Математика АВАКЯН / posobie1

S

8.16

8.10 D - треугольник АВС с вершинами А(-2;-2); В(1;2); С(6;2).

8.11

D:

x2 y2 1;

x2 y2 2; .

Задание 8.4. Вычислить f x, y dxdy , если

D

8.12

D: 0 y ;

0 x sin y

f x, y x y ;

8.13 : = 4 + 6, = 1

− 1, = −1

,

= + 2 ;

2

8.14

D - треугольник с вершинами 0,0

, 10,1

, 1,1

f x, y

xy y2 ;

y

f x, y e x y

8.15

D:

x

; y x

Задание 8.5. Вычислить двойной интеграл по указанной области: sin 2 d d ; S определена неравенствами

4 2; 3 5.

8.17 2 sin d d ; S - ограничена линиями:

S

1; 2 cos , полярной осью и расположена выше этой оси.

8.18		cos , где	- круговой сектор, ограниченный линиями
= , = 0, = .
		2
8.19	3 sin d d ; S - область ограничена полярной осью, линией
	S

1 cos и расположенная выше полярной оси.

Задания 8.6. Переходя к полярным координатам вычислить интегралы:

		x2 y2		S: x2 y2	2ax .
8.20			dxdy;

S

8.21 xydxdy; – ограничена линиями

S

150

y x, y		3		x, x2 y2 ax; x2 y2 bx ,						> .
8.22	a2 x2 y2 dxdy;								S ограничена лемнискатой:
S
x2 y2 2 a2 x2 y2 .
Задание 8.7.			Вычислить площадь плоской области D, ограниченной
заданными линиями:
	y								x 4 .
8.23 D:			x		; y 2		x;
8.24 D:	y2 10x 25;						y2		6x 9
8.25 D :x2 y2			4;y 2x x2 ;(x 0, y 0)

.8.26 D :y xa3 ;y xb3 ; 0 a b ,y2 cx,y2 dx 0 c d .

Задание 8.8. С помощью двойных интегралов вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями:

8.27: 2 + 2 = 2 ; 2 + 2 = 2 .

8.28: 2 + 2 2 = 8 2 − 2 .

8.29: = 2 − cos ; = 2 (вне кардиоиды).

8.30: 2 + 2 3 = 16 4

8.31Задание 8.9. Вычислить массу плоской фигуры D, поверхностная плотность которой равна :

8.31 D:	x y 1;	x y 2;		2x y 0;		4x y 0;	x, y 1.
8.32 D:	x2 y2 9;		x2 y2	16;	x 0;	y 0;	xy

151

IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение 9.1. Дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение, которое содержит независимую переменную, искомую функцию и ее производные вплоть до – порядка.

Если искомая функция - функция одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если искомая функция зависит от нескольких переменных, и в уравнение входят частные производные, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

		(n)	) 0	(9.1)
(x, y, y , y , , y

Обыкновенное уравнение первого порядка имеет вид:

(x, y, y ) 0 , y f (x, y) или dydx f (x, y) .

Функция (x) называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке (x) и (x) в уравнение оно обращается в тождество относительно x . Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования

дифференциального уравнения.				В простейшем			случае	рассмотрим
уравнения
y f (x) или	dy		f (x)	или	dy f (x)dx dF(x) ,
	dx
где F (x) - одна из первообразных f (x) , тогда
y F(x) C f (x)dx C ,
где C – произвольная постоянная. Таким						образом,			решением
дифференциального уравнения является семейство кривых								y (x,C) .
Решение дифференциального				уравнения,		полученное			в виде:
y (x,C) , называется			общим		решением		дифференциального
уравнения.
Решение дифференциального уравнения, полученное в виде:									(x, y) C ,
называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Придавая C различные численные значения,						мы будем			получать
различные частные решения дифференциального уравнения.

152

§ 9.1. Уравнение с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

	dy	g(x) f ( y) ,	(9.2)
	dx

Дифференциальное уравнение (9.2) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения (9.2) на f ( y) и умножив на dx , получим уравнение с разделенными переменными:

	dy	g(x)dx .	(9.3)
	f ( y)

Воспользовавшись свойствами дифференциала первого порядка, можно

записать

dF ( y)	dy	, dG(x) g(x)dx dF dG F( y) G(x) C	,
	f ( y)
где F ( y) и G(x) - первообразные функций f ( y) и g(x) .
Рассмотрим дифференциальное уравнение, записанное в виде:
		M1(x)N1( y)dx M2 (x)N2 ( y)dy 0 .	(9.4)

Уравнение (9.4) также является уравнением с разделяющимися переменными

Перенесем второе слагаемое в левую часть равенства. Разделим обе

части равенства

на N1( y)M2 (x) .

Получим уравнение

с разделенными

переменными:

M1(x)

dx

N2 ( y)

dy .

