Математика / Элементы линейной алгебры

Точка, отделяющая промежутки выпуклости и вогнутости кривой друг от друга, называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба: если при x x0 вторая производная функции f (x) не существует или равна

нулю и при переходе через x x0 вторая производная f (x) меняет знак, то точка с абсциссой x0 есть точка перегиба графика функции f (x) .

Пример 4.8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции y x6 6x5 7,5x4 3x .

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

y x6 6x5 7,5x4				6x5 30x4	30x3
			3x			3
30x4 120x3 90x2	30x2 x 1 x 3 .

Вторая производная обращается в ноль в точках x1 0 , x2 1 и x3 3. Все эти точки принадлежат области определения функции, f (0) 0 , f (1) 5,5, f (3) 112,5. Исследуем знак второй производной:

знак y	+		+	–	+
y		0	1		3

Отсюда заключаем, что график функции является выпуклым на интервале (1; 3), вогнутым на интервалах ; 0 , (0; 1) и 3; .

Точки (1; 5,5) и (3; 112,5) являются точками перегиба. Точка (0; 0) не является точкой перегиба.

41

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1.

Найти

значение

многочлена

f ( A) , если

f (x) x2 2x 1,

A

3

1

.

2

0

2.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

2x1 x2 3x3 4,

x1 3x2 x3

11,

x

2x

2

2x

7.

1

3

A 1; 2; 1 ,

B 2;1;5 ,

C 1; 2;1 ,

3.

Выяснить,

лежат

ли точки

D 6;1;3 в одной плоскости.

точки A 7; 3; 0

4.

Найти

расстояние от

до

плоскости

5x 3y 2z 13 0 .

5.

Вычислить пределы:

а)

lim

n 1 !

;

б) lim

9 2x 5

;

x2 7x 8

n n! n 1 !

x 8

в) lim

2x sin x

;

г) lim(2x 1)4 x 2 1 .

1 cos 4x

x 0

x 1

6.

Вычислить производную y :

5

x

б) y x2 ln2 x ;

а) y 3 3x 2

;

3 x

x2

г) y sin x arcsin x .

y cos

в)

2

;

7.

Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

3x 2x

6

1

2 ln x

.

а)

lim

;

б) lim x

x

1 x2

x 0

x

8.

Найти точки экстремума функции y 2x2

ln x .

2

1

39

2

Ответы:

1.

. 2. (1; 3; –1). 3. Нет. 4.

. 5. а) –1; б)

;

2

38

9

1

в) 1

; г) e4. 7. а) ln

3

; б) e3

. 8. x

1 точка минимума,

ymin 1 ln 2 .

4

2

2

2

42

Вариант 2

	1. Вычислить AT B 3C , если					2	3		,	3	2	0		,
					A					B
						1	2				4	1
	1	2	0							1
C				.
	2	1	3

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

2x1 x2 2x3 3,x1 x2 2x3 4,4x1 x2 4x3 3.

3. Проверить, будут ли векторы a 3; 2;5 , b 3; 2;1 орто-

гональны.

4. Составить

уравнение плоскости,

проходящей через

точку

M0 3; 3; 7

и

параллельной

двум векторам:

a 4;3; 2 и

b 2; 3;5 .

5. Вычислить пределы:

n3 2

n3 n 1 ;

а)

lim

3x3 6x

1

;

б)

lim

7x3 2x

n

x

в)

lim ln(1 6x) ;

г)

lim

2x2 7x 4 .

x 0

sin 7x

x 4

x3 64

6. Вычислить производную y

:

5

x

y sin4 (3x 1) ;

а)

y 2x4 3x3 x

;

б)

в)

y e3x tg 4x;

x4

y sin x

x .

г)

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а)

lim

ln(x 5)

;

б)

lim x 1 x 1 .

x

3 x 3

x 1 0

8. Найти точки экстремума функции y 3

x2 1 2 .

Ответы:

10

6

1

1.

. 2. (1; –3; –1). 3. Нет. 4. 9x 16 y 6z 33 0 .

1

5

11

5. а) 3/7; б) 0; в) 6/7; г) 3/16. 7. а) 0; б) 1. 8. x 0 точка максимума,

x 1 и

x 1 точкиминимума,

ymax 1, ymin 0 .

43

Вариант 3

1. Найти значение многочлена

f ( A) , если f (x) x2 3x 2 ,

1

2

A

.

3

2

2. Решить систему линейных уравнений методом обратной мат-

рицы:

3x1 x2

x3

12,

4x3 6,

x1 2x2

2x3 3.

5x1 x2

3. Даны два вектора a 1; 3; 5 , b 4; 7; 8 . Найти коорди-

наты векторного произведения a b.

4. Составить

уравнение плоскости,

проходящей

через точку

M0 2; 7; 0 перпендикулярно к вектору n 3; 1; 4 .

5. Вычислить пределы:

а)

lim

n 1 3 n 1 3

б)

5n

3

2n 5

2n2 4

;

lim

5n

;

n

n

3

в)

lim

x3

3x2 x 3

;

г)

lim

e3x

1

.

