Математика АВАКЯН / posobie1

1

2 1 x 1

y

(x

1 x)

1

2 1 x

2 1 x

Найдем критические точки функции:

21 x 1 0, 1 x 12 , x 34

Точку x 1 мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности x 1.

Найдем вторую производную

			1					1				1				1			1			3				1
y 1										1	x	2								1	x	2 ( 1)
																										x)	1 x
		2 1 x						2								2			2					4(1

		3					1
Находим													2 0
	y
		4					3		1	3
					4 1
							4			4

Таким образом, на основании (4.31) делаем вывод о том, что при x 34

y( 34) 54 - локальный максимум. Ответ: y( 34) 54 - локальный максимум.

§ 4.10. Наибольшее и наименьшее значения функции

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значения непрерывной функции на отрезке ; надо:

Найти все критические точки функции на заданном отрезке и вычислить значения функции в найденных точках;

Вычислить значения функции на концах промежутка

и ;

Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее или наименьшее; оно и будет представлять собой наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке ; .

Пример 4.18

Найти наибольшее и наименьшее значения функции = −3 4 + 6 2 − 1 на отрезке −2 ≤ ≤ 2.

Решение:

1.Найдем критические точки функции, принадлежащие данному

отрезку:

′ = −3 4 + 6 2 − 1 ′ = −12 3 + 12 = −12 2 − 1 = −12 − 1 + 1 = 0

60

1 = 0; 2 = −1; 3 = 1

Все найденные точки принадлежат заданному отрезку.Найде значения заданной функции в найденных точках:

0 = −1; −1 = 2; 1 = 2

2. Найдем значения функции на концах промежутка :

−2 = −25; 2 = −25

3.Среди всех найденных значений у выберем наименьшее и наибольшее:

= −2 = 2 = −25; = −1 = 1 = 2

Ответ: наименьшее значение функции = −25; наибольшее значение- = 2

§ 4.11. Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую y f (x) , являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции f (x) .

Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (a,b) ,

если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Говорят, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (a,b) ,

если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.

Условие выпуклости кривой.

Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е.

	,	(4.33)
f (x) 0

то кривая y f (x) выпукла на этом интервале.

Условие вогнутости кривой.
Если во всех точках интервала (a,b)	вторая производная функции f (x)
положительна, т.е.
	,	(4.34)
f (x) 0

то кривая y f (x) вогнута на этом интервале.

61

Пример 4.19

Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой, заданной уравнением y x3 5x2 3x 5 .

Решение:

Найдем вторую производную заданной функции

y x3 5x2 3x 5 3x2 10x 3 6x 20

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной

6x 20 0 x 103

знак	-		+
y
y	10		x
	3

Таким образом, на основании (4.31) и (4.32) делаем вывод о том, что

			10							10
кривая вогнута на					,	; кривая выпукла на		,				.
			3							3
Ответ: промежуток					выпуклости		кривой	-	,			10		; промежуток
												3
вогнутости-		10	, .
	3

Точка, отделяющая промежутки выпуклости и вогнутости кривой друг от друга называется точкой перегиба.

Достаточное условие точки перегиба:

Пусть	кривая определена уравнением		y f (x) . Если		f		или
						(x0 ) 0
	не существует и при переходе через			x x0 производная f
f (x0 )							(x)
меняет знак , то точка кривой с абсциссой			x x0 есть точка перегиба.
Пример 4.20
Найти	точки перегиба	кривой	,	заданной		уравнением
y x4 12x3 48x2 50.
		Решение:
Найдем вторую производную заданной функции:
		4x3 36x2			72x 96
y x4 12x3 48x2 50				96x 12x2

Найдем значения x , при которых полученная вторая производная обращается в нуль:

12x2 72x 96 0, x1 2; x2 4

62

Исследуем знак второй производной :

	знак	+		+
	y		-
	y	2	4	x

При переходе через полученные точки вторая производная меняет знак, следовательно, точки x1 2; x2 4 являются точками перегиба.

Ответ: точки перегиба функции y x4 12x3 48x2 50- точки с абсциссами x1 2 y(2) 62; x2 4 y(4) 274 .

§ 4.12. Общая схема исследования функций и построения графиков

Общее исследование функции следует проводить по приведенной ниже схеме:

1.Определить область существования функции, область непрерывности, точки разрыва.

