Квантовая монета

Квантовая монета (на примере спина 1/2) как генератор случайных чисел

Опыт ШтернаГерлаха: при измерениях на ось z выбираем пучок со спином +1/2.

Исходный вектор спинового состояния частицы

ψ =c1 1 +c2 0 = 1 ( c1 =1, c2 =0)0 1 0

Напомним основные сведения из теории спина: Оператор спина есть:

r

h v

s

=

σ

,

2

где матрицы Паули есть:

σ

0 1

σ

0

−i

σ

1 0

x

=

y

=

z

=

0

0

1 0

i

−1

Пусть h=1

1

1

s

=

σ

Вектор

ψ =

является

собственным вектором оператора

z ,

z

2

0

отвечающим собственному значению +1/2.

1

Аналогично, вектор

0

является собственным вектором оператора sz

=

σz ,

ψ

=

2

1

отвечающим собственному значению -1/2.

ψ

=

1

1

ψ =

1

1

Состояния

отвечают

соответственно

собственным

2

1

2 −1

значениям +1/2 и -1/2 оператора

s

= 1σ

x

x

2

1

1−i

1

1+i

Состояния

ψ

=

ψ =

отвечают

соответственно

собственным

2

2

1+i

1−i

значениям +1/2 и -1/2 оператора

s

=

1

σ

y

2

y

Оператор проектирования спина на направление, задаваемое единичным

вектором nr, есть:

P(sn =±1/ 2)= 12 (1±σrnr)

1

						1	(1+σ		1	0
Например,		оператор						3	)=		произвольного
						2				выделяет из
									0	0
состояния амплитуду, отвечающую проекции спина +1/2 на ось											z. Аналогично,
	1 (1−σ			0	0
оператор		3	)=
	2			0	выделяет из произвольного состояния амплитуду,
					1

отвечающую проекции спина -1/2 на ось z.

Заметим, что

P(sn =+1/ 2)+P(sn =−1/ 2)=I - единичный оператор (разложение единицы)

Будем задавать nr посредством сферических углов

nr = (nx , ny , nz )= (sinθ cosϕ, sinθ sin ϕ, cosθ)

Вероятности иметь соответственно положительное и отрицательное значение проекции спина на направление n есть

P (nr)= 1		ψ P(s	=+1/ 2)ψ	= 1 ψ1+σrnrψ
+	2	n		2
P (nr)= 1		ψ P(s	=−1/ 2)ψ	= 1 ψ1−σrnrψ
−	2	n		2

В общем случае вектор состояния имеет вид:

ψ =c	1		+c		0	c
						= 1
1		0	2	1		c
						2

Прямой расчет приводит к следующим выражениям для рассматриваемых вероятностей:

P+(nr)=P+(θ,ϕ)=12 [(1+cosθ)c1*c1 +sinθ e−iϕc1*c2 +sinθ eiϕc2*c1 +(1−cosθ)c2*c2 ]

P−(nr)=P−(θ,ϕ)= 12 [(1−cosθ)c1*c1 −sinθ e−iϕc1*c2 −sinθ eiϕc2*c1 +(1+cosθ)c2*c2 ]

Полученные вероятности удовлетворяют следующему очевидному условию:

P+(θ,ϕ)+P−(θ,ϕ)=1

При каждом направлении n = (nx , ny , nz )= (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cosθ ) возникает свое распределениесовокупность взаимнодополнительных

2

распределенийпринцип дополнительности Нильса Бора: «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены однойединственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта».

Операторы проекции спина на различные направления не коммутируют друг с другом:

[sx ,sy ]=isz и т.д.

Некоммутативность наблюдаемых означает, что проекции спина на различные направления не могут быть определены одновременно. Со статистической точки

зрения это означает, что не существует их совместного распределения P(sx ,sy ,sz ) В нашем случае ( c1 =1, c2 =0), поэтому

P	(nr)=P (θ,ϕ)=		1			[(1+cosθ)]=cos2 θ
+	+	2					2
P−	(nr)=P−(θ,ϕ)=	1		[(1−cosθ)]=sin2			θ
		2					2

Статистическое восстановление спинового состояния методом максимального правдоподобия

Пусть, как обычно, ψ = c1 . При измерении на ось z имеем

c2

p =

c

2

≈ m

1−p =

c

2

≈

n−m

1

n ,

2

n

т.е. по измерениям на ось z мы можем приближенно оценить только вероятности

	c		2		c		2
	1		и		2		, но не их относительную фазу

Для полного восстановления состояния нужно проводить взаимнодополнительные измерения- т.е. измерять проекции спина на различные направления в пространстве (при этом однажды измеренный представитель более не измеряется)

Функция правдоподобия дается произведением по всем направлениям, по которым проводились измерения.

L =∏(P+(nr))N+(nr)(P−(nr))N−(nr)

nr

Здесь N+(n) и N−(nr) - число спинов, зарегистрированных соответственно в положительном и отрицательном направлении вектора n . Для восстановления

3

вектора состояния частицы необходимо провести измерения не менее чем в трех некомпланарных (линейно независимых) направлениях.

Полное число измерений есть:

N =∑N(nr)=∑(N+(nr)+N−(nr))
nv	nv

Уравнение правдоподобия представляет собой в рассматриваемом случае систему

из двух уравнений с двумя неизвестными комплексными числами c1 и

1

r

−iϕ

r

−iϕ

N + (rn)

[(1

+cosθ)c1 +sinθe

c2

]+

N − (rn)

[(1

−cosθ)c1 −sinθe

c2 ]

=

N

∑nr

P+ (n)

2

P− (n)

2

1

r

iϕ

r

iϕ

N + (rn)

[ sinθe

c1 + (1 −cosθ)c2 ]+

N− (rn)

[−sinθe

c1 +(1 +cosθ)c2 ]

=

N

∑nr

P+ (n)

2

P− (n)

2

c2 .

c1

c2

Рассматриваемая система является нелинейной, поскольку вероятности

P+(n)и P−(nr)сами зависят от неизвестных амплитуд c1 и c2 .

Эта система может быть решена методом итераций.

Покажем состоятельность получаемой оценки вектора состояния. Состоятельность оценки означает, что подстановка точного вектора состояния в уравнение правдоподобия обратит последнее в тождество (в асимптотическом пределе).

Действительно, при больших объемах наблюдений в силу закона больших чисел
(стремление выборочного среднего к генеральному) имеем:
	N+(n)	→P (nr)		,	N−(n)	→P (nr)
	N(nr)		+		N(nr)		−
Тогда, при больших объемах выборки:
	N+(n)≈N(n)P+(n)
	N−(n)≈N(n)P−(n)
Учитывая,			что	∑N(nr)=N ,			получим, что в асимптотическом пределе система
				v
				n
уравнений правдоподобия обращается в тождество:
	c1 = c1		c2	= c2

Удобное представление для спиновых состояний можно получить на сфере Блоха, которая определяется посредством сферических углов Θ и Φ

4

			Θ
		cos		exp −
	ψ =		2
				Θ
			sin	exp i
				2

iΦ 2

2

Любой точке сфере Блоха соответствует некоторое спиновое квантовое состояние и наоборотлюбому квантовому состоянию можно сопоставить некоторую точку на сфере Блоха.

Замечание: Измерения спина в двух направлениях недостаточно для полного восстановления спинового состояния: например, при измерениях на оси z и x нельзя отличить состояния с s_y=+1/2 и s_y=-1/2. Причина в том, что определение, скажем, косинуса угла еще не определяет сам угол: например, при cosΦ=0 имеем

два различных состояния с Φ=+π2 и Φ=−π2 .

5