1.5. Метод эквивалентного генератора

Этот метод основан на сформулированной выше теореме (см. подразд. 1.4) и применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать ток в какой-либо одной ветви при нескольких значениях ее параметров (сопротивления и ЭДС) и неизменных параметрах всей остальной цепи.

Сущность метода заключается в следующем. Вся цепь относительно зажимов интересующей нас ветви представляется как активный двухполюсник, который заменяется эквивалентным генератором, к зажимам которого подключается интересующая нас ветвь. В итоге получается простая неразветвленная цепь, ток в которой определяется по закону Ома.

ЭДС Е_Э эквивалентного генератора и его внутреннее сопротивление R_Э находятся из режимов холостого хода и короткого замыкания двухполюсника.

Порядок решения задачи этим методом рассмотрим на конкретном числовом примере.

Пример 1.5. В цепи, показанной на рис. 1.20, а, требуется рассчитать ток I₃ при шести различных значениях сопротивления R₃ и по результатам расчета построить график зависимости I₃(R₃).

Числовые значения параметров цепи: Е₁ = 225 В; Е₃ = 30 В; R₁ = 3 Ом; R₂ = 6 Ом.

а) б)

Рис. 1.20. Схема решения задачи

Р е ш е н и е. а) Расчет режима холостого хода.

Убираем третью ветвь, оставляя зажимы m и n разомкнутыми (рис. 1.21, а). Напряжение между ними, равное U_X, находится как падение напряжения на сопротивлении R₂:

150 В; 150 В.

б) Расчет режима короткого замыкания. Замыкаем накоротко зажимы m и n (рис. 1.21, б). Ток короткого замыкания 75 А.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора

2 Ом.

Рис. 1.21. Режимы холостого хода (а) и короткого замыкания (б)

Величину R_Э можно найти и другим способом. Оно равно входному сопротивлению двухполюсника при равенстве нулю всех его ЭДС. Если на рис. 1.21, а мысленно закоротить зажимы ЭДС Е₁, то сопротивления R₁ и R₂ окажутся соединенными параллельно, и входное сопротивление цепи относительно зажимов m и n будет равно 2 Ом.

Ток в полученной неразветвленной цепи (рис. 1.20, б) опреде­ля­ет­ся по закону Ома:

(1.13)

Подставляя в последнюю формулу требуемые значения сопротивления R₃, вычисляем ток и строим график (рис. 1.22).

Рис. 1.22. Зависимость тока от сопротивления

Данную задачу целесообразно решать именно методом эквивалентного генератора. Применение другого метода, например метода контурных токов, потребует решать систему уравнений столько раз, сколько значений тока необходимо найти. Здесь же всю цепь мы рассчитываем только два раза, определяя Е_Э и R_Э, а многократно используем лишь одну простую формулу (1.13).

1.6. Линия электропередачи постоянного тока

Если линия электропередачи имеет небольшую длину, при которой можно пренебречь утечкой тока через изоляцию, то ее электрическую схему можно представить в виде последовательного соединения сопротивления линии R_Л, равного суммарному сопротивлению прямого и обратного проводов, и сопротивления нагрузки R_Н (рис. 1.23).

Рис. 1.23. Линия электропередачи постоянного тока

При анализе работы линии нас интересуют, главным образом, три вопроса: напряжение на нагрузке, величина передаваемой мощности и коэффициент полезного действия передачи. Режимы работы линии удобно рассматривать в виде зависимостей различных величин от тока в линии, равного

Падение напряжения в линии U и напряжение на нагрузке U₂ определяются следующими выражениями:

;

Если U₁ и R_Л постоянны, то оба выражения представляют собой линейные функции тока (рис. 1.24). В режиме холостого хода (при I = 0) U = 0, а U₂ = U₁. С ростом тока падение напряжения в линии возрастает, а напряжение на нагрузке уменьшается, и в режиме короткого замыкания (при R_Н = 0) , , 0; все входное напряжение гасится на сопротивлении линии.