2. Найти асимптоты функции.

3. Выяснить вопрос о периодичности.

4. Выяснить вопрос о четности или нечетности.

В случае, если функция окажется четной f ( x) f (x) или нечетной

f ( x) f (x) достаточно

исследовать

функцию

только

при

положительных значениях аргумента. При построении графика следует учесть, что график четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

5.Найти точки пересечения графика функции с осями координат:

сосью абсцисс - точки (x0 ,0) , где x0 -решение уравнения f (x) 0 ;

сосью ординатточки (0, y0 ) , где y0 f (0) .

6. Найти промежутки монотонности и локальные экстремумы. 7.Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. 8. Составить таблицу

x	( , x1 )	x1	(x1 , x2 )	x2			xn	(xn , )
y	Возраста	y(x1 )	Возраст	y(x2 )		Возрастает	y(xn )	Возраста
	ет или		ает или			или убывает,		ет	или
	убывает,		убывает,			Выпукла или		убывает,
	Выпукла		Выпукла			вогнута		Выпукла
	или		или					или
	вогнута		вогнута					вогнута
					63

y		знак y		знак y		знак y		знак y
			y (x1 )		y (x2 )		y (xn )
y		знак y		знак y		знак y		знак y
			y (x1				y (xn )
					y (x2 )

Точки x1, x2 , xn -все найденные в п.6-7 точки, в которых производные

обращаются в нуль или несуществуют.

9.На основании проведенного исследования построить график заданной функции.

Пример 4.21

Провести полное исследование и построить график функции

y x3 .

2(x 1)2

Решение:

Область определения функции

x ( ,1) (1, )

Точка разрыва функции x 1, функция непрерывна на ( ,1) и (1, ) .

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота x 1. Поведение функции в окрестности x 1:

x3

lim

2

2(x 1)

x 1 0

x3

lim

2

2(x 1)

x 1 0

Найдем наклонную асимптоту:

x3

2(x 1)2

x3

1

k lim

lim

2

x

x

2x(x 1)

2

x

x3

1

x3 (x3 2x2 x)

2x2 x

b lim

x

lim

lim

1

2

2

2

2(x 1)

2

2(x 1)

2(x 1)

x

x

x

Прямая y 12 x 1 является наклонной асимптотой заданной кривой. 3. Функция не является периодической.

64

4. Четность функции

		x 3		x3	y(x)
	y( x)
		2 x 1 2		2 x 1 2
					y(x)

Условие четности или нечетности не выполнено. Заданная функция – функция общего вида.

5. Точки пересечения с осями.

y(0) 0

График функции проходит через начало координат.

6. Промежутки монотонности, локальные экстремумы.

x3

1 3x2

(x 1)2 x3 2(x 1)

1 3x3

3x2 2x3

1 x3

3x2

y

4

3

3

2(x 1)

2

2

(x 1)

2

(x 1)

2 (x 1)

Найдем критические точки:

		x3 3x2 0, x 0,x			2	3
			1
		(x 1)3	0, x	1
			3
Исследуем знак производной методом интервалов:
знак		+	-			+
y	+
		0	1			3	x

Найдем значения функции в критических точках:

y(0) 0; y(3)

27

8

7.Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

Найдем вторую производную.

x3

1

x3 3x2

1 (3x2 6x)(x 1)3 (x3 3x2 ) 3(x 1)

2

y

2

3

6

2(x 1)

2

(x 1)

2

(x 1)

3 x3

x2 2x2 2x x3 3x2

3x

2

(x 1)4

(x 1)4

Точки, в которых y

равна нулю или несуществует: x 0, x 1

Исследуем знак второй производной методом интервалов:

65

		знак	-				+
		y			+
			0			1						x
8. Составляем таблицу.
x	( ,0)	0	(0,1)		1	(1,3)	3					(3, )
y		0			-			27
							8
y	+	0	+		-	-	0					+
y	-	0	+		-	+	1					+
							9
		перегиб			разрыв		мин.

y

27

8 y 2x 1

0	1	3	x
	x 1

Задания для cамостоятельного решения

Задания 4. 1. Найти производные функции:

4.1. = 5 4 − 3 3 + 3 2 − 2 + 4									1							3
							4.2.	=		+				+			5.
			2						1− 3
4.3. =				− 3 + 2 .
							4.4.	=					.
							66

		2+2				2								+
	4.5. =								.				4.6. = + .
		3
													4.8. = 2 cos 3 .
	4.7. =					.
					2
	4.9. =							.					4.10. = ln
			1−2
										2	1
													4.12. =		1 + 2				.
	4.11. =										.

