1.3. Удар

а) классическая теория удара

Интересные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно наблюдаются при ударе тел. Ударом называется кратковременное взаимодействие тел, при этом оба тела деформируются и возникают ударные силы значительной величины. Процесс соударения можно разделить на две фазы:

1) сближение тел – возникновение деформаций;

2) разлет – исчезновение деформаций (полное или частичное).

Различают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

При абсолютно упругом ударена первой фазе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации, на второй фазе тела снова приобретают первоначальную форму, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации опять переходит в кинетическую и тела разлетаются. При абсолютно упругом ударе механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды энергии.

Рассмотрим абсолютно упругий удар двух шаров, центры которых движутся вдоль одной прямой. При этом движение вправо будет соответствовать положительной скорости, движение влево – отрицательной.

При абсолютно упругом ударе не выделяется теплота, следовательно, систему из двух взаимодействующих шаров можно считать замкнутой (консервативной). К такой системе можно применить закон сохранения импульса и энергии.

Обозначим массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удараи, а после удараи(рис. 1).

а

б

Рис. 1. Удар шаров: а – положение до удара; б – положение после удара

Применяем к двум взаимодействующим шарам законы сохранения энергии и импульса:

  ,                           (1.8)

.                              (1.9)

Перенося слагаемые, содержащие m₁в одну, а m₂ в другую сторону в равенствах (1.8) и (1.9), получаем:

  ,                                 (1.10)

     .                                  (1.11)

Деление равенства (1.10) на (1.11) дает:

     .                                           (1.12)

Решая совместно уравнения (1.11) и (1.12), находим значения скоростей U₁ и U₂:

  . (1.13)

По этим формулам определяются скорости шаров после удара. Следует помнить, что в формулах (1.13) скорости U₁и U₂могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки, в зависимости от направления векторови. Проведем анализ полученных результатов по формулам (1.12) и (1.13).

1.Преобразуем равенство (1.12) к виду:

 или  .                        (1.14)

В левой части равенства (1.14) (V₁–V₂) – есть относительная скорость шаров до удара, в правой (U₁–U₂) – относительная скорость шаров после удара.

Вывод: относительная скорость шаров после удара остается по абсолютной величине равной относительной скорости шаров до удара, но меняет знак на противоположный.

2.Положимm₁=m₂, тогда из первого равенства (1.13) следует, чтоU₁=V₂и из второго равенства (1.13) следуетU₂=V₁.

Вывод: при упругом центральном ударе двух шаров одинаковой массы шары обмениваются скоростями.

3.Пустьm₂>m₁иV₂= 0, тогда из равенства (1.13) получим:U₁= –V₂, аU₂= 0.

Вывод: при ударе шара о массивную стенку его скорость меняется на противоположную, скорость же стенки практически не изменяется.

Абсолютно упругийудар является идеальным случаем. В реальных случаях в зависимости от того, из какого вещества изготовлены шары, большая или меньшая часть механической энергии переходит в тепло.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальная энергия упругой деформации не возникает, кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию, после удара сталкивающиеся тела либо покоятся, либо движутся с одинаковой скоростью.

При таком ударе шары деформируются, скорости их выравниваются, суммарная кинетическая энергия шаров после удара уменьшается по сравнению с первоначальной (до удара), так как часть ее перейдет в другие формы энергии – тепловую энергию пластических деформаций и т.д.

Для этого случая закон сохранения энергии запишется в виде:

.                        (1.15)

Система из двух шаров в этом случае будет являться диссипативной, так как часть механической энергии теряется, рассеивается и по формуле (1.15) можно определить потерю механической энергии Q,которую называютэнергией диссипации.

Скорость шаров после удара можно найти, воспользовавшись законом сохранения импульса:

,

откуда

.                                        (1.16)

При абсолютно неупругом ударе относительная скорость шаров после удара равна нулю: U₁–U₂ = 0, так какU₁ =U₂ =U. При абсолютно упругом ударе она, как известно, равна:U₁–U₂ = – (V₁–V₂). При частично неупругом ударе относительная скорость после удара будет составлять некоторую долю относительной скорости шаров до удара:

U₁ – U₂ = – (V₁–V₂),                                  (1.17)

где  – коэффициент восстановления относительной скорости шаров при ударе, характеризующий степень упругости взаимодействующих тел и может принимать значения 0    1.

Из формулы (1.17) определяется величина коэффициента восстановления

 ;                                          (1.18)

б) волновая теория удара

Классическая теория удара, основывающаяся главным образом на законах сохранения импульса и энергии, позволяет однозначно определить конечные скорости тел. Так как предполагается, что все элементы каждого тела жестко связаны и будут мгновенно испытывать одинаковые изменения движения, являющиеся результатом удара.

В действительности возмущение, порожденное в точке соударения, распространяется в телах с конечной скоростью, и его отражение от граничных поверхностей вызывает колебания и вибрации в телах. Таким образом, все сечения каждого тела при соударении одновременно не подвергаются одинаковому действию сил. Местные быстро изменяющиеся деформации и механические напряжения, вызванные этим возмущением, не могут быть определены методами классической теории, но могут быть исследованы с помощью рассмотрения волнового явления.

Выводы классической теории удара приводят к серьезным ошибкам, когда значительная часть общей энергии обусловливает вибрацию. Этот эффект зависит от соотношения продолжительности удара и периода колебаний, возникающих в телах.

В основе волновой теории удара лежит классическая теория упругости. Уравнения распространения упругих волн получаются в результате совместного рассмотрения трехмерных соотношений между механическими напряжениями и деформациями, условий совместности и уравнений движения.

Соотношения между механическим напряжением и деформацией для однородной изотропной среды записываются следующим образом:

,                                      (1.19)

где – объемное расширение тела;_i и _ij – проекции нормальных и касательных напряжений; _i – относительная деформация растяжения (сжатия); _ij – проекции деформаций сдвига; – постоянная Ляме; E и G – модули упругости и сдвига соответственно.

Уравнения движения могут быть получены из условия равновесия проекций напряжений, действующих на элементарный объем (dx,dy,dz).

При отсутствии объемных сил в элементе со сторонами dx, dy и dz, условие равновесия сил приводит к выражениям:

,                              (1.20)

где  – плотность тела; U_i – проекции перемещения (деформации).

Подстановка (1.19) в (1.20) приводит к уравнению движения в перемещениях:

,                       (1.21)

где – оператор Лапласа.

Решение этих уравнений при заданных начальных и граничных условиях определяет в любой точке тела весь процесс деформирования.

При ударе тел возникает весьма сложное поле напряжений, изменяющихся не только от точки к точке (как при статической нагрузке), но и в данной точке тела со временем. Поле напряжений еще больше усложняется в результате отражения волн от границ тела.

В силу сказанного математическое описание процесса удара в общем виде оказывается настолько сложным, что выходит за рамки возможностей теории упругости. Решение уравнений (1.21) может быть получено лишь для ограниченного числа специальных случаев. В остальных случаях для решения частных прикладных вопросов теории удара приходится применять упрощения и допущения, которые не вели бы одновременно к ошибкам качественного и количественного характера.