(9.5)

M

2 (x)

N1( y)

Проинтегрировав правую часть уравнения (9.5) по ,

а левую – по ,

получаем

1( ) =

2( )

(9.6)

( )

( )

2

1

Пример 9.1. Решить дифференциальное уравнение

dy

y

,

(x 0, y 0)

dx

x

Решение: Разделим переменные

dy

dx

и вычислим интегралы от

y

x

левой и правой частей уравнения

dy

dx

. Получим

следующее

y

x

равенство:

ln

ln

,

C

C

или xy C .

ln

y

x

C

ln

y

ln

y

x

x

Ответ: xy C .

153

§ 9.2. Однородные уравнения

Определение 9.2. Функция f (x, y) называется однородной порядка n , если при любом выполняется условие:

	f ( x, y) n f (x, y) .		(9.7)
	Определение 9.3. Дифференциальное уравнение вида	dy	f (x, y)
		dx

называется

однородным, если функция f (x, y) , стоящая в правой части равенства является однородной функцией нулевого порядка.

Для решения однородных уравнений применяют следующий метод. Сделаем замену переменной

u	y			dy
	x , y ux ,					u .
				dx	u x		(9.8)
Тогда уравнение (9.7) примет вид:
			u f (x,ux) .				(9.9)
	u x
Учитывая, что f (x, y) f (x, y) , получим				f (x,ux) f (1,u) . Таким образом,

уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

du

x f (1,u) u .

(9.10)

dx

Решая его, получим:

du

dx

du

dx

du

ln

x

C .

f (1,u) u x

f (u)

x

f (u)

1

1

Пример 9.2. Решить дифференциальное уравнение

(2x y)dx (x 2y)dy 0 .

Решение: Преобразуем заданное уравнение:

(2x y)dx (x 2y)dy

dy

2x y

.

dx

x 2 y

y

dy

Сделаем замену (1.8):

u

y ux

u x

u .

x

dx

Тогда

2x ux

2 u

2 u u 2u 2

u x u

u x

u u x

,

x 2ux

1 2u

1 2u

du

x

2 2u 2u 2

.

Получили

уравнение

с

разделяющимися

dx

1 2u

(2u 1)du

переменными. Разделяя переменные, находим

dx

.

2(u 2

u 1)

x

154

Проинтегрируем полученное уравнение

			(2u 1)du			2
			2(u 2 u 1) (u u 1)										2u		1
		1		d (u 2 u 1)			1	ln		u 2	u 1				.
		2		u 2 u 1			2

dxx ln x ln C .

Таким образом, получаем:

12 ln u 2 u 1 ln x ln C .

Умножим обе части полученного равенства на 2 и, учитывая произвольность константы C , имеем:

ln u 2 u 1 2 ln x ln C , ln u 2 u 1 ln x2 ln C , ln x2u 2 x2u x2 ln C ,

x2u 2 x2u x2 C .

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получаем: y 2 xy x2 C .

Ответ: y 2 xy x2 C .

§ 9.3. Уравнения, приводящиеся к однородным

Уравнения, приводящиеся к однородным, имеют следующий вид:

dy		ax by c
		f		.	(9.11)
dx
		mx ny k

Для приведения уравнения переменные

Тогда

ax1 a by1 b c
mx	1	m ny n k
		1

Потребуем, чтобы

(9.11)				к однородному введем новые
	x x1			,		(9.12)
		y1		.
	y
	ax1 by1 a b c
					.
	mx	1	ny m n k
				1

155

a b c 0,
	(9.13)
m n k 0.

Определитель системы (9.13)		=			a	b	.
					m	n
1. Если 0 , система (9.13)			имеет единственное решение. В							этом
случае уравнение (9.11) превращается в однородное уравнение:
	dy1							by1
					ax1
				f				ny1	.	(9.14)
	dx1				mx1

2. Если 0, то an bm или

a

b

a m, b n .

m

n

Тогда ax by c (mx ny) c . Введем новую переменную

z mx ny.

(9.15)

При этом

z m ny и уравнение (9.11) превращается в уравнение с

разделяющимися переменными:

1

z'

m

z c

f

.

(9.16)

n

n

z k

Пример 9.3. Решить дифференциальное уравнение y

x 2 y 1

3x y 4 .

Решение: введем новые переменные

x x1 ,

x 2 y 2 1

2 1 0,

тогда

1

1

,

y1

y y1 ,

3x1 3 y1 4

3 4 0.

Решая систему, найдем и . 1, 1. Уравнение принимает вид

x1 2 y1

,

y1

3x y

1

1

т.е. становится однородным. Сделаем замену y1 ux1 .

u

x1 2ux1

1 2u

u x1

,

сокращая

на

x1 ,

получаем

u x1

u

3x1

ux1

3 u

du

x1

1 2u 3u u 2

3 u

du

dx

1

.

dx

3 u

u2

u

1

x

1

1

Интегрируя, находим

156

	3 u					du (u2 u 1) 2u								1								1		2u 1 5									1				(u2 u 1) du 5											du
																															dx
	u2 u 1																					2		u2 u 1									2							u2 u 1						2		u2 u	1		3
																																																	4		4
											d (u				1		)
1					2		5							2									1						2							5					2u 1
=			ln	u		u 1																				ln		u		u 1										arctg					;
		2						2		(u															2
												1	)2 (			3				)2																		3			3
											2			2

dx1 ln x1 C ; x1

1

5

2u

1

C .

ln

u2 u 1

arctg

ln

x1

2

3

3

Возвращаясь к переменным x1 и y1 , получим.