Задания 4.2. Найти производные неявных функции:

4.13. 3 + 3 − 6 = 0.

4.14. = + .

4.15. 2 = .

4.16. 2 + 2 = .

4 .17

+ = 0.

4.18

= .

Задания 4.3. Найти производные

функций, заданных парамеирически:

= +1

4.20

=

1 + 2

4.19

= −

−1

=

4.21

=

4.22

= 5

−

=

= 5 −

= 2

4.23

=

1 − 2

=

1 − 2

4.24

=

1−2

Задания 4.4. Найти производные

функций, используя предварительное

логорифмирование:

4.25 = 1

.

4.26 =

.

4.27 =

.

4.28

= .

2

3

4.29 =

−2

+1

.

4.30

=

3

2+1

.

−5

4

2

−1 2

Задания 4.5. Найти производные функций указанного порядка :

4.31. = 4

− 3 2

− 2 + 5, ′′

=?

4.32. = 2 + 1

3, ′′ =?

′′

4.344. y = cos2 ,

′′′ =?

4.33. y = +

1 + 2

,

=?

4.35. =

1 + 2

,

′′

=?

1

4.36. = 1− ,

=?

67

Задания 4.6. Найти производные 2-го порядка yxx′′ функций заданных параметрически:

4.37

= 2

4.38

=

−

= 2

=

1 −

4.39

=

4.40

=

= 2 − 1

=

1 − 2

Задания 4.7. Найти дифференциалы функции:

4.41. =

.

4.42. =

3+1

.

3

−1

4.44. = 2 2 .

4.43. =

1 − 2

.

4.46. = 2

.

4.45. =

.

1−2

Задания 4.8. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

				4.49 31°. 4.505		.
4.47.	80,9	.	4.48.arctg 1,02.		31

Задания 4.9. Найти пределы, используя правило Лопиталя – Бернулли:

4.51. lim

4 − 16

4.52. lim

2 − 1

→2 3 + 5 2 − 6 − 16

→0

4.53. lim

1 −

4.54. lim

3

1 −

→0

→+∞ 3

4.55. lim

− 1

4.56. lim

− −

2

→0

→

4 2

− 1

4.59. lim +

4.58. lim 3 5

→ 2

→0

4.60. lim

1

−

4.61. lim

1

−

1

− 1

→1

→0

4.62 lim

1

4.63. lim

2−

→ 2

→+∞

Задания 4.10. Исследовать на возростание и убывание функции:

4.64. = 3 − 3 + 5			4.63. =
				4.65. =				2 − 9 3
			4.67. = 1 − 2	4.68. =
4.66. = 1 + 2
Задания 4.11. Исследовать на экстремумы функции:
4.69. = 1 − 2 3			4.70. = 23		− 53		+ 1
				5		2
			68

4.71. = 1 − 2 4.72. = 2

Задания 4.12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

4.73. = 3		− 3 2	− 9 + 35	4.74. = 2
на	−4,4			на	1,
4.75. = 3		− 9 2	+ 24 − 10	4.76. = − 2
на	0,3			на	1,

Задания 4.12. Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой, найти точки перегиба.

4.77. = 3 − 3 2 − 9 + 9					4.78. = 3 5 − 5 4 + 4
4.79. = 3 − 5					4.80. = 1 − 2 − 4
			+ 2 7
	1				4.82 = + 2 − 3
4.81 =						5
	+1 3

Задания 4.13. Провести полное исследование и построить график функции:

1−

3

1

3

4

+1

3

4.83. =

4.84. =

4

−

4.85. =

2

5

−2

3

4.87. = 3

4.86. =

1 − 3

4.88. =

− 3

2−1

4.89. = 2 1

4.90. = + 2

4.91. =

V.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§5.1. Понятие функции нескольких переменных

При решении различных практических задач мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда исследуемая величина зависит не от одной, а сразу от нескольких независимых величин. Например, объем цилиндра, как известно, определяемый формулой V R2 H , зависит как от радиуса основания R , так и от высоты H .

69