Змістовий модуль 10

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Тема 10.1. Функції двох змінних.

10.1.1. Основні поняття.

10.1.2. Границя функції.

10.1.3. Неперервність функції двох змінних.

10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області.

Тема 10.2. Похідні і диференціали функцій декількох змінних.

10.2.1. Частинні похідні першого порядку та їх геометричний зміст.

10.2.2. Частинні похідні вищих порядків.

10.2.3. Диференційованість і повний диференціал функції.

10.2.4. Застосування повного диференціала для наближених обчислень.

10.2.5. Диференціали вищих порядків.

10.2.6. Похідна складної функції. Повна похідна.

10.2.7. Інваріантність форми повного диференціала.

10.2.8. Диференціювання неявної функції.

Тема 10.3. Дотична площина і нормаль до поверхні.

Тема 10.4. Екстремум функції двох змінних.

10.4.1. Основні поняття.

10.4.2. Необхідні і достатні умови екстремуму.

10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області.

Функції однієї незалежної змінної не охоплюють всі залежності, існуючі в природі. Тому природно розширити відоме поняття функціональної залежності і ввести поняття функції декількох змінних.

Будемо розглядати функції двох змінних, оскільки всі найважливіші факти теорії функцій декількох змінних спостерігаються вже на функціях двох змінних. Ці факти узагальнюються на випадок більшого числа змінних. Крім того, для функцій двох змінних можна дати наочну геометричну інтерпретацію.

10.1. Функції двох змінних

10.1.1. Основні поняття

Нехай задано безліч впорядкованих пар чисел. Відповідність, яка кожній парі чисел ставить у відповідність одне і лише одне число, називаєтьсяфункцією двох змінних, визначеною на множині із значеннями в, і записується у виглядіабо. При цьомуіназиваютьсянезалежними змінними (аргументами), - залежною змінною (функцією).

Множина називаєтьсяобластю визначення функції. Безліч значень, що приймаються в області визначення, називаєтьсяобластю значень цієї функції, позначається або.

Прикладом функції двох змінних може служити площа прямокутника із сторонами, довжини яких рівніі. Областю визначення цієї функції є множина .Функцію , деможна розуміти (розглядати) як функцію точки координатної площини. Зокрема областю визначення може бути вся площина або її частина, обмежена деякими лініями. Лінію, що обмежує область, називають межею області. Точки області, що не лежать на межі, називаються внутрішніми. Область, що складається з одних внутрішніх точок, називається відкритою. Область з приєднаною до неї межею називається замкнутою, позначається . Прикладом замкнутої області є круг з колом.

Значення функції в точці позначаютьабо і називають частинним значенням функції.

Функція двох незалежних змінних допускає геометричне тлумачення. Кожній точці області в системі координатвідповідає точка, де – апліката точки . Множина всіх таких точок представляє собою деяку поверхню, яка в точці і буде геометрично зображати дану функцію

Рис. 1

Наприклад, функція має областю визначення круг і зображується верхньою півсферою з центом в точціі радіусом(див. рис. 1).

Функція двох змінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами: таблицею, аналітично, графіком. Будемо користуватися, як правило, аналітичним способом: коли функція задається за допомогою формули.