матан 3 курс 2013 / лекции / Функціональні послідовності і ряди / лекция № 28

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 28

з теми: «Розклад елементарних функцій в ряд Тейлора.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.11 Функціональні послідовності і ряди

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Розклад елементарних функцій в ряд Тейлора.

Мета:

• Дидактична: розглянути ступеневі ряди Тейлора та Маклорена, навчитись знаходити розклад елементарних функцій в ступеневі ряди Тейлора та Маклорена, знаходити радіус збіжності та коло збіжності отриманого ряду.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.

Тип: лекція

Вид: лекція з використанням проектної технології.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення функціональної послідовності, визначення збіжної функціональної послідовності, визначення граничної функції, визначення рівномірно збіжної функціональної послідовності. Визначення функціонального ряду. Визначення суми ряду. Визначення збіжного та рівномірно збіжного функціонального ряду. Ознаки Вейерштраса рівномірної збіжності функціонального ряду. Ознаки Дирихлє та Абеля рівномірної збіжності функціонального ряду. Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів і послідовностей. Визначення ступеневого ряду. Збіжність ступеневого ряду, радіус та область збіжності. Перша та друга теореми Абеля. Визначення ряду Тейлора, ряду Маклорена. Умови розкладання функції в ступеневі ряди Тейлора, Маклорена.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Розклад елементарних функцій в ряд Тейлора.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження ступеневих рядів для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 28.

Тема: «Розклад елементарних функцій в ряд Тейлора.»

План лекції № 28.

1. Розклад в ряд функції .

2. Розклад в ряд функцій та .

3. Розклад в ряд функцій та .

4. Розклад в ряд функції .

5. Розклад в ряд функції .

6. Формула Стірлінга.

1. .

Для будь-якого фіксованого а > 0, для всіх та всіх n = 0, 1, 2, … виконується нерівність . Таким чином, на інтервалі для функції виконані умови теореми 1: якщо функція в околі точці має всі похідні, обмежені в сукупності на цім околі, то функція розкладається в ступеневий ряд в деякім околі точки . Отже, функція розкладається в ряд Тейлора на будь-якому скінченому інтервалі, а також на всій числовій прямій.

, отже .

2. 

, .

3. .

, для всіх дійсних х. Відповідно до теореми 1, функція розкладається в ступеневий ряд Тейлора на всій дійсній числовій прямій. Отже, . Аналогічно для функції = .

4. .

Відповідно до формули Тейлора . Запишемо залишковий член цієї формули у виді Лагранжа. , тоді .

Якщо 0 ≤ х ≤ 1, то . Тому та .

Якщо -1 < х < 0, то запишемо залишковий член у виді Коші. . В цьому випадку та . Тому та .

Отже, маємо що для всіх є вірним розкладання .

Коли х = -1, цей ряд розбігається (чому?). Коли . Отже, розкласти функцію в ступеневий ряд можливо лише коли .

5. .

Формула Тейлора має вид . Відповідний ряд, який називається біноміальним рядом з показником α, має вигляд . Якщо α – натуральне число, то цей ряд вміщує лише скінчену кількість членів, відмінних від 0, та перетворюєтьс у відому формулу бінома Ньютона .

Будемо вважати, що α не є натуральним числом та х ≠ 0, тоді всі члени ряду відмінні від 0. За допомогою ознаки Даламбера дослідимо ряд на абсолютну збіжність. .

Отже, ряд збігається абсолютно коли , та розбігається коли .

Сумою ряду на інтервалі (-1, 1) є функція . (доведення розібрати самостійно). В точках х = 1 та х = -1 потрібно провести додаткове дослідження збіжності ряду.

В точці х = 1 коли α > -1 біноміальний ряд збігається, а коли α ≤ -1 – розбігається.

В точці х = -1 коли α ≥ 0 ряд абсолютно збігається, а коли α < 0 – розбігається.

6. Розкладання функції в ступеневий ряд дає можливість отримати асимптотичну формулу для факторіалу n!, коли n→∞. Ця формула називається формулою Стирлінга та має вид: .

Наведемо розвинення у ряд Маклорена деяких елементарних функцій та вкажемо інтервали збіжності цих рядів (у точках, що належать інтервалам збіжності, ряди збігаються до значень відповідних функцій у цих точках).

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. 

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

Приклади.

1. Знайти перші два ненульові члени розвинення у ряд Маклорена функції .

Ряд Маклорена має вигляд

.

Обчислимо значення заданої функції та декількох її перших похідних при .

, ;

, ;

, ;

.

Тоді розвинення функції має вигляд

,

.

2. Розвинути у ряд Тейлора в околі точки поліном .

Розвинення у ряд Тейлора полінома буде мати скінченну кількість ненульових членів.

.

;

, ;

, ;

, ;

.

=

.

Розвинути функцію у ряд Маклорена за допомогою табличних розвинень. Вказати інтервал збіжності отриманого ряду:

3.

При побудові розвинення буде введено допоміжну змінну за аргументом складної функції.

;

.

Табличний ряд буде збігатися при , отже, побудований ряд буде збіжним при .

4.

;

.

Табличний ряд буде збігатися при , отже, побудований ряд буде збіжним при .

5.

;

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

6.

;

;

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

7.

Задану функцію можна записати у вигляді та скористатись табличним розвиненням у біноміальний ряд для .

Спочатку запишемо вказане табличне розвинення:

.

Повернемося до заданої функції:

;

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

8.

Задану функцію можна записати у вигляді та скористатись табличним розвиненням у біноміальний ряд для .

Спочатку запишемо вказане табличне розвинення:

.

Повернемося до заданої функції:

;

;

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

9. Розвинути в степеневий ряд функцію в околі точки .

1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

.

Обчислимо у точці значення заданої функції та її кількох похідних, та спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.

; ;

; ;

; ;

; .

Легко помітити, що значення похідних є додатними дробами, числівники яких мають факторіальний вигляд, а знаменники є степенями основи 3. Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних можна обчислити за формулою

.

Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

;

.

Обчислимо радіус збіжності отриманого ряду.

, ,

.

Тоді ряд абсолютно збігається, якщо .

Таким чином, інтервал збіжності задається умовою .

2 спосіб. Використаємо табличне розвинення у ряд Маклорена. Для цього виконаємо заміну змінної та перетворимо функцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.

;

.

Таким чином, шукане розвинення має вигляд

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

10. Розвинути в степеневий ряд функцію в околі точки .

1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

.

Обчислимо у точці значення заданої функції та її кількох похідних, та спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Легко помітити, що парні похідні дорівнюють 0, а значення непарних є знакозмінними дробами, числівники яких є степенями основи , а знаменники – степенями основи 10. Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних можна обчислити за формулою

.

Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

.