5

arctg

2 y1

x1

C ,

учитывая

что

x x 1,

y y 1

,

ln

x

y2

x y x2

1

1

1

1

1

3

x1

3

1

1

окончательно получаем:

5

2 y x 3

ln

(x 1)

( y 1)2

(x 1)( y 1) (x 1)2

arctg

C.

3

(x 1) 3

2 y x 3

5

arctg

Ответ: ln

(x 1)

( y 1)2 (x 1)( y 1) (x 1)2

C.

(x 1)

3

3

§ 9.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующий вид:

						(9.17)
				y P(x) y Q(x)
Опишем два способа решения уравнения (9.17).
Первый способ.
Будем искать решение в виде
			y(x) u(x)v(x) .			(9.18)
Тогда y				. Подставим y и y в (9.17) получим
		u (x)v(x)	u(x)v (x)
						(9.19)
			u (x)v(x) u(x)v (x) P(x)u(x)v(x) Q(x)
Сгруппируем слагаемые в (9.19)
					Q(x) .
		u (x)v(x) u(x)(v (x) P(x)v(x))
Выберем функцию v(x) так, чтобы она удовлетворяла уравнению:
						(9.20)
			v (x) P(x)v(x) 0 .

Решаем (9.20) методом разделения переменных

157

d (x)

P(x)v,

d (x)

P(x)dx ln v(x) P(x)dx ln C .

v

dx

В силу произвольности выбора функций u(x) и v(x) ,

можно положить

C 1.

v e P( x)dx .

(9.21)

Поставим (x) в (9.19)

P( x)dx

Q(x)

u

Q(x)e

P( x)dx

u e

, тогда

u Q(x)e P( x)dxdx C .

(9.22)

Зная u(x)

и v(x) , найдем решение.

Q(x)e

P( x)dx

dx C

P( x)dx

y(x)

e

(9.23)

Пример 9.4. Решить дифференциальное уравнение

dy

2

y (x 1)3

dx

x 1

Решение: Сделаем замену (9.18): y uv, y u v uv .

2uv

3

2v

3

u v

uv

(x 1)

, u v u v

(x

1)

x 1

x

1

2

0 ,

dv

2

dv

2dx

ln | v | 2 ln

x 1

Потребуем: v

,

тогда

.

x

1

dx x

1

v

x 1

Отсюда

v (x 1)2 .

Тогда: u (x 1)2 (x 1)3

Окончательно получаем:

		(x 1)	2
Ответ:	y			C (x
		2

или u x 1 u				(x 1)2
						C .
					2
	(x 1)	2
y			C (x 1)2		.
	2

1)2 .

Второй способ. Метод вариации произвольной постоянной.

Если в уравнении (9.17) правая часть равна 0, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка:

	P(x) y 0 .	(9.24)
y

Найдем решение однородного уравнения (9.24):

158

dydx P(x) y .

Разделяя переменные, получаем уравнение dyy P(x)dx . Интегрируя

полученное уравнение, находим: ln y P(x)dx ln | C | или
y Ce P( x)dx .	(9.25)

Для получения решения исходного неоднородного уравнения (9.17)

заменим константу C в (1.25) функцией C(x) :

y C(x)e P( x)dx ,

(9.26)

P( x)dx

P( x)dx

C(x)P(x)

P( x)dx

(C(x)e

C (x)

e

-

e

.

y

)

Поставим y

и y в исходное уравнение (9.17).

e

P( x)dx

- C(x)P(x) e

P( x)dx

+ C(x)P(x)

e

P( x)dx

Q(x) .

C (x)

Получим

P( x)dx

Q(x)

или

P( x)dx

. Решая

полученное

C (x) e

C (x) = e

Q(x)

уравнение, находим C(x) .

P( x)dx

C(x)

Q(x)e

dx C0 .

(9.27)

Подставляя (9.27) в (9.26), окончательно получаем:

		P( x)dx		P( x)dx
y(x)	Q(x)e	dx C0	e		.

Очевидно, что решения (9.23) и (9.28) совпадают.

Пример 9.5. Решить дифференциальное уравнение y

Решение: Решим однородное уравнение

dy

y

0 .

dx

x

dy

=

dx

,

ln

y

ln

x

ln | C | или

y xC(x) ,

тогда

y x

Подставим y и y в исходное уравнение.

C(x)x

C (x)x C(x)

ln x .

x

ln x

C (x)x ln x или dC x dx .

(9.28)

xy ln x .

y C (x)x C(x) .

159