3x2

2x

1

x 1

x 0 arcsin 2x

6. Вычислить производную y :

x

а) y

2x 3 ln 2x 3 ;

б)

y arcsin2

x ;

в) xy e

2

;

x 2 cos

2

t

2 x

y

г)

y 3sin2 t.

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а)

lim x2 e 0,01x ;

б)

lim x1 x .

x

x

8.Найти промежутки монотонности функции y x3 4 .

x2

Ответы: 1.	6		0			. 2.	(0;	–7;	5). 3. (–11;	–28;	–19).
		0	6
							e12 5 ;
4. 3x y 4z 1 0 .		5.	а)	3;		б)		в)	2; г) 3/2. 7.	а) 0;	б) 1.
8. Возрастает на ( ; 0) и (2; ) , убывает на (0; 2) .
						44

Вариант 4

1. Найти обратную матрицу	A 1 , если		1	2
		A			.
			2	3

2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

3x1 3x2 2x3 9,
		5x2	4x3 12,
2x1
	x1	3x2	x3 5.

3.Найти угол между векторами a 3;1;1 и b 1;1;5 .

4.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

A 2; 1; 4 , B 3; 2; 5 , C 0; 1;3 .

5.Вычислить пределы:

x3

x 1 3x 1

а)

x

б)

lim

;

2

lim

1

;

2x

x x

x

4

в)

lim

n2 1

n ;

г)

lim

2x 4

.

n

x 2 arctg (x 2)

6. Вычислить производную y

:

5

4

x

б)

y cos 2x ln x ;

а)

y

35

x2 ;

2x2

x 1

5t

в) y tg

5

(2

3x) ;

г)

x te

5t 1 3.

y

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а)

lim

1 2 sin x

;

б)

lim sin x x .

x 6

cos 3x

x 0

8. Найти

наибольшее и

наименьшее

значения

функции

y x4 2x2 5

на отрезке 2; 2 .

3 7

2 7

3

Ответы:

1.

2 7

.

2. (–1;

–2;

0).

3. arccos

.

11

1 7

4. x 7 y 12z 43 0 .

5. а) –1; б)

0; в) ; г) 2.

7. а)

3 3;

б) 1.

8. fнаиб f (2) f ( 2) 13,

fнаим

f

(1) f ( 1) 4 .

45

						Вариант 5
	1. Найти значение многочлена f ( A) , если						f (x) 3x2 4x 1,
	0	2
A			.
	1
		3
	2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
	8x1 3x2				6x3	4,
		x1 x2 x3 2,
		4x	x	2	3x	5.
		1			3		точках A 1;1; 3 ,
	3.	Вершины				треугольника находятся в

B 5;1; 4 , C 3; 1; 2 . Вычислить его площадь.

4. Составить уравнение прямой, параллельной вектору s 2;5

ипроходящей через точку M0 3; 5 .

5.Вычислить пределы:

а)

lim

3 n 2

3 n 2

;

б)

lim

x 2 2x

;

x3 8

n 3 n 2 3 n 2

x 2

2x 1

3x 1

г)

lim

ex e3x

.

в)

lim

;

2

4

x 2x

x 0 sin x x

6. Вычислить производную y :

2

x

б) y 2x 1 4 x 3 5 ;

4

7

а)

y

3 x 6x

;

x

в)

y ln 2 cos2

x ;

г)

x2

y2

1.

5

7

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) lim 1 cos 5x ;

x

1

x 0 1 cos 3x

б) lim xln(e

1) .

x 0

8. Найти точки экстремума функции y

2x 1

.

x 1 2

7 10

206

x

3

y 5

Ответы: 1.

. 2. (1; 6;

5).

3.

. 4.

.

2

5

5

22

5. а) ; б) –1/48; в)

e15 2 ; г) –2. 7. а) 25

9 ; б) e . 8. x 0 точка мини-

мума, ymin 1.

46

Вариант 6

1. Даны матрицы	3 1		2	,	2		4	,	3 0		1
	A				B				C			.
		4 0				1				4 2	2
			1				1

Найти значение AT B 2CT .

2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

3x1 2x2 4x3 12,3x1 4x2 2x3 6,2x1 x2 x3 9.

3.Вычислить, прикакихзначениях и векторы a i 5 j 3k

иb 2i 2 j k коллинеарны.

4.Найти угол между прямыми x 2 y 3 0 и 2x 3y 5 0.

5.Вычислить пределы:

а)

lim

n(n 5) n ;

б)

lim

x3 3x 2

;

x2 2x 1

n

x 1

в)

lim

tg x

;

n2 1 n4

г)

2

x 2

x 2

lim

n

.

y :

n

6. Вычислить производную

4

x

y arctg 4x ;

а)

y

3x2

x ;

б)

x 4 4

x2

в) y tg5 x3 1 ;

г) y x 1 ln x .

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а)

lim

x

;

б) lim 1 sin x 1 x 1 .

