Математика / Элементы линейной алгебры

3)

уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y kx b ;

(2.24)

4)

параметрические уравнения прямой:

x

x0

mt

(2.25)

y0

nt,

y

где s(m; n) – направляющий вектор прямой, M0 x0 ; y0

– точка, ле-

жащая на прямой;

5)

каноническое уравнение прямой:

x x0

y y0

;

(2.26)

m

n

6)

уравнение прямой в «отрезках по осям»:

x

y

1;

(2.27)

a

b

7)

уравнение прямой, проходящей через две точки:

x x1

y y1

.

(2.28)

x

2

x

y

2

y

1

1

Тангенс угла между прямыми

y k1x b1 и y k2 x b2 опреде-

ляется по формуле

tg

k2 k1

.

(2.29)

1 k k

2

1

Условие перпендикулярности двух прямых: k1k2 1. Условие параллельности двух прямых: k1 k2 .

Расстояние d от точки M0 x0 ; y0 до прямой Ax By C 0 вычисляется по формуле

d		Ax0	By0	C		.	(2.30)
			A2 B2

Пример 2.19. Для прямой 3x 4 y 12 0 записать ее уравнение в «отрезках по осям».

21

Решение. Преобразуем исходное уравнение прямой: 3x 4 y 12 . Теперь правую и левую части равенства разделим на 12 :

	x				y		1. Получили уравнение прямой, которое соответствует урав-
4				3
нению (2.27).
						Пример 2.20. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки A 2;5										и B 3; 8 .						x 2		y 5
						Решение.				По	формуле			(2.28)	имеем:				, откуда
	x 2							y 5								3 2		8 5
									. Окончательно получим						3x 5 y 31 0 .
5							3
						Пример				2.21.			Доказать, что прямые 2x 3y 1 0 и
6x 4 y 3 0 взаимно перпендикулярны.
						Решение. Приведем уравнения исходных прямых к виду (2.24):
	y 2 x 1 и									y 3 x 3 . Запишем угловые коэффициенты: k										2
					3		3			2			4					1		3
и k			2			3 . Так				как k k		2	2 3 1,		то данные прямые перпендику-
							2			1			3	2

лярны.

3. ПРЕДЕЛЫ

Если каждому натуральному числу n по определенному закону ставится в соответсятвие действительное число an , то говорят, что

задана числовая последовательность an . Например,

1		1	1	,	,	1	, .
		1, ,	3			n
n		2						an , если
		Число	a		называется пределом последовательности

для любого сколь угодно малого числа 0 найдется номер N (зависящий от ), такой, что для всех членов последовательности с номе-

рами n N выполняется неравенство an a . При этом пишут

lim an a . Последовательность, имеющую предел, называют сходя-

n

щейся, в противном случае – расходящейся. Последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой, а последовательность, предел которой равен бесконечности, – бесконечно

22

большой. Например, 1 – бесконечно малая последовательность,n

так как						3		n
		lim 1 0 , а последовательность						является бесконечно
		n n				2
				n
			3		.
большой, так как lim			2
		n
	Для сходящихся последовательностей an									и bn , таких, что
lim a	n	a и lim b b , имеют место следующие теоремы о пределах:
n		n n			lim can ca ;
	lim (an bn ) a b ;
	n				n	a			a
	lim a b ab ;				lim		n			(b 0 n, b 0).
	n n n
					n b				b	n
						n

Число b называется пределом функции y f (x) в точке а, если для любой последовательности xn значений аргумента, сходящейся

кчислу а, соответствующая последовательность значений функции

f (xn ) сходится к числу b.

Из определения предела функции следует, что все теоремы о пределах последовательностей можно обобщить на случай предела функций.

Первым замечательным пределом называют предел вида

lim sin x 1.

x 0 x

Следствия первого замечательного предела:

lim	x		1;
x 0 sin x
lim sin mx			m ;
x 0	x
lim sin mx			m	;
x 0 sin nx			n
lim tg x			1;
x 0	x

lim arctg x 1;

x 0 x

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

23

lim arcsin x

1.

(3.7)

x 0

x

Вторым замечательным пределом называют предел вида

1

x

1

lim(1 x) x

e 2,71828 .

(3.8)

lim 1

x

x

x 0

Следствия второго замечательного предела:

1

kx

e

k

;

(3.9)

lim 1

x

x

m x

e

m

;

(3.10)

lim 1

x

x

lim loga (1 x)

1

;

(3.11)

ln a

x 0

x

lim

ax 1

ln a ;

(3.12)

x

x 0

lim

ex 1

1;

(3.13)

x

x 0

lim ln(1 x)

1.

(3.14)

x 0

x

Функция (x) называется бесконечно малой при x a , ес-

ли lim (x) 0. Если отношение двух бесконечно малых (x) и (x)

x a

стремится к единице при x a , то (x) и (x) называются эквива-

лентными бесконечно малыми при x a , что обозначается так: (x) ~ (x) при x a .

