Математика АВАКЯН / posobie1

x

2

x

4

( 1)

n

x

2n

cos x 1

2!

4!

(2n)!

n 0

Область сходимости:

x ( ; )

4. f (x) ln(1 x)

x2

x3

( 1)n xn

ln(1 x) x

2

3

n

Область сходимости: x ( 1;1] 5. f (x) (1 x)

( 1)n x2n

(2n)!

( 1)n xn

n 1 n

(10.25)

(10.26)

(1 x) 1 x			( 1) x2				( 1)( 2) x3	( 1) ( n 1) xn
			2!				3!		n!
( 1)( 2) ( n 1) xn
n 0					n!
									(10.27)
Область сходимости: x ( 1;1)
1
6. f (x)
	1 x
			1
						1 x	x2 x3 xn xn		(10.28)
			1 x					n 0

Область сходимости: x ( 1;1)

Применение приведенных выше разложений элементарных функций в ряд Маклорена (10.23)-(10.28) позволяют во многих случаях разложить заданную функцию в ряд Маклорена или Тейлора не используя формул (10.21) - (10.22), требующих вычисления n -й производной.

Пример 10.10

Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) 1 . x2 3x 2

Решение:

Преобразуем заданную функцию, разложив ее на простейшие дроби:

f (x)

1

1

1

1

f1

(x) f2

(x)

x2

3x 2

(x 1)(x 2)

x 1

x 2

Разложим f1 (x) и f2 (x)

в ряд Маклорена, используя формулу (10.28):

1

1

f1

(x)

{t x}

t n

( x)n ( 1)n xn

x

1 t

1

n 0

n 0

n 0

1

1

x

1 1

1

n

1

x n

( 1)n

n

f 2

(x)

{t

}

t

x

x 2

x

2

2 1 t

2n 1

2(1

2 n 0

2 n 0

2

n 0

)

2

190

Таким образом, получаем:

n

n

( 1)n

n

n

1

n

n

2n 1 1

n

f (x)

( 1)

x

x

( 1)

(1

)x

( 1)

x

2

n 1

n 1

n 1

n 0

n 0

n 0

2

n 0

2

1

Ответ: Разложение

f (x)

в

ряд

Маклорена

имеет

вид:

x2 3x 2

2

n 1

1

f (x)

( 1)n

xn

n 0

2n 1

Пример 10.11

Разложить функцию f (x) x cos 2x в ряд Тейлора в точке a 2 .

Решение:

Преобразуем заданную функцию таким образом, чтобы применить формулу разложения cos в ряд Маклорена (10.25).

f (x) x cos 2x (x

) cos 2(x

)

2

2

2

2

((x )

) cos(2(x ) ) {t x

}

2

2

2

2

(t ) cos(t ) t cos t cos t

2

2

t

2n

n t

2n

t 2n 1 t 2n

t ( 1)

n

( 1)

( 1)

n 1

2

n 0

(2n)! 2 n 0

(2n)!

n 0

(2n)!

Учитывая сделанную замену t x , окончательно получаем:

1

2

2n 1

2n

f (x) x cos 2x ( 1)n 1

x

x

2

2

2

n 0

(2n)!

Ответ: Разложение функции

f (x) x cos 2x

в ряд Тейлора в точке

a имеет вид:

2

1

2n 1

2n

.

f (x) x cos 2x ( 1)n 1

x

x

2

2

2

n 0

(2n)!

Применение степенных рядов при приближенных вычислениях. Разложение функции в степенной ряд позволяет вычислить ее приближенное значение как сумму первых -членов ряда. Погрешность вычислений всегда можно оценить, используя, например, теорему Лейбница или явное выражение для остатка.

191

Пример 10.12

Вычислить приближенно 3 28 с точностью 0,001. Решение:

Преобразуем заданное выражение:

																		1
							1						1				1
																			3
3 28 3 1 27 3						27(1		) 3		27 3 1					3 1
							27						27				27
Воспользуемся					разложением					в ряд			Маклорена						функции (1 x) -

формулой (10.27). В данном случае 13 , x 271 . Поэтому можем записать

							1			1			1					1
												1				2						n 1			1						n
3							3			3			3					3
	28 3
					n 0											n!									27
				1	2					5			(3n 4)													( 1)n
				3						3												1
3					3											3
													n!									3n			3			4n 1		n!
	n 0																					3	n 0

Полученный ряд является знакопеременным. Остаток ряда, полученный после отбрасывания первых n членов, также является знакопеременным, поэтому, согласно теореме Лейбница его сумма не превосходит первого члена. Таким образом, для вычисления суммы полученного ряда с заданной точностью необходимо взять сумму слагаемых по модулю превышающих заданную точность .

