МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 26

з теми: «Ступеневі ряди. Радіус та коло збіжності.»

Модуль кзн-02.Пр.О.03.11 Функціональні послідовності і ряди

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Ступеневі ряди. Радіус та коло збіжності.

Мета:

• Дидактична: ознайомитись з поняттям ступеневого ряду, навчитись знаходити радіус збіжності та коло збіжності ступеневого ряду. Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.

Тип: лекція

Вид: лекція з використанням проектної технології.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення функціональної послідовності, визначення збіжної функціональної послідовності, визначення граничної функції, визначення рівномірно збіжної функціональної послідовності. Визначення функціонального ряду. Визначення суми ряду. Визначення збіжного та рівномірно збіжного функціонального ряду. Ознаки Вейерштраса рівномірної збіжності функціонального ряду. Ознаки Дирихлє та Абеля рівномірної збіжності функціонального ряду. Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів і послідовностей.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Ступеневі ряди. Радіус та коло збіжності.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження ступеневих рядів для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 26.

Тема: Ступеневі ряди. Радіус та коло збіжності.

План лекції № 26.

1. Радіус збіжності та коло збіжності функціонального ступеневого ряду.

2. Аналітичні функції в дійсних областях.

Визначення 1. Ступеневим рядом називається ряд виду , числаназиваються коефіцієнтами ряду. За допомогою заміни змінногоряд може бути перетворений до виду.

Теорема 1 (перша теорема Абеля). Якщо ступеневий ряд збігається при, то при будь-якому z такому, щорядзбігається абсолютно.

Наслідки. Якщо ряд розбігається в точці, то при будь-якому z такому, щорядтакож розбігається.

Розглянемо ряд . Він збігається в точці z = 0. Позначимо через Х множину всіх таких дійсних невід’ємних чисел, що при z = х рядзбігається. Число 0 належить множині Х, тому множина не пуста. Нехай. Тоді. За теоремою Абеля, якщо, то рядзбігається, а якщо, то ряд розбігається. Нерівністьзадає на комплексній площиніС відкритий круг радіусу R з центром в точці z = 0. Якщо за допомогою заміни перейти до ряду , то круг перетвориться до видутого ж радіусу, але з центром в точці. При цьому, якщо, то рядзбігається в точці z (притому абсолютно), а приряд розбігається.

Визначення 2. Число (скінчене чи нескінчене) R ≥ 0 називається радіусом збіжності ряду , якщо для будь-якого z, такого, що, рядзбігається, а для будь-якого z, такого що- розбігається.

Круг в комплексній площині С, складений з точок z, для яких , називається кругом збіжності ряду.

Теорема 2. Для будь-якого ступеневого ряду існує радіус збіжності R,; при цьому, якщо, то в точці z ряд збігається абсолютно, а якщо 0 < r < R, то в крузірядзбігається рівномірно.

Область збіжності функціонального ряду можна знайти за ознакою Д’Аламбера або радикальною ознакою Коші.