На основании приведенных определений, а также первого и второго замечательных пределов и их следствий, можно записать сле-

дующие соотношения эквивалентности при x 0 :

	sin x ~ x ;				(3.15)
	tg x ~ x ;				(3.16)
	loga (1 x) ~		x	;	(3.17)
		ln a

24

ln(1 x) ~ x ;					(3.18)
n 1 x 1 ~ x n ;					(3.19)
arcsin x ~ x ;					(3.20)
arctg x ~ x ;					(3.21)
ax 1 ~ x ln a ;					(3.22)
ex 1 ~ x ;					(3.23)
(1 x)b 1 ~ bx ;					(3.24)
1 cos x ~		x2		.	(3.25)
	2
Техника вычисления пределов
При нахождении предела lim	f (x)		, когда f (x) и g(x)		– беско-
x a	g(x)

нечно малые (бесконечно большие) функции при x a , принято го-

x a

lim f (x)g(x) и lim( f (x))g ( x) . Отыскание предела в таких случаях на-
x a	x a		f (x) при x a представляет собой неопре-
ворить, что отношение
деленность вида 0			g(x)
			(соответственно,		). Аналогично вводятся
	0
неопределенности вида , 0 ,				а также 1 , 00 и 0 , ко-
торые	встречаются	при нахождении		пределов lim( f (x) g(x)) ,

зывают раскрытием неопределенности.

1. Раскрытие неопределенностей вида	.

К таким неопределенностям приводит, как правило, вычисление

пределов вида lim P(x) , где P(x) и Q(x) – функции целой или дробной

x Q(x)

степени переменной х. Для вычисления пределов такого вида необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на х в наивысшей степени, содержащейся во всем выражении.

Пример 3.1. Вычислить предел:

а) lim	3x	3	2x 4	;	б) lim	(2x 1)(x 3)		.
						x4	2x 4 5x2
x	2x3 5x				x

25

Решение: а) При подстановке предельного значения в функцию

получаем неопределенность																			. Разделим числитель и знаменатель
дроби на x3 :
																									2								4
	3x3						2x 4														3																		3 0 0											3
																									2								3
lim															lim									x								x																				;
			2x3				5x																				5														2	0								2
x																x						2
																												x2
б) Разделим числитель и знаменатель на x2 :
					(2x 1)(x 3)																															2x 1									x 3
																						lim																	x						x
lim
x			x			4	2x 4				5x			2								x											x	4			2x					4						5x			2
																																						x2											x2
					2			1			3											2			1										3
								x	1		x														x		1									x								2 1						2				1
lim														lim																																									.
					x4 2x 4																				2								4									1 5								6				3
x											5					x 1																					5
																									x3							x4
								x4

Если деление на старшую степень представляется затрудни-

тельным, то при вычислении предела вида lim P(x) можно восполь-

x Q(x)

зоваться следующим правилом:

–предел равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя;

–предел равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя;

–предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если степени числителя и знаменателя равны.

	Пример 3.2. Вычислить предел				lim	4		2 3n 3 n4 5n		.
								n n 6	8n
					n
	Решение. Старшая степень числителя k max(1								4 , 4 3, 1) 4 3,
старшая степень знаменателя m max(1						1		, 1) 1 1 . Так как		4 3 1	1	,
						2		2			2
то	4		2 3n 3 n4 5n	0 .
	lim
			n n 6 8n
	x

26

Пример 3.3. Вычислить предел lim

(n 2)!

.

(n 1)! (n 1)!

n

Решение. Необходимо

напомнить,

что

n! 1 2 3... n ,

(n 1)! n!(n 1) .

Тогда

lim

(n 2)!

lim

(n 1)!n(n 1)(n 2)

(n 1)!(n(n 1) 1)

n (n 1)! (n 1)!

n

lim

(n 1)!(n3 3n2

2n)

lim

n3

3n2 2n

.

(n 1)!(n2 n

1)

n2

n 1

n

n

2.Раскрытие неопределенностей вида 0 .

0

2.1. Пределы вида	lim	Pn (x)		,	где Pn (x) и Qm (x)	– многочлены
			(x)
	x a Q
		m

степени, соответственно, n и m. Общий прием в таких случаях – разделить числитель и знаменатель дроби на бином (x – a), после чего опять подставить предельное значение. Если неопределенность сохраняется, процедуру повторить. Во многих случаях удается выделить в числителе и знаменателе критический множитель (x – a), применяя алгебраические преобразования, формулы сокращенного умножения и разложение на множители квадратного трехчлена:

	a2 b2 (a b)(a b) ;
	a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) ;
	(a b)2 a2 2ab b2 ;
	a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) ;
	(a b)2 a2 2ab b2 ;
	ax2 bx c a(x x )(x x				) ,
			1	2
	где x b		D , D b2	4ac.
	1,2	2a
						2x3		3x 10
	Пример 3.4. Вычислить			lim					.
							3x2	4x 4
				x 2

Решение. Разделим числитель на знаменатель в столбик:

27

–	2x3 3x 10			x 2
	2x3 4x2			2x2 4x	5.