Итак,

	a0	1		3	0,001
		34 0 10!

	a				1					1	0,001
	1				34 1 11!				27
	a2				1				1			0,001
				34 2 12!					4374

Таким образом, для вычисления с заданной точностью достаточно взять два первых члена ряда:

3 28 3 271 8227 3,037

Ответ: 3 28 3,037 с точностью до 0,001.

Степенные ряды внутри их области сходимости могут быть почленно проинтегрированы. Это свойство степенных рядов позволяет приближенно вычислять определенные интегралы,

192

предварительно разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

Пример 10.13

1

ln(1 x2 )

Вычислить приближенно

dx с точностью 0,1.

x

0

Решение:

Разложим подынтегральную функцию

ln(1 x2 )

в ряд Маклорена,

x

используя разложение (10.26):

ln(1 x2 )

1

ln(1

x2 ) {t x2}

1

ln(1

t)

x

x

x

1

( 1)n 1 t n

1

( 1)n 1 (x2 )n

( 1)n 1 x2n 1

n

n

n

x n 1

x n 1

n 1

Подставим полученное разложение в интеграл и поменяем местами операции суммирования и интегрирования:

1

ln(1 x2 )

1

( 1)n 1 x2n 1

( 1)n 1 1

dx

dx

x2n 1dx

x

n

n

0

0 n 1

n 1

0

( 1)n 1 x2n

1

( 1)n 1

n

2n

2n2

n 1

0

n 1

Для вычисления суммы полученного ряда с заданной точностью необходимо взять сумму слагаемых по модулю превышающих заданную точность .

a					1			1			0,01
1		2			12		2
a					1				1		0,01
	2				22
		2					8

a							1				1			0,01
	3						32			18
		2
a							1					1		0,01
	4						42			32
		2
a							1				1			0,01
	5						52			50
		2
a							1					1		0,01
	6						62			72
		2
a							1					1		0,01
	7						72			98
		2

193

a				1			1	0,01
	8			82		128
		2

Таким образом, для вычисления заданного интеграла с заданной точностью 0,1 необходимо взять семь первых членов полученного ряда:

1	ln(1 x2 )				1			1			1				1			1			1		1
			dx																					0,42
0	x				2			8			18				32			50	72				98
	1 ln(1 x2 )
Ответ:								dx 0,42 с точностью до 0,01.
				x
	0
	§ 10.5. Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Определение					10.13. Пусть												задана				периодическая функция				f (x) с
периодом 2 .
На отрезке [ ; ] рассмотрим функциональный ряд
													a0
																an cos nx bn sin nx ,									(10.29)
													2
																n 1

коэффициенты которого определены формулами

a0 1

an 1

bn 1

f (x)dx ,

f (x) cos nxdx,

f (x) sin nxdx.

(10.30)

(10.31)

(10.32)

Функциональный ряд (10.29) называется тригонометрическим рядом Фурье для функции f (x) на отрезке [ ; ] .

Числа a0 , an ,bn , вычисленные по формулам (10.30) - (10.32), называются

коэффициентами Фурье для функции f (x) .

Пример 10.14
Разложить в ряд				Фурье		периодическую							с периодом 2				функцию
f (x) 2x x2 ; x [ ; ] .
Решение:
Найдем коэффициенты Фурье по формулам (10.30)-(10.32).
	1			1		x3				1				3		( )3		2 2
a0			(2x x2 )dx		(x2		)					( 2 ( )2
						3								3		3		3

194

	1					2	du (2
				2	u 2x x				2x)dx
an			(2x x		) cos nxdx				1
					dv cos nxdx			v		sin nx
									n

1

1

2

2

(2x x2 )

n

sin nx

n

(1 x)sin nxdx

n

(1 x)sin nxdx

u 1 x

du dx

(1 x)

1

cos nxdx

1

2

cos nx

1

n

dv

sin nxdx

v

cos nx

n

n

n

2

( 1) cos n ( 1) cos( n)

1

sin nx

2

2 cos n

4

( 1)n 1

n

n

2

n

n

n

2

n

2

1

2

u 2x x

du

(2 2x)dx

bn

(2x x

)sin nxdx

sin nxdx

v

1

dv

cos nx

n

1

1

2

(2x x2 )

cos nx

(1 x) cos nxdx

n

n

1

2

( )

