матан 3 курс 2013 / лекции / 212
.pdfГлава 12 Функціональні послідовності й ряди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
∞ |
|
|
|
∞ |
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫S(x)dx = ∫ |
∑un (x) dx = ∑ |
∫un (x)dx . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a n=1 |
|
|
|
n=1 |
a |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Доведення. □ 1) Покажемо спочатку, що функція S(x) |
інтегрована. Оскільки |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
всі un (x) неперервні й ряд збігається рівномірно ∑un |
(x) S(x), то за властивістю 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
сума ряду - неперервна функція на [a; b], і за теоремою про інтегрованість |
|||||||||||||||||||||||||
неперервної функції маємо, що S(x) інтегрована. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
2) Покажемо, що твердження теореми рівносильне умові |
nlim→∞ ∫ϕn (x)= 0 , а |
||||||||||||||||||||||
потім для доведення теореми доведемо, що цю умову виконано. |
a |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
За теоремою ми повинні показати, що виконане ∑ ∫ui |
(x)dx |
= ∫S(x)dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
Усі ці інтеграли існують, оскільки функції неперервні. Введемо позначення |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
(x)dx = ai , |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ui |
|
∫S(x)dx = S . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ми повинні довести, що ∑ai |
= S |
або, |
|
мовою ε − N , |
що для кожного ε > 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
існує номер |
N |
|
такий, що для |
|
|
кожного n > N |
виконане |
|
∑ai − S |
< ε . |
(Якщо |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
використати поняття часткової суми, то |
|
Sn − S |
|
< ε .) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Запишемо останню нерівність |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫u1 (x)dx + ∫u2 (x)dx +…+ ∫un (x)dx − ∫S(x)dx |
< ε . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(n + |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Доданків |
1) - скінчена кількість. |
|
Для |
інтеграла Римана виконується |
|||||||||||||||||||
властивість: |
інтеграл |
від |
суми |
дорівнює |
сумі |
|
інтегралів, |
тобто |
|||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(u1 |
(x)+u2 (x)+…+un (x)− S(x))dx |
|
< ε , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
S(x) −[u1 (x) +u2 (x) +... +un (x) |
|
]= S(x) − Sn (x) =ϕn (x) тому нерівність приймає |
|||||||||||||||||||||
але |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вигляд |
∫ϕn (x)dx |
< ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Доведемо останню нерівність, використовуючи рівномірну збіжність ряду. |
|||||||||||||||||||||||
Для цього за фіксованим ε |
ми повинні знайти номер N . Рівномірна збіжність ряду |
рівносильна рівномірному прямуванню до нуля залишку ряду ϕn (x) 0 , тобто за
нашим ε знайдеться такий номер N , що n > N ϕ |
n |
(x) < ε |
b −a |
відразу для всіх |
x [a; b]. |
|
|
||
|
|
|
|
|
Тоді для цих номерів n маємо |
|
|
|
|
Глава 12 Функціональні послідовності й ряди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∫ |
ϕn (x)dx |
≤ |
∫ |
|
ϕn (x) |
|
dx < |
∫b −a |
dx = ε . ■ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Наведемо аналог теореми для послідовностей. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Теорема. Якщо послідовність функцій {fn (x)} неперервних на [a; b] |
||||||||||||||||||||
збігається до граничної функції |
f (x) рівномірно на [a; b], то |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
||
|
|
|
∫ f (x)dx = ∫(nlim→∞ fn (x))dx = nlim→∞ |
fn (x)dx . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Властивість 3. Почленне диференціювання ряду |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
Теорема. Нехай 1) Ряд ∑un (x) збігається на [a; b] |
й ∑un (x)= S |
(x); |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) існують похідні un (x)– неперервні на [a; b]; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ∑un′ (x) на [a; b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Тоді |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1) існує похідна суми ряду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
S |
(x) на [a; b]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
2) ряд можна почленно диференціювати ∑un |
(x)= S (x), або |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∑un (x) |
= ∑un (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
Доведення. □ Позначимо через S * (x) |
|
суму ряду з похідних ∑un′ |
(x)= S * (x). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
За |
властивістю 1 неперервності |
|
суми |
ряду |
|
|
S * (x) |
– неперервна функція. |
Скористаємося властивістю 2 про почленне інтегрування ряду. Проінтегруємо ряд із
похідних почленно в проміжку від a |
|
до x [a; b] . Одержимо |
||||
|
x |
|
|
∞ x |
|
|
|
∫S |
* |
|
′ |
|
|
|
|
|
(t)dt = ∑ |
∫un (t)dt . |
||
|
a |
|
|
n=1 a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
−un (a) . Одержимо |
|||
Помітимо, що ∫un (t)dt = un (x) |
||||||
x |
a |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
∞ |
|
∫S * (t)dt = ∑(un (x) −un (a))= ∑un (x) −∑un (a) = S(x)− S(a). |
||||||
a |
n=1 |
|
|
n=1 |
|
n=1 |
Оскільки інтеграл ліворуч із змінною верхньою межею, через неперервність функції S * (x) має похідну, що дорівнює S * (x) , то аналогічну похідну має й S(x) , що відрізняється від інтеграла лише на константу, тобто S * (x) = S′(x).
∞∞
Атак як S * (x) = ∑un′ (x), тому ∑un′ (x)= S′(x). ■
n=1 |
n=1 |
Глава 12 Функціональні послідовності й ряди |
13 |
|
∞ |
Зауваження. Замість поточкової збіжності ряду ∑un (x) достатньо зажадати |
|
|
n=1 |
збіжність ряду хоча б в одній точці x0 [a; b].
Наведемо аналог теореми для послідовностей. |
|
Теорема. Нехай послідовність {fn (x)} неперервне диференційованих на |
|
відрізку [a; b] функцій, збігається хоча б в одній точці x0 [a; b], а послідовність |
|
їхніх похідних {fn′} на [a; b]. |
Тоді послідовність {fn } рівномірно збігається на |
[a; b]; її границя є неперервне диференційованою на цьому відрізку функцією й |
|
lim |
fn′(x) = ( lim fn (x))′ = f ′(x) . |
n→∞ |
n→∞ |