Из свойства 5 и формулы (1.6) следует, что длина вектора a ( х1 , y1 , z1 ) , заданного в координатной форме, равна

a

= x2 + y2 + z2 .

1

1

1

Тогда косинус угла между ϕ ними векторами

( х1 , y1 , z1 )

и

( х2 , y2 , z2 )

a

b

находится по формуле

a

x1x2 + y1 y2 + z1z2

b

cosϕ =

=

.

(1.7)

x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22

a

b

Пусть даны ось l и вектор

=

. Обозначим через A/

и B/ соответст-

a

AB

венно проекции точек A и B на ось l (рис. 1.4).

B

a

A

A/	B/	l
	Рис. 1.4

Проекцией вектора AB на ось l (обозначение прl AB ) называется число, равное длине вектора A′B′, взятой со знаком плюс, если направление вектора

A′B′ совпадает с направлением оси l , и со знаком минус – в противном случае. Аналогично определяется проекция вектора на вектор.

Свойства проекции вектора на ось

1. прl a = a cosϕ, где ϕ – угол между вектором a и осью l ;

2.прl (a +b) = прl a + прl b ;

3.прl (ka) = k прl a .

Проекцию одного вектора на другой можно найти по формуле

пр

=

a

b

=

cosϕ .

(1.8)

a

a

b

b

Учитывая это, скалярное произведение векторов можно записать в виде

a

b

=

a

пр

b

=

b

пр

a

.

(1.9)

a

b

5

Если α, β, γ – углы между вектором a ( х, y, z) и осями Ox, Oy, Oz , то их косинусы cosα, cos β, cosγ называются направляющими косинусами вектора

a и вычисляются по формулам

cosα =

x

, cos β =

y

, cosγ =

z

.

(1.10)

a

a

a

Из (1.10) следует, что cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

Примеры решения задач

Пример 1.1. Даны точки A(2, −3,1) и B(0, −4,5) . Разложить вектор AB по

ортам i, j, k .

Решение. Найдем координаты вектора AB , используя формулу (1.1):

AB = (0 − 2;− 4 +3;5 −1) = (−2;−1;4) .

Тогда AB = −2i − j + 4k .

Пример 1.2. Даны векторы a = (3, −2,1), b = (5,1, −3) . Найти 3a − 2b .

Решение. Из (1.3) следует, что

3a =3 (3,−2,1) = (9,−6,3); 2b = 2 (−5,−1,3) = (−10,−2,6) .

Отсюда и из (1.2) получаем

3a − 2b = (9, −6,3) + (−10,−2,6) = (−1,−8,9) .

Пример 1.3. Векторы a и b образуют угол ϕ = π4 . Найти длину вектора

c = 3a + 5b , если a =3, b = 2 .

Решение. Из свойства 5 скалярного произведения, следует, что длина вектора c равна c = с с . Тогда

с с = (3a + 5b)2 = 9 a 2 + 30a b + 25 b 2 =

=9

2 +30

π

+ 25

2 =

cos

a

a

b

b

4

=9 3

2

+30

3

2

2

+ 25

2

2

=81 +90 +50 = 221.

2

6

Следовательно,

с

=

221 .

Пример 1.4. В пространстве заданы три точки

A(2;3;−1) , В(3;4;−1) ,

С(3;3;0) . Найти угол ϕ = BAC .

Решение. Искомый угол – это угол между векторами

и

. По фор-

АВ

АС

муле (1.1) определяем координаты этих векторов

= (3 − 2; 4 − 3; −1 +1) = (1;1;0) ,

АВ

= (3 − 2;3 − 3; 0 +1) = (1; 0;1) .

АС

По формуле (1.17):

cosϕ =

1 1 +1 0 + 0 1

=

1

=

1 .

12 +12 + 02 12 + 02 +12

2 2

2

Тогда ϕ = arccos

1 = 60 .

2

Пример 1.5. Пусть

a

,

b

и

c

– векторы, составляющие с осью l соответ-

ственно углы π

, π

и

2π

, причем

=1,

= 2,

= 3.

Найти проекцию век-

а

b

c

3

3

тора 3

a

−

b

+ 5

c

на ось l .

Решение. По свойствам 1 – 3 проекции вектора на ось, получаем

прl

=

cos

π

= 1 ,

прl

cosπ = 2 (−1) = −2 ,

a

a

b

=

b

3

2

2π

1

3

прl c =

c

cos

= 3

−

,

3

2

= −

2

3

15

прl (3

−

+ 5

)= 3прl

− прl

+ 5прl

=

+ 2 −

= −4 .

a

b

c

a

b

c

2

2

Итак, прl (3a − b + 5c )= −4 .

Пример 1.6. Даны векторы a = (3, −2,1) и b = (4,0, −3) . Найти прb a . Решение. Используя формулу (1.8), получаем

пр				=	a			b	= 3 4 − 2 0 −1 3 =	9	= 9
			a
b						b			16 +0 +9	25	5

Пример 1.7. Найти направляющие косинусы вектора a = (1,0, 3) . Решение. По формуле (1.4) определяем длину вектора a :

7