- •2.6. Представление синусоидальных функций времени комплексными числами
- •2.7. Способы задания синусоидального тока
- •2.8. Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока
- •2.9. Понятие об активном сопротивлении. Синусоидальный ток в активном сопротивлении
- •2.10. Самоиндукция. Индуктивность. Синусоидальный ток в индуктивности
- •2.11. Синусоидальный ток в емкости
- •2.12. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
- •2.13. Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
- •2.14. Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока.Эквивалентные сопротивления и проводимости
- •2.15. Закон Ома в символической форме для произвольной цепи
2.13. Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
Рассмотрим схему, состоящую из параллельно соединенных активного и реактивных элементов (рис. 2.31, а).
Требуется по известным G, ВL, ВC, U рассчитать токи. Как и прежде, задачу будем решать двумя методами.
1. М е т о д в е к т о р н ы х д и а г р а м м.
Токи ветвей находятся сразу: , , .
Для определения общего тока необходимо построить векторную диаграмму (рис. 2.31, б). Построение начинаем с вектора напряжения, так как оно является общим для всех ветвей. Из векторной диаграммы имеем
или ,
где – полная проводимость цепи, равная
.
Разность индуктивной и емкостной проводимостей представляет собой общую реактивную проводимость цепи .
Рис. 2.31. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма
Векторы токов на диаграмме образуют треугольник токов. Его горизонтальный катет, представляющий проекцию вектора тока на вектор напряжения, называется активной составляющей тока и равен току в активном элементе цепи: (рис. 2.32, а). Проекция вектора тока на направление, перпендикулярное напряжению, – это реактивная составляющая тока. Она равна суммарному току реактивных элементов и определяется как разность длин векторов: (см. рис. 2.31,б и 2.32, а).
Рис. 2.32. Треугольники токов и проводимостей
Разделив все стороны треугольника токов на , получим треугольник проводимостей (рис. 2.32, б), стороны которого связаны следующими соотношениями:
, , , . (2.29)
2. С и м в о л и ч е с к и й м е т о д.
Раньше были получены следующие формулы:
, , .
Подставляя их в уравнение первого закона Кирхгофа, получаем:
или ,
где – комплексная проводимость цепи, равная
Пример 2.12. Для цепи, показанной на рис. 2.33, а, рассчитать токи, угол сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи, построить векторную диаграмму. Числовые значения параметров цепи: В, Ом, мкФ, с-1.
Рис. 2.33. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма
Р е ш е н и е.
А, Ом,
А, А.
Векторная диаграмма приведена на рис. 2.33, б.
Угол сдвига фаз .
Величину общего тока можно найти иначе:
См, См,
См, А.
Пример 2.13. Начертить цепь, векторная диаграмма которой изображена на рис. 2.34, а.
Р е ш е н и е задачи показано на рис. 2.34, б.
Рис. 2.34. Векторная диаграмма и соответствующая ей электрическая цепь
Пример 2.14. Чему равно показание амперметра А на входе цепи в схемах рис. 2.35, если амперметры А1 и А2 во всех случаях показывают соответственно 4 и 3 А?
Рис. 2.35. Измерение тока в электрической цепи
Предлагаем для каждого случая самостоятельно построить векторную диаграмму и убедиться в правильности приведенных ответов: а) 5А, б) 7А, в) 1А.
2.14. Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока.Эквивалентные сопротивления и проводимости
На рис. 2.36 показан пассивный двухполюсник, состоящий из активных и реактивных элементов. Действующие значения напряжения , тока и угол сдвига фаз между ними известны.
Рис.
2.36. Пассивный двухполюсник
Как и раньше, и будем называть активной и реактивной составляющими напряжения. Изображенная в таком виде диаграмма соответствует схеме, показанной на рис. 2.37, б. Действительно, для нее , и . Схема называется последовательной схемой замещения или последовательной эквивалентной схемой пассивного двухполюсника, а ее параметры , и – эквивалентными сопротивлениями двухполюсника.
Рис. 2.37. Векторная диаграмма и соответствующая ей последовательная эквивалентная схема
Треугольник, образованный сторонами , и и подобный треугольнику напряжений, представляет собой треугольник сопротивлений (рис. 2.28, б), для которого справедливы формулы (2.27).