5x

x 1

x 0 ctg

2

8. Найти точки перегиба функции y x4 12x3

48x2

50 .

4

0

Ответы:

1.

2

0

2. (0;

4; 5). 3. 5 ,

6 . 4. arctg

1 .

.

7

3

5

8

e . 8. x 2

5. а) 5/2; б) ; в)

; г) 0. 7. а) 5/2; б)

и x 4 – точки

перегиба.

47

Вариант 7

1. Найти значение многочлена f ( A) , если f (x) x2 x 2,

	4	2
A			.
	0	1
	2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
	3x1 5x2 x3 8,
		3x1 2x2 2x3 15,
		x1 5x2 3x3 4.

3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

a2; 4;3 , b 3; 2; 4 , c 3;1; 2 .

4.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей че-

рез точки M1 7; 2;3 и M2 2; 1;5 .

5.Вычислить пределы:

а)

lim

n6 4

n 4

;

б) lim

x 1

;

n 6 n6 6 n 6

x

1 x2 1

в)

lim ln(1 sin x)

;

г) lim(cos x)1 x sin x .

x 0

arctg 3x

x 0

6. Вычислить производную y

:

y 32 x (3 2x) ;

x

y 1 cos 3x 3 ;

а)

б)

x arccos t

в)

x

y 7 ;

г)

2

1 t .

y

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а)

3

1 2x 1

;

б)

lim

ln x 1 x .

lim

x

2 x x

x 1

8. Найти промежутки монотонности функции y 1 x x2 . 1 x x2

14 8					x 7		y 2		z	3
Ответы: 1.			. 2. (3; –1; –4). 3. 15. 4.								.
	2				9		1		2
0
5. а) ; б) 1/4; в) 1/3; г) e 1 2 . 7. а) 4/9; б) 1.				8. Возрастает на ( ; 1)						и
(1; ) , убываетна ( 1;1) .

48

	Вариант 8
			2	1	3
1. Найти обратную матрицу A 1 , если			7	3	10
		A				.
				6	20
		15
2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
4x1 5x2 2x3 6,
	2x2 5x3 6,
	3x1 x3 13.
3. Даны две точки A 2; 3;1 , B 3;5; 1 . Найти координаты век-

тора AB и координаты точки E – середины отрезка AB .

4. Записать уравнение плоскости 5x 4 y 10z 20 0 в «отрезках по осям».

5. Вычислить пределы:

а)

lim

n4 2n n

;

б) lim

2x 1 3

;

x2 16

2n2 n 9

n

x 4

в)

lim x2 3 4 x 2 ;

г) lim cos 2x cos 3x .

x 2

x

0

x2 sin 3x

6. Вычислить производную y :

5

x

y arctg x ;

а) y 6x3

6x

x

;

б)

x

x2 1

в) y ln3 (2x2 3x) ;

x

1 t 2

г)

2

y t

2 t 2 .

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) lim

x cos x sin x

;

б)

lim

ln 2x 1 ln x .

x 0

x3

x

8. Найти

интервалы

выпуклости

(вогнутости)

функции

y (x 2)e1 x .

0

2

1

Ответы:

1.

10

5

1

–2;

2). 3. AB 1; 8; 2 ,

. 2. (–5;

3

3

1

E 2,5;1; 0 . 4.

x

y

z

1.

5. а) 1/2; б) 1/24; в)

e 16 ; г) 0. 7. а) –1/3;

4

5

2

б) 1. 8. Выпукла на ( ; 4) , вогнута на ( 4; ) .

49

Вариант 9

1.

Найти значение многочлена f ( A) ,

если f (x) x2 4x 6 ,

3

1

A

.

2

0

2.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

3x1 x2 5x3

13,

5x1 x2 x3 9,

3x x

2

3x

3.

1

3

a 2;3;1 ,

b 1; 1;3 ,

3.

Проверить,

будут

ли

векторы

c 1;9; 11 компланарны.

4.

Найти

угол

между

плоскостями 2x 2 y z 4 0

и

6x 3y 2z 5 0 .

5.

Вычислить пределы:

а)

lim

1 2n 3

8n3

;

б)

lim

x 13 2 x 1

;

1 2n 2 4n2

n

x

3

x2 9

в) lim

1

cos x

;

г)

10x 3

5x

e3x

2

lim

10x 1

.

x 0

1

x

6.

Вычислить производную y :

1

x

y arcsin

4 2x ;

а) y e

2 x

2

x

б)

x

2

;

г) x arctg t

в) ln y

y

7 ;

x

y ln(1 t2 ).

7.

Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а)

lim x ln x;

б) lim 1 sin 2x ctg x .

x 0

x 0

8.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения функции

и

y

100 x2

на отрезке 6; 8 .

Ответы:

1.

1

1

2. (–2; –3;

3. Да. 4. arccos

4

.

–2).

.

2

4

21

5. а) 3/2; б) –1/16; в) 1/18; г) e 1 . 7. а) 0; б) e –2. 8. fнаиб f (0) 10 , fнаим f (8) 6 .

50