2

2

2 2( ) cos n

(1 x) cos nxdx

n

n

u 1 x

du dx

1

( 1)

n 1

2

1

1

x)

1

4

(1

sin nx

sin nxdx

dv cos nx

v

sin nx

n

n

n

n

n

4

( 1)n 1

n

Подставляя найденные коэффициенты

в (10.29),

получаем искомое

разложение:

			2		1
	f (x)			4 ( 1)n 1 (		cos nx
		3			n2
				n 1

Ответ: Разложение в ряд Фурье функции имеет вид:

			2		1
	f (x)			4 ( 1)n 1 (		cos nx
		3			n2
				n 1

Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Пусть f (x) -четная функция. Тогда

1n sin nx)

f (x) 2x x2 ; x [ ; ]

1n sin nx) .

				1			2
	a0				f (x)dx			f (x)dx	(10.33)
								0
					195

				1			2
	an				f (x) cos nxdx			f (x) cos nxdx	(10.34)
								0

1

bn f (x) sin nxdx 0 (10.35)

Разложение в ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:

		a0
	f (x)		an cos nx
	2		n 1

Пусть f (x) -нечетная функция. Тогда

									1
				a0						f (x)dx 0 ,
						1
				an				f (x) cos nxdx 0 ,
			1									2
	bn			f (x) sin nxdx									f (x) sin nxdx.
													0

(10.36)

(10.37)

(10.38)

(10.39)

Разложение в ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:

f (x) bn sin nx.

(10.40)

n 1

Разложение в ряд Фурье функций, имеющих период 2l .

Пусть задана периодическая функция

f (x) с периодом 2l .

На отрезке [ l;l] ее можно разложить в

тригонометрический ряд

Фурье:

a0

nx

sin nx .

f (x)

an cos

bn

(10.41)

l

2

n 1

l

Коэффициенты Фурье определяются формулами:

a

1

l

f (x)dx ,

(10.42)

0

l l

a

1 l

f (x) cos

nx

dx ,

(10.43)

n

l l

l

b

1 l

f (x) sin

nx

dx.

(10.44)

l l

n

l

Пример 10.15

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2l 2

функцию

f (x) 2x 1; x [ 1;1].

Решение:

Найдем коэффициенты Фурье по формулам (10.42)-(10.44).

196

							1			1												1
a0										(2x 1)dx x2 x															2
					1 1																	1
				1						1																		u 2x 1						du 2dx
										(2x 1) cos nxdx
an																																			1
				1						1														dv cos nx										v					sin	nx
																																			n
											1					1				2		1
(2x 1)													sin nx										sin nxdx
																			n
										n						1							1
																															1
		1				(sin n 3sin( n))																		2				cos nx					0
																							( n)2
n																															1
				1						1																	u 2x 1							du 2dx
										(2x 1) sin nxdx
bn																																			1
				1 1																		dv				sin nx							v						cos	nx
																																			n
												1					1				2			1
(2x 1)														cos nx										cos nxdx
																				n
											n						1							1
				1																						2							1				4 cos n						( 1)n 1
										(cos n 3 cos( n))																			sin nx												4
			n																						( n)2								1						n					n

Подставляя найденные коэффициенты в разложение (10.41), получаем

	( 1)n 1
f (x) 1 4		sin nx
n 1	n

Ответ: Разложение в ряд Фурье функции f (x) 2x 1; x [ 1;1] имеет вид:

	( 1)n 1
f (x) 1 4		sin nx .
n 1	n

Задания для cамостоятельного решения.

ЗАДАНИЕ 10.1. Исследовать на сходимость числовые ряды с положительными членами.

				1
10.1. а)
			n3 2
	n 1
10.2. а)		sin
				2n
	n 1
				1 n
10.3. а)	ln
				n
	n 1

б)

б)

б)

		nn
		(n 1)!
	n 1
		n3
		(n 1)!
	n 1
		(n 1)!
		(2n)!
	n 1

						1
	в)
			(ln(n 1))2n
		n 1
			1			n		n2
	в)
		n 1 5n n					3
									n
	в)		sin
		n 1				5n 1

197

3n 1

1

10.4. а)

б)

5n 7

(2n 1) 3n

n 1 n2

n 1

1

1 7 13 (6n 5)

10.5. а)

б)

n 1 ln(n 1)

n 1

2 3 4 (n 1)

1

52n (n2 1)

10.6. а)

tg

б)

2n

n!

n 1

n 1

в)

в)

в)

					n	n2
					7
n 1	n
						n 1		n
	arctg
n 1						n 2
					n		n
							.
n 1		3n				2

ЗАДАНИЕ 10.2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды.

