матан 3 курс 2013 / лекции / Невизначений інтеграл / лекция № 9

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 9

з теми: «Метод інтегрування функцій за частинами.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Метод інтегрування функцій за частинами.

Мета:

• Дидактична: навчитися обчислювати первісну, володіти методами інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: словесні, наочні, пояснювально-ілюстративні, проблемно – пошукові.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: теорема про інтегрування методом за частинами, таблиця похідних елементарних функцій, таблиця первісних елементарних функцій, теореми про диференціювання складної функції, правила диференціювання елементарних функцій.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Метод інтегрування функцій за частинами.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат – невизначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 9.

Тема: «Метод інтегрування функцій за частинами.»

План лекції № 9.

1. Метод інтегрування функцій за частинами.

1. Теорема.(формула інтегрування за частинами.) Якщо функції u(х) та v(х) диференційовані на деякому проміжку та на ньому існує інтеграл ∫vdu, то на ньому існує інтеграл ∫udv, причому ∫udv = uv - ∫vdu.

Нехай і - неперервно диференційовні функції на деякому проміжку. На основі формули диференціала добутку двох функцій маємо

, або .

В результаті інтегрування останньої рівності, дістанемо:

, або

(1)

Формула (1) називається формулою інтегрування частинами. Вона показує, що інтеграл зводиться до інтеграла , який може виявитися більш простим ніж вихідний або табличним. Найчастіше ця формула застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток алгебраїчної і трансцендентної функцій, наприклад або . Проблема тут пов’язана із вибором у вихідному інтегралі функцій, що позначаються через u і диференціальних виразів, які позначаються через . Тут потрібно керуватись такими вказівками :

По-перше, потрібно мати на увазі, що функція и диференціюється, а вираз - інтегрується. Звідси випливає, що через и потрібно позначати трансцендентні функції, від яких інтеграли безпосередньо не беруться (), а через ту частину підінтегрального виразу, від якого інтеграл відомий або може бути знайдений. Якщо ж підінтегральний вираз є добуток многочлена на функції тоді за и позначається многочлен, що приводить при диференціюванні до пониження його степеня. В результаті застосування формули (1) стільки разів, який порядок многочлена, можна знайти інтеграл. Для обчислення інтегралів виду потрібно формулу (1) застосувати двічі. В результаті відносно шуканого інтеграла одержимо рівняння 1-го степеня. Розв’язавши його, знайдемо шуканий інтеграл.

Схематично правило вибору u і можна подати у такому вигляді

;

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1.

= ;

Приклад 2.

;

тому,що; Приклад3.

тому,що.

Ми одержали лінійне рівняння відносно . Звідси або