матан 3 курс 2013 / практика / Невизначений інтеграл / практическое занятие № 1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 1

з теми: «Інтегрування раціональних дробів.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Інтегрування раціональних дробів.

Мета:

• Дидактична: напрацювати вміння обчислювати первісну, застосовувати основні методи інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.

• Виховна: розвивати логічне мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів: вивчити основний математичний апарат – невизначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

3. Актуалізація опорних знань:

• Основні властивості невизначеного інтеграла.

• Формула заміни змінного у невизначеному інтегралі.

• Формула інтегрування за частинами у невизначеному інтегралі.

• Інтегрування елементарних раціональних дробів.

• Основні випадки інтегрування раціональних дробів (4 типових інтеграли, рекурентне співвідношення).

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття.

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання

Конспект практичного заняття № 1.

Тема: «Інтегрування раціональних дробів.»

1. Інструктаж до виконання практичних завдань.

Методичні вказівки.

Елементарні дроби виду . Якщо n > 1, то . Якщо n = 1, то .

Елементарні дроби виду . Приведемо знаменник до суми квадратів, маємо: , де .

Якщо положити , будемо мати:

=. Таким чином, обчислення інтегралу зведено до обчислення інтегралів у правій частині рівності.

Якщо n = 1, то ; .

Якщо n > 1, то . Для інтегралу отримаємо за допомогою інтегрування за частинами рекурентну формулу.

.

Інтеграл I1 - обчислений, тому за допомогою рекурентної формули можна обчислити інтеграли І2, І3, …

Нехай P(х) та Q(х) – багаточлени, P(х)/Q(х) – раціональний дріб. Раціональний дріб називається правильним, якщо P(х) – нульовий багаточлен чи його ступінь нижче ступеня багаточлену Q(х); неправильним, якщо ступінь багаточлену P(х) не менша, ніж ступінь Q(х).

Нехай - правильний раціональний дріб, P(х) та Q(х) – багаточлени з раціональними коефіцієнтами. Якщо , де х - попарно різні дійсні корні багаточлену Q(х) кратності k, і = 1, 2, …, r, а , де z - попарно різні комплексні числа – корні багаточлену Q(х) кратності m, то існують такі дійсні числа А , і = 1,2,…,r, В , С, j = 1,2,…,s, що =

Приклади виконання практичного завдання.

Знайти інтеграл .

.

Знайти інтеграл .

.

Знайти інтеграл .

Даний інтеграл обчислюється за допомогою використання рекурентної формули ., де n = 3.

Після першого використання формули отримаємо: .

До інтегралу знову використаємо рекурентну формулу, де n = 2.

.

Остаточно маємо: .

2. Виконати практичне завдання.

Знайти невизначений інтеграл від дробово-раціональної функції.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21 22.

23 24.

25.

3. Домашнє завдання:

Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

Стор. 184, №№1866 – 1887.

Стор. 186, №№1904 – 1920.