Математика / Элементы линейной алгебры

1

lim

1 x

1

1 .

1

x 1

1

1

1

1

2

x

x2

4. Неопределенности вида 0

часто удается свести к неопре-

деленностям 0

или

.

0

Пример 3.10. Вычислить предел:

а)

lim arcsin 3x ctg

x

;

б)

lim x sin

1 .

5

x 0

x

x

Решение: а) При подстановке значения x 0 в функцию полу-

чаем

неопределенность

0 .

Воспользуемся

формулой

tg ctg 1. Тогда

x

arcsin 3x

0

arcsin 3x

~ 3x

lim arcsin 3x ctg

lim

x

x

x

x 0

5

x 0

tg

0

tg

~

5

5

5

lim

3x

3 5 15;

x 5

x 0

б) Принимая во внимание, что x 11x , имеем:

sin 1

x ~ 1 x ,

1

0 lim

sin 1 x

0

1 x

lim x sin

1.

1

lim

x

1 x

0

0

x

x

таккак

x

x 1 x

5. Неопределенности вида 1 с помощью преобразований приводятся ко второму замечательному пределу (3.8).

Пример 3.11. Вычислить предел

2x 1

3x 5

lim

.

2x 3

x

2x

1

2x 1

2

Решение. Так как

x

x

1, а

lim

lim

2x

3

2

x 2x 3

x

x

x

lim (3x 5) , то имеем неопределенность (1 ) . Выделим в числи-

x

31

теле выражение, равное знаменателю, и разделим почленно числитель на знаменатель:

2x 1 3x 5

(2x 3) 2 3x 5

2

3x 5

lim

1 lim

lim 1

.

2x 3

2x 3

2x 3

x

x

x

				1			x
Приведем это выражение к виду	lim 1						, чтобы ис-
	x		x
пользовать второй замечательный предел				1	x	e.
	lim 1			x
	x

2 x 3

2(3x 5)

2

3x 5

2

2 x 3

2(3x 5)

2

2 x 3

lim

lim e

lim 1

1

2x

3

2x

x

3

x

x

6 x 10

6

lim

ex

2 x 3

e 2

e 3 .

Для раскрытия неопределенности (1 ) можно также воспользо-

ваться формулой

v( x)

(1

) ex a

.

(3.26)

lim u(x)

u( x)

v( x)

lim

1

x a

Пример 3.12. Вычислить предел lim cos3x 1sin 2 x .

x 0

Решение. Воспользуемся формулой (3.26) и эквивалентными бесконечно малыми (3.15) и (3.25):

lim cos 3x 1 sin

2

lim cos 3x 1

1

x

sin 2 x

1 ex 0

x 0

3x

2

9 x

2

2

cos 3x 1 ~

lim

e

9 2

1

2

ex

x 2

.

x ~ x2

e

9

sin2

Для раскрытия неопределенностей вида (00 ) и ( 0 ) применяют правило Лопиталя, которое будет рассмотрено ниже.

32

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

4.1. Таблица производных. Правила дифференцирования

Пусть u u(x) , v v(x) – некоторые функции аргумента х. Правила дифференцирования:

	(Cu) Cu ;				(4.1)
			u v ;		(4.2)
u v
		u v uv ;			(4.3)
uv
u			u v uv	.	(4.4)
			v2
v

Таблица производных:

1.c 0 .

2.x 1.

3.u u 1u .

4.eu euu .

5.au au ln a u .

6.ln u u1 u .

7.loga u u ln1 a u .

8.sin u cos u u .

9.cos u sin u u .

	1
10. tg u			u .
		cos2 u

						1
11.	ctg u							u .
				sin2 u
						1
12.	arcsin u								u .
					1 u2
						1
13.	arccosu									u .
							1 u2

14.arctg u 1 1u2 u .

15.arcctg u 1 1u2 u .

16.ch u sh u u .

17.sh u ch u u .

			1
18.	th u					u .
				ch2u
			1
19.	cth u						u .
					sh2u

33

Пример 4.1. Найти производные функций:

	а) y 2x4 5x	2		4		3x2	;	б)	y x2 1 arctg x ;
		3		x3		x
										ln(x2 1)
	в) y sin3 2x ;							г)	y		.
										x2

Решение: а) Преобразуем функцию, введя дробные и отрицательные показатели степени, а затем применим формулы (4.1) и (4.2), а также равенства (1–3) таблицы производных:

			4		2	4x	3		3 2				3			0 4 3 x	4			3	1 2
		2x		5x				3x			8x			5				3
	y				3															2	x
								8x3 5				12			9	x ;
												x4			2

б) Используем таблицу производных и формулу (4.3):

y

x

1 arctg x

x

1 arctg x x

1 arctg x

2

2

2

2x arctg x x2

1

1

2x arctg x 1;

1 x2

в) y sin

3

3

2

2x sin 2x

3 sin 2x sin 2x

3sin

2

3sin

2

2x cos 2x 2 6 sin

2

2x cos 2x .