Рис. 1.24. Режимы работы линии

Мощность на входе линии линейно зависит от тока: P₁ = U₁I. При холостом ходе она равна нулю, а при коротком замыкании вычисляется по формуле

.

Потери мощности в линии представляют собой квадратичную функцию тока. Ее график – парабола, проходящая через начало координат. При I = 0: P = 0; при I = I_K: , т.е. в режиме короткого замыкания мощность, поступающая в цепь, полностью теряется в линии.

Мощность, поступающая в нагрузку, равна разности мощности в начале линии и мощности, теряемой в проводах:

. (1.14)

Последнее выражение представляет собой уравнение параболы со смещенной вершиной и с обращенными вниз ветвями, проходящими через точки I = 0 и I = I_K.

Мощность нагрузки представляет собой довольно сложную зависимость от сопротивления R_Н:

. (1.15)

При R_Н = 0: Р₂ = 0; при возрастании R_Н мощность Р₂ сначала возрастает, достигает максимального значения и начинает убывать, стремясь к нулю при R_Н   (рис. 1.25).

Выясним, при каком сопротивлении нагрузки передаваемая ей мощность максимальна. Для этого продифференцируем функцию (1.15) по R_Н и приравняем ее к нулю:

0.

Приравняв к нулю числитель производной, получим:

R_H + R_Л – 2R_H = 0,

или R_H = R_Л.

То есть мощность, получаемая нагрузкой, максимальна, когда сопротивление нагрузки равно сопротивлению линии.

Ток, протекающий при этом по линии, равен , т.е. составляет половину тока короткого замыкания, а мощность в конце линии равна

.

Эти же результаты можно получить, исследуя на экстремум зависимость мощности P₂ от тока I (1.14).

Коэффициент полезного действия равен отношению мощностей в начале и конце линии:

.

Он представляет собой линейную функцию тока. При холостом ходе, когда I = 0, он равен единице (нет передачи энергии – нет потерь). При коротком замыкании вся передаваемая мощность теряется в линии, и КПД равен нулю.

Рис. 1.25. Зависимость мощности в конце линии от сопротивления нагрузки

Возможны и другие формулы для определения КПД:

, (1.16)

Из данной формулы следует, что коэффициент полезного действия передачи определяется отношением сопротивлений линии и нагрузки.

При их равенстве, когда нагрузке передается максимальная мощность,  = 0,5 = 50 %. Этот режим, при котором теряется половина передаваемой энергии, на практике, естественно, не пригоден. В реальных линиях при передаче больших мощностей КПД составляет примерно 0,94–0,97. При этом сопротивление нагрузки значительно больше сопротивления линии.

Для анализа режимов электропередачи полезной оказывается еще одна формула. Так как , а , то

. (1.17)

То есть при одной и той же мощности нагрузки Р₂, потери Р пропорциональны сопротивлению линии и обратно пропорциональны квадрату напряжения. Для увеличения коэффициента полезного действия передачи необходимо повышение напряжения и снижение электрического сопротивления проводов линии путем увеличения их сечения и применения материалов с меньшим удельным сопротивлением.

Пример 1.6. Линия электропередачи с проводами марки А-120 длиной l = 1000 км питает нагрузку мощностью Р₂ = 50 МВт. Каким должно быть напряжение в начале линии, чтобы КПД передачи был не ниже 90 %?

Р е ш е н и е. Сопротивление одного километра провода марки А-120 R₀ = 0,27 Ом/км. Суммарное сопротивление прямого и обратного проводов линии составляет R_Л = 2lR₀ = 540 Ом.

Принимая  = 0,9, из формулы (1.17) получаем:

= 4,9310⁵ В = 493 кВ.

Так как , то кВ.

Для выполнения условий задачи напряжение в начале линии должно быть не ниже 548 кВ.