10.7 ( 1)n 1

n 1

10.8 ( 1)n 1

n 1

n(n 2)

3n

n 1

n 1

1

2n 1

10.10

( 1)n 1

10.11 ( 1)n 1

5n(n 1)

n2 1

n 1

n 1

10.13

( 1)n 1 sin

10.14 ( 1)n 1

2n

n

n 1

8

n 1

n

4

ЗАДАНИЕ 10.3. Найти область сходимости ряда.

					1
	10.9	( 1)n 1
				ln(n 2)
		n 1
	10.12		( 1)n 1			n2 1
						n(n 2)
		n 1
	10.15		( 1)n 1			n 1
						2n
		n 1

(x 1)n

(x 2)2n

n!x n

10.16

( 1)n 1

10.17

10.18

ln n

9n

nn

n 1

n 1

n 1

(x 1)n

n2

2

10.19

10.20

2n (x 3)n

10.21

( 1)n 1

(x 5)n

2n n2

n(n 3)

n 1

n 1

n 1

10.22

( 1)n 1

(x 3)2n

10.23 ( 1)n 1

(x 5)n

10.24

(x 2)2n

n 1

(2n 1)3

n 1

n 5n

n 1 (n 1) ln(n 1)

ЗАДАНИЕ 10.4.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности указанной точки x0 . Найти область сходимости полученного ряда к заданной функции.

10.25	f (x)				1				, x0 2	10.26
			x2		3x
								2
10.27	f (x)		1				, x0	3		10.28
				e x

f (x) sin 2 x, x			1
	0
		2
f (x) ln(x2 4x 5), x					0	2

ЗАДАНИЕ 10.5. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,1		2 x			0,5		2		0,5	cos 3x 1
10.29	e		1	dx	10.30	ln(1 x )		dx	10.31				dx
										x	2
0		x			0	x			0
						198

ЗАДАНИЕ 10.6. Разложите в ряд Фурье в указанном интервале периодическую функцию f (x) .

10.32	= 3,	−,	10.33	= 2 + 3, −,
10.34	= 2,	−1,1	10.35	=	−1, при − 1 ≤ < 0	, −1,1
					1, при 0 ≤ < 1

ОТВЕТЫ

Глава I
		−3		31				12					7		1						−4	−4	3	15
								12					−12		35							, б) −14	6	32 ,
1.1. −32 −2 ; 1.2.																		; 1.3. а)			39
							−13						−33		−4							25	6	58
	51 −11						25					5	29
в)						; 1.4.	13			17			−5 ; 1.5. а)12, б) 69, в)-182; 1.6. а)-2, б)-8;
	32			−2			−1					9	−9
																			−4		6	−4
										1		2	−5			1
1.7. а)1010, б)61; 1.8. а)														, б)					−23		12	7 ,
												1	4
								13								30			5		0	5
				−4		6	−4
		1
в)−			−23			12	7			; 1.9. а)				= 2,					= 1,		= −1, б)система
																		2		3
	20												1
				5		0	5
										= − 12 ;					= 76
несовместна; 1.10. а)														2				; = 0, б) = 5,5 −
							1						23			23			3			1
3,5 ; 2				= 1,5 − 1,5; 3								= ; 1.11. a) 1 = 2								= 3		= 0, б) 1 =
7	; =				9	; = .
11	2			11		3

Глава II

2.2. а) 3 − 4 + 11 = 0, б) − 2 = 0, в) = 1; 2.3. а) 3 − + 11 = 0, б) = −2, в)2 − 5 + 16 = 0, г) = 2; 2.4. а) = − 1,б) =

− 3 + 1 + 2 3 ; 2.5. а) 3 − 4 + 10 = 0, б) 2 + − 4 = 0; 2.6.

а) 2 + 3 − 4 = 0, б) 2 − 3 + 8 = 0; 2.7. а) = 102 , б) = 0,

в) = 0; 2.8. 3						13; 2.9.			2 13
					13				13
Глава III
3.1. 0;			3.2.	5		;			3.3. ∞;			3.4.		1	;	3.5. 3;	3.6.		5			;	3.7.	1		;
													5											9
			7																3
3.8.	2	;	3.9.		2		;		3.10. 0;			3.11. 1;				3.12. 2;	3.13.			1		;	3.14.			3	;
					3														2							4
5
													199