4x2 3x 10

– 4x2 8x

5x 10

– 5x 10

0

Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и разложим его на множители: 3x2 4x 4 3(x 23)(x 2) . Тогда

lim

2x3

3x 10

0

lim

(2x2 4x 5)(x 2)

lim

2x2 4x 5

21

.

3x2

4x 4

0

3(x 2 3)( x 2)

3x 2

2

x 2

x 2

x 2

2.2. Пределы вида

lim

P(x)

,

где P(x)

и Q(x) –

функции,

со-

Q(x)

x

a

держащие иррациональность.

Пример 3.5. Вычислить предел lim

3

2x 3

.

x 3

x3

27

Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на выра-

жение, сопряженное к числителю,

а выражение x3 27 разложим на

множители:

lim

3

2x 3

0

lim

(3 2x

3)(3 2x 3)

x3

27

0

(x3 27)(3

2x

3)

x 3

x 3

lim

32

(2x 3)

lim

6 2x

(x 3)(x2

3x 9)(3

2x 3)

2x

3)

x 3

x

3 (x 3)(x2 3x 9)(3

lim

2(x 3)

lim

2

(x 3)(x2 3x 9)(3

2x 3)

(x2

3x 9)(3

2x 3)

x 3

x 3

lim

2

2

1

.

(32 3 3 9)(3

2

3 3)

27 6

x

3

81

2.3. Пределы, содержащие тригонометрические функции, решаются сведением к первому замечательному пределу (3.1) с помощью преобразований тригонометрических выражений, а также деления числителя и знаменателя на х в соответствующей степени.

28

Пример 3.6. Вычислить предел lim

xsin 3x

.

1

x 0

cos 4x

Решение. Воспользуемся формулой

1 cos 2 sin

2

, а затем

2

разделим числитель и знаменатель дроби на x2:

x sin 3x

x sin 3x

0

x sin 3x

1

x

x

lim

lim

lim

1 cos 4x

0

4x

sin2 2x

x 0

x 0

2 sin

2

2 x 0

2

x2

1

sin 3x

1

3

3

=[применим следствие (3.3)]

lim

x

.

2

22

8

2 x 0 sin 2x 2

x

Этот же предел можно вычислить, воспользовавшись эквива-

лентными бесконечно малыми (3.15) и (3.25):

sin 3x ~ 3x

x sin 3x

0

x

3x

3x2

3

lim

lim

lim

4x

2

.

1 cos 4x

0

16x

2 2

8x2

8

x 0

1 cos 4x ~

x 0

x 0

2

Эквивалентные бесконечно малые также удобно применять при нахождении пределов, содержащих логарифмические и показательные функции.

Пример 3.7. Вычислить предел:

	а) lim	arcsin 5x2 arctg2 3x	;	б)	lim	2 x 32 x	.
		ln(2x2 1)				x
	x 0				x 0

Решение: а) Воспользуемся эквивалентными бесконечно малы-

ми (3.18), (3.20), (3.21):

arcsin 5x2 arctg2 3x

arcsin 5x2

~ 5x2

0

2

2

lim

arctg

ln(2x2

1)

0

3x ~ 3x

x 0

2

1) ~ 2x

2

ln(2x

5x2 9x2

14

lim

7;

2x2

2

x 0

б) Для того чтобы воспользоваться формулой (3.22), в числителе дроби добавим и отнимем единицу:

29

	2 x 32 x		0			(2 x 1) (32 x 1)	2 x 1 ~ x ln 2
lim	x		0		lim	x		2 x
x 0					x 0		3		1 ~ 2x ln 3

lim x ln 2 2x ln 3

lim

x(ln 2 2 ln 3) (ln 2 2 ln 3)

x 0

x

x 0

x

(ln 2 ln 32 ) ln 2 32 ln18.

Пример 3.8. Вычислить предел:

а)

lim

sin(x 2)

;

б)

lim tg 3x .

x 2

4 x2

x

x

Решение: а) Так как sin(x 2) 0 при x 2, то можно приме-

нить формулу (3.15):

sin(x

2)

0

sin(x 2) ~ x

2 lim

x 2

lim

4 x2

0

(2 x)(2

x)

x 2

x 2

lim

1

1 ;

2 x

x 2

4

б)

При подстановке

x получаем

неопределенность

0

0

.

Сделаем замену t x . Тогда x t ,

причем t 0 при x .

lim

tg 3x

0

lim

tg 3( t)

lim

tg (3 3t)

lim

tg ( 3t)

x

0

t

t

t

x

t 0

t 0

t

0

tg ( 3t) ~ 3t

lim

3t

3.

0

t

при t

t 0

3. Раскрытие неопределенностей вида .

Пример 3.9. Вычислить предел

lim x2

1

x2

x .

x

Решение. Имеем неопределенность . Умножим и разде-

лим выражение на сопряженный множитель

(

x2 1

x2

x).

Получим:

lim

x2 1

x2 x

lim

x2 1

x2 x

x2 1

x2 x

x

x

x2 1

x2 x

x2 1 (x2 x)

x 1

lim

lim

x2 1

x2 x

x2

1

x2 x

x

x

30