2x cos 2x 2x

Здесь сначала взята производная степенной функции с основанием sin 2x , затем производная синуса и на последнем этапе производная его аргумента. Нет необходимости расписывать все эти действия подробно, результат можно записать сразу, т. е.

y 3sin2 2x cos 2x 2 .

Здесь фигурными скобками выделены указанные производные; г) Воспользуемся формулой (4.4):

	ln(x2
y		1) x2 ln(x2	1) x2
		x2 2

34

1

2x x2

ln(x

2 1)2x

2x3

2x ln(x2

1)

x2

1

x2

1

x4

x4

2

2 ln(x2 1)

.

x(x2

1)

x3

Логарифмическое дифференцирование. Производные неявных функций и функций, заданных параметрически

Логарифмическое дифференцирование заключается в том, что сначала данную функцию логарифмируют, а затем уже приступают к дифференцированию. Оно используется при нахождении производ-

ной показательно-степенной функции y u(x)v( x) . Его также целесо-

образно применять, когда заданная функция содержит операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. При этом используются свойства логарифмов:

ln uv ln u ln v;	ln u	ln u ln v;	ln uv v ln u .
	v

Пример 4.2. Найти производную функции y cos x sin x .

Решение

1. Логарифмируем данную функцию по основанию e : ln y ln cos x sin x .

2. Воспользовавшисьсвойствомлогарифма ln uv v ln u , получим: ln y sin x ln cos x .

3. Дифференцируем обе части этого равенства по x , учитывая, что y есть функция аргумента x , и обращая внимание на правую

часть равенства, где записано произведение двух функций: 1y y cos x ln cos x sin x cos1 x ( sin x) .

y cos x ln cos x sin x tg x . y

35

4. Умножим обе части последнего равенства на y и, учитывая, что y cos x sin x , получаем:

y cos x sin x cos x ln(cos x) sin x tg x .

Если зависимость между переменными x и y задана уравнением F(x, y) Ф(x, y) , то говорят, что функция y(x) задана неявно. Для

нахождения производной y		такой функции дифференцируют обе
	x	x и получают уравнение относитель-
части данного уравнения по
ноy	. Затем из этого уравнения находятy .
x		x
	Пример 4.3. Найти производную y		неявной функции, задан-
		x

ной уравнением x3 y3 2x2 y 1.

Решение

1. Дифференцируем обе части уравнения по переменной x , счи-

тая y функцией аргумента x (тогда x 1, а y y ). Получим:

x

3x2 1 3y2 y		2 2xy x2 y	0 .
	x	x
2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Затем пе-
ренесем слагаемые, содержащие			y , в левую сторону и вынесем y за
скобки:			x						x
							4xy 3x2
3y2 2x	2 y	4xy 3x2 . Отсюда y						.
	x				x		3y2 2x2
Функция y(x) является заданной параметрически, если x и y
заданы как функции параметра t:
x x(t)	.
y y(t)									xt 0 , то
Если x(t) и		y(t) – дифференцируемые функции и
производная y может быть найдена по формуле
	x
		y		yt (t)	.				(4.5)
		x		xt (t)

Пример 4.4. Найти производную

		t
метрически	x arctg e
	y e t .

Решение. Найдем xt и yt :

y функции, заданной пара-

x

36

x			1	et	et	,
			et 2
t	1				1 e2t

yt e t 1 e t .

Воспользовавшись формулой (4.5), получаем:

y	e t :			et	e t (1 e2t ) e t et		e 2t 1.
x		1		e2t	et	et

4.2. Правило Лопиталя

Пусть f (x) и g(x) – дифференцируемые функции. Если f (x) и g(x) являются бесконечно большими или бесконечно малыми при x a , тогда

lim	f (x)	lim	f (x)	(4.6)
x a g(x)		x a g (x)

при условии, что предел отношения производных существует. Когда отношение производных приводит снова к неопределен-

ности вида		0		или			, то правило Лопиталя применяют к этому
		0

отношению еще раз. Перед его повторным применением рекоменду-

ется произвести все допустимые упрощения.

Пример 4.5. Вычислить пределы:

а) lim

ln(cos mx)

;

1

1

б) lim

;

x

0

ln(cos nx)

x

x 0 sh x

в)

lim

0

ln x ln(x 1) ;

г) lim x2

1 1 x .

x 1

x

Решение:

ln(cos mx)

0

1

( sin mx)m

ln(cos mx)

cos mx

а) lim

lim

lim

x 0

x 0

1

x 0 ln(cos nx)

0

ln(cos nx)

( sin nx)n

cos nx

m

lim

tg mx

0

tg mx ~ mx

m

lim

mx

m2

n

tg nx

0

n

nx

n

2 ;

x 0

tg nx

~ nx

x 0

37

б) Имеем неопределенность вида , которую, приведя

разность к общему знаменателю, сведем к неопределенности

0

и

воспользуемся правилом Лопиталя дважды:

0

1

1

x sh x

1 ch x

0

lim

lim

lim

x

x 0 x sh x

x 0 sh x x ch x

0

x 0 sh x

			sh x
lim	1 ch x	lim		0	0 ;
		x 0 ch x ch x x sh x 2
x 0 sh x x ch x

в) При подстановке значения x 1 в функцию получаем неопределенность вида 0 , которую можно свести к неопределенности

