC ). Найти координаты четвертой вершины D , если диагонали трапеции
взаимно перпендикулярны.
1.106.	Даны вершины A(3;4) , B(−1;2) и C(2;−1) треугольника. Найдите
уравнение медианы, проведенной из вершины					A и уравнение средней линии
треугольника, параллельной стороне BC .					параллелограмма x − 2 y = 0 ,
1.107.	Заданы	уравнения	двух	сторон
x − y −1 = 0	и точка пересечения диагоналей A(3;−1) . Найдите уравнения двух
других сторон.			ABC				AB :
1.108.	В треугольнике			заданы	уравнения	стороны

x + 7 y −6 = 0 и биссектрис AD : x + y − 2 = 0 и BE x −3y −6 = 0 . Найдите ко-

ординаты вершин треугольника.

1.109. Даны вершины треугольника A(1;1) , B(−2;1) и C(3;5) . Составить

уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведенную из вершины B .

1.110. Составить уравнения сторон треугольника, зная координаты вер-

шины C(4;−1) , уравнения высоты 2x −3y +12 = 0 и медианы y = −23 x , прове-

денных из одной вершины.

25

Задания для индивидуальной работы № 2

Задание 2.1. Даны прямая l : Ax + By +C = 0 и точки M1(x1; y1) , M2 (x2 ; y2 ) (табл. 2.1). Найти:

1)длину отрезка М1М2 ;

2)координаты точки N , делящей отрезок М1М2 в отношении λ;

3)уравнение прямой, проходящей через точки Ì 1, Ì 2 ;

4)точку пересечения прямой М1М2 и прямой l ;

5)уравнение прямой, проходящей через точку М1 параллельно пря-

мой l ;

6) уравнение прямой, проходящей через точку М2 перпендикулярно прямой l ;

7)угол между прямыми М1М2 и l ;

8)расстояние от точки М1 до прямой l ;

9)сделать чертеж.

		Таблица 2.1
Номер			λ
варианта
1	х1 = 3, y1 = 4, х2 = −2, y2 = 2, A = 3, B = −1, C = 3		2
2	х1 = −1, y1 = 2, х2 = −3, y2 = 0, A = −2, B =1, C = −3		–2
3	х1 = 3, y1 =1, х2 = −2, y2 = 5, A = 7, B =1, C = −2		3
4	х1 = 2, y1 =1, х2 = −1, y2 = 6, A =8, B = 3, C =1		5
5	х1 = −5, y1 =1, х2 = 3, y2 = 2, A = −1, B = 3, C = −6		–0,5
6	х1 = −1, y1 = 2, х2 = −3, y2 = 0, A = −2, B =1, C = −3		–3
7	х1 = −4, y1 =1, х2 = 3, y2 = 2, A = 2, B = −3, C =1		4
8	х1 = 4, y1 = −2, х2 =1, y2 = 3, A = 5, B = −1, C = 2		–3
9	х1 =1, y1 = −2, х2 = 4, y2 = 3, A = 2, B = −3, C =1		7
10	х1 = −2, y1 = 3, х2 =1, y2 = 0, A = 2, B = −3, C =1		5
11	х1 = 4, y1 = 2, х2 = 3, y2 =1, A = 0, B = −2, C = 3		–4
12	х1 = 3, y1 = −2, х2 =1, y2 = 5, A = 7, B = −1, C = 3		–5
13	х1 = 7, y1 = −2, х2 = 3, y2 =1, A = 2, B = −3, C = 4		9
14	х1 = 0, y1 =1, х2 = −9, y2 = 3, A = 2, B =10, C = −3		4
15	х1 = 3, y1 = −2, х2 =1, y2 = 5, A = 7, B = −1, C = 3		–8
16	х1 =1, y1 = −2, х2 = 5, y2 = −4 A = 3, B = 2, C = −1		3
17	х1 =1, y1 = −3, х2 = 2, y2 = 9, A =1, B = −2, C = 3		5
18	х1 = −5, y1 = 2, х2 =1, y2 = −3, A = 2, B = −5, C = 4		0,5

26