матан 3 курс 2013 / практика / Невизначений інтеграл / практическое занятие № 2

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 2

з теми: «Інтегрування ірраціональностей.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Інтегрування ірраціональностей.

Мета:

• Дидактична: напрацювати вміння обчислювати первісну, застосовувати основні методи інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.

• Виховна: розвивати логічне мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів: вивчити основний математичний апарат – невизначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

3. Актуалізація опорних знань: методи інтегрування деяких ірраціональностей: , , перша, друга, третя підстановки Ейлера.

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття.

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання.

Конспект практичного заняття № 2.

Тема: «Інтегрування ірраціональностей.»

1. Інструктаж до виконання практичних завдань.

Методичні вказівки.

Розглянемо інтеграл . Будемо вважати, що числа r, …, rраціональні та записані з однаковим знаменником: , m – натуральне число, pі – цілі числа, визначник (якщо визначник дорівнює 0, то функція приводиться до раціональної). Зробимо в інтегралі заміну змінної , звідки отримаємо . Функція ρ(t) – раціональна функція, ρ′(t) – також раціональна функція. . = , де R٭(t) – раціональна функція. Таким чином, заміна змінного зводить інтеграл до інтегралу від раціональної функції.

Розглянемо інтеграл виду ; його підінтегральний вираз називається диференційним біномом. Будемо вважати, що α, β, γ – раціональні числа, a, b – вільні дійсні числа.

Зробимо в інтегралі заміну змінного x = t, тоді , та відповідно = . Таким чином, інтеграл за допомогою заміни зводиться до інтегралу виду , де a та λ – раціональні числа, .

Розглянемо три випадки.

1. α – ціле число. λ = m/n, m та n > 0 – цілі числа. Тоді робимо заміну u = t, яка зведе інтеграл до інтегралу від раціональної функції.

2. λ – ціле число. α = m/n, m та n > 0 – цілі числа. Тоді робимо заміну u = (a + bt), яка зведе інтеграл до інтегралу від раціональної функції.

3. α + λ – ціле число. α = m/n, m та n > 0 – цілі числа. Тоді маємо: , далі інтеграл заміною зводиться до інтегралу від раціональної функції.

Інтеграли виду , де R – багаточлен чи раціональний алгебраїчний дріб, приводяться до інтегралу від раціональної функції за допомогою підстановки Ейлера.

Розглянемо три випадки.

• Перша підстановка застосовується у випадку, коли а > 0. Вважаємо, що . Далі, підводимо обидві частини до квадрату, отримаємо . З рівності для змінної х отримаємо: . При підстановці цих виразів в даний інтеграл він зведеться до інтегралу від раціонального алгебраїчного дробу відносно змінної t.

• Друга підстановка застосовується у випадку, коли с > 0. Вважаємо, що . Далі, підводимо обидві частини до квадрату, отримаємо . З рівності для змінної х отримаємо: . При підстановці цих виразів в даний інтеграл він зведеться до інтегралу від раціонального алгебраїчного дробу відносно змінної t.

• Третя підстановка застосовується у випадку, коли багаточлен має різні дійсні корені , тобто може бути представлений у вигляді . Тоді, вважаємо . Далі, підводимо обидві частини до квадрату, отримаємо . З рівності для змінної х отримаємо: . При підстановці цих виразів в даний інтеграл він зведеться до інтегралу від раціонального алгебраїчного дробу відносно змінної t.

Приклади виконання практичних завдань.

1) Знайти інтеграл .

Загальний знаменник показників ступеня дорівнює 6, тому вводимо заміну (2х + 1) = t, тоді . Далі маємо:

. Повертаючись до старої змінної х, маємо .

2) Знайти інтеграл .

В даному інтегралі m = -4, n = 2, p = -1/2, (m+1)/n + p = -2 – ціле число. Тому маємо третій випадок інтегрування диференційного біному. Положимо, . Спростимо інтеграл таким чином:

= .

3. Знайти інтеграл .

= .

2. Виконати практичне завдання.

3. Домашнє завдання.

Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

Стор. 187, №№1926 – 1932.

Стор. 190, №№1966 – 1968.

Стор. 188, №№1937 – 1942.

Стор. 192, №№1981 – 1989.