Теперь разложим в е к т о р т о к а на две составляющие – активную , направленную по вектору напряжения, и реактивную , перпендикулярную к нему (рис. 2.38, а). Такой векторной диаграмме соответствует параллельная схема замещения двухполюсника (рис. 2.38, б). Ее параметры , и называются эквивалентными проводимостями. Токи в элементах и мы и представляем как активную и реактивную составляющие общего тока: , . Из треугольника токов (рис. 2.38, а) получается треугольник проводимостей (рис. 2.32, б), стороны которого связаны между собой формулами (2.29).
а) б)
Рис. 2.38. Параллельная эквивалентная схема и ее векторная диаграмма
Получим условия эквивалентности приведенных схем.
Для последовательной цепи , для параллельной , а так как токи и напряжения в обеих схемах одинаковы, то
и , (2.30)
т.е. в любой электрической цепи полная проводимость есть величина, обратная полному сопротивлению.
Из сопоставления формул (2.27) и (2.29) можно записать:
и .
Рассматривая последние выражения совместно с (2.30), можно получить две группы формул:
Формулы перехода от последовательной эквивалентной схемы к параллельной: |
Формулы перехода от параллельной эквивалентной схемы к последовательной: |
(2.31) |
(2.32) |
Обращаем внимание на то, что каждая из проводимостей G и B зависит от обоих сопротивлений – активного и реактивного. В свою очередь, каждое из сопротивлений определяется обеими проводимостями. Соотношения G = 1/R и B = 1/x справедливы только в частном случае, первое – при х = 0, второе – при R = 0.
Следует отметить, что активная и реактивная составляющие напряжения и тока физически не существуют, измерить их нельзя. Они относятся только к соответствующим эквивалентным схемам замещения и находятся расчетом. Более того, проектируя, например, вектор тока на различные напряжения, мы получим для него разные составляющие.
Пример 2.15. Найти общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных активного R = 30 Ом и индуктивного х = 40 Ом сопротивлений (рис. 2.39, а).
Рис. 2.39. Схемы к примерам 2.15–2.17
Р е ш е н и е. Так как в левой ветви реактивного сопротивления нет, то ее проводимость в соответствии с (2.31) равна G = 1/R. Аналогично, во второй ветви B = 1/x. Полная проводимость цепи . В соответствии с (2.30) полное сопротивление цепи
Ом.
Пример 2.16. Рассчитать общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных индуктивности L = 0,478 Гн и емкости С = 31,85 мкФ (рис. 2.39, б). Частота питающего напряжения f = 50 Гц.
Р е ш е н и е. Определяем сопротивления ветвей:
Ом,
Ом.
Так как в ветвях отсутствуют активные сопротивления, то их проводимости соответственно равны BL = 1/xL и BC = 1/xС. Полная эквивалентная проводимость цепи не содержит активной составляющей и равна
.
Полное эквивалентное сопротивление
Ом.
В рассматриваемой цепи активных элементов нет, она носит чисто реактивный характер. Он может быть индуктивным или емкостным. Знак минус в ответе свидетельствует о последнем, т.е. вся цепь может быть заменена конденсатором емкостью
мкФ.
Пример 2.17. Амперметр А, вольтметр V и фазометр , включенные в цепь катушки (рис. 2.39, в), дали следующие показания: U = 220 В, I = 4,4 А, cos = 0,8. Частота питающего напряжения 50 Гц. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения катушки.
Р е ш е н и е. Находим параметры последовательной эквивалентной схемы:
Ом, Ом,
Ом.
Рассчитываем элементы параллельной эквивалентной схемы:
См, См,
См.
После определения эквивалентных сопротивлений эквивалентные проводимости можно было найти иначе, по формулам (2.31):
См, См,
См.
Рис.
2.40. Расчетная схема
В,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
Р е ш е н и е. Определяем полные сопротивления второй и третьей ветвей:
Ом, Ом.
Преобразуем эти ветви в эквивалентные параллельные (рис. 2.41, а).
Рис. 2.41. Преобразования электрической цепи
Их проводимости:
См, См,
См, См.
Суммируем активные и реактивные проводимости параллельных ветвей: См, См (см. рис. 2.41, б).
Определяем эквивалентные сопротивления участка (рис. 2.41, в):
Ом, Ом,
Ом,
и полное сопротивление цепи:
Ом.
Ток на входе цепи I1 = U/z = 220/41,53 = 5,297 A.
Напряжение на участке Uab= I1zab= 119,7 В.
Токи второй и третьей ветвей:
А, А.
Еще раз напоминаем, что для численных значений токов и напряжений законы Кирхгофа неприменимы: .