0

или

с помощью алгебраических преобразований,

а затем

0

применить правило Лопиталя:

ln(x 1)

1

ln x ln(x 1)

x 1

lim

lim

lim

1

x 1 0

x

1 0 ln x 1

x 1 0

2

ln x

x

x ln2 x

0

x ln2

ln

2

x x 2 ln x

1

x

x

lim

lim

lim

0 ;

x 1

x 1 0

0

x 1

x 1 0

1

0 x 1

г) Имеем неопределенность вида 0 , которую можно свести к

неопределенности 0 с помощью тождества uv

ev ln u :

lim x2 1 1 x

1

2

1

lim

ln x 2 1

x .

lim e x ln x

ex

x

x

Здесь знак предела и знак функции поменяли местами на осно-

вании непрерывности показательной функции.

Вычислим:

1

ln x2

1

2x

2x

2

x

2

1

lim

x

lim

lim

0 .

1

x

1

x x2

x 2x

Таким образом, lim x2

1 1 x e0

1.

x

Аналогичнымобразомраскрываютсянеопределенности 00 и 1 .

38

4.3. Приложение производной к исследованию функций

Монотонность и локальные экстремумы функции

Монотонной на интервале (a; b) называется функция, которая не возрастает (не убывает) всюду на данном интервале.

Признак монотонности функции: функция f (x) , дифференци-

руемая на интервале (a; b), не убывает (не возрастает) на этом интервале тогда и только тогда, когда f (x) 0 f (x) 0 всюду на этом

интервале.

Необходимое условие экстремума: если функция f (x) имеет локальный экстремум в точке x0 , то ее производная в этой точке рав-

на нулю или не существует.

Внутренние точки области определения функции f (x) , в кото-

рых производная функции равна нулю или не существует, называют-

ся критическими точками.

Первое достаточное условие экстремума: если функция f (x)

дифференцируема в некоторой окрестности критической точки x0 , кроме, может быть, самой точки x0 , а ее производная f (x) при пере-

ходе через эту точку меняят знак с «+» на «–» (с «–» на «+»), то в точке x0 функция имеет локальный максимум (минимум).

Второе достаточное условие экстремума: если в критической

точке	x0 функция							f (x)				дважды			дифференцируема и f (x0 ) 0
f (x0 ) 0 ,			то в этой точке функция имеет локальный максимум
(минимум).
Пример 4.6. Найти интервалы монотонности и точки экстрему-
ма функции y					x		3	x2 .
				3
Решение. Вычислим производную:
	x								1		2			1		2			3 x	2
				2 3								1 3
y			x									x									.
									3		3			3		33	x		33	x
	3
Найдем критические точки, приравняв к нулю числитель и зна-
менатель:
3	x 2 0 x							8,
3	x 0 x2						1
							0 .

Обе эти точки являются критическими, так как являются внутренними точками области определения функции.

39

Определим знак производной на каждом из интервалов ( ; 0) , (0; 8) и (8; ) :

знак y	+		–	+
y		0	8
Функция возрастает на интервалах ( ; 0)				и (8; ) и убывает

на интервале (0; 8) . При переходе через точку x 0 производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, в этой точке достигается ло-

кальный максимум,		ymax	0 . При переходе через точку x 8 произ-
водная меняет знак с «–» на «+», значит, x 8 – точка минимума,
ymin 8 3 82	8	4	4 .
3	3		3

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x)

на отрезке [a; b], на котором она непрерывна, надо: найти критические точки, принадлежашие интервалу (a; b), и вычислить значения функции в этих точках; вычислить значения функции в граничных точках отрезка, т. е. f (a) и f (b) ; из всех полученных значений вы-

брать наименьшее и наибольшее.

Пример 4.7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x5 5x4 5x3 1 на отрезке [1; 2].

Решение. Вычислим производную функции и найдем критические точки.

y 5x4 20x3 15x2 5x2 (x2 4x 3) .

	Производная обращается в ноль в точках x1 0 , x2 1 и x3 3,
но x3	1; 2 . Следовательно, вычисляем значение функции в кри-
тических точках x1 0 , x2 1, а также на концах отрезка. Получим:
	f (0) 1,	f (1) 1 5 5 1 2 ,	f ( 1) 1 5 5 1 10 ,

f (2) 32 5 16 5 8 1 7 . Таким образом, в точке x 1 функция принимает наибольшее значение fнаиб f (1) 2 , а в точке x 1 она принимает наименьшее значение fнаим f ( 1) 10 .

Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба

Кривая выпукла (вогнута) на интервале (a; b), если все точки кривой лежат ниже (выше) любой ее касательной на этом интервале.

Условие выпуклости (вогнутости): если функция f (x) на интер-

вале (a; b) дважды дифференцируема и f (x) 0 ( f (x) 0) всюду на этом интервале, то график функции выпуклый (вогнутый) на (a; b).

40