Математика АВАКЯН / posobie1

	Решение
	Проверим выполнение необходимого						признака				сходимости.
	a			2n 3	.
		n
				3n 2
							2n 3
	Вычислим предел n -го члена: liman					lim				2	0 .
							3n 2			3
					n	n

Необходимый признак сходимости не выполняется. Ответ: Ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

1.Первый признак сравнения.

Пусть имеется два ряда с положительными членами

an a1	a2	( A)
n 1
bn b1	b2	(B)
n 1

Если члены ряда (А) не больше соответствующих членов ряда (В) an bn , n n0 , то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда

(А).

Если члены ряда (А) не меньше соответствующих членов ряда (В) an bn , n n0 , то из расходимости ряда (В) следует расходимость

ряда (А).

10. Второй признак сравнения

Пусть имеются два ряда с положительными членами an	и bn .
n 1	n 1

Если предел отношения их n -ых членов lim an конечен и отличен

n bn

от нуля, то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Для применения указанных признаков необходимо заранее знать поведение одного из рядов. Часто в качестве «пробных» используют следующие ряды:

Гармонический ряд :

		1		1		1
			1					.	(10.5)
	n 1 n			2		3

Данный ряд является расходящимся. Ряд Дирихле :

180

			1		1
	1	1				.	(10.6)
	p		p		p
n 1 n		2		3
Ряд Дирихле сходится, когда p 1и расходится при							p 1.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
q n		q q 2		q3			(10.7)
n 1
Данный ряд сходится при 0 q 1				и расходится, когда q 1 .

Пример 10.2

1

Исследовать на сходимость числовой ряд

n 1 ln n

Решение

Воспользуемся первым признаком сравнения. Сравним заданный ряд с гармоническим рядом (10.5). Известно, что ln n n , поэтому

	1		1	, т.е. каждый член заданного ряда больше соответствующего
	ln n		n

члена расходящегося ряда. Таким образом, на основании первого признака сравнения делаем вывод о том, что заданный ряд расходится.

Ответ: Ряд расходится.

Пример 10.3

		1
	Исследовать на сходимость числовой ряд sin		.
	n 1	n2

Решение:

Воспользуемся вторым признаком сравнения. Сравним заданный ряд с

1

1

1

рядом Дирихле (10.6)

, ( p 2)

. Обозначим an sin

;bn

.

2

2

2

n 1 n

n

n

Вычислим предел

sin

1

an

1

sin t

lim

lim

n2

{t

, t 0} lim

1 0,

bn

1

n

2

t

n

n

t 0

n2

На основании второго признака сравнения делаем вывод о том, что

1

заданный ряд ведет себя так же как и ряд . Показатель степени

n 1 n2

181

p 2 1, поэтому ряд Дирихле сходится и, следовательно, заданный

ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3.Признак сходимости Д'Аламбера.

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами an .

n 1

Вычислим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему

lim an 1 l (10.8)

n an

Заданный ряд сходится, если l 1 Заданный ряд расходится, если l 1.

В случае l 1 данный признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример 10.4

nn

Исследовать на сходимость числовой ряд .

n 1 n!

Решение:

Воспользуемся признаком Д'Аламбера.

			nn				(n 1)n 1
a	n			; a	n 1			;
			n!				(n 1)!

(n 1)n 1

a

n 1

(n 1)!

(n 1)n (n 1)n!

(n 1)n

n 1

n

nn

(n 1)n!nn

nn

an

n

n!

		1 n
1			.
		n

Вычислим предел отношения последующего члена к предыдущему, воспользовавшись вторым замечательным пределом:

	a	n 1			1 n
lim			lim 1				e 1
	an
n			n		n

Таким образом, делаем вывод о том, что заданный ряд расходится. Ответ: Ряд расходится.

4. Радикальный признак Коши.

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами an .

n 1

Если для ряда с положительными членами

182

limn an l ,			(10.9)
n
то
заданный ряд сходится, если l 1
заданный ряд расходится, если l 1.

В случае l 1 данный признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример 10.5

2n 4

2n

Исследовать на сходимость числовой ряд

.

n 1

3n 5

Решение:

Воспользуемся радикальным признаком Коши.

2n 4

2n

2n 4

2n

an

;

limn

an

limn

3n

5

n

n

3n 5

2n 4 2

2

2

4

lim

1

3n

9

n

5

3

Таким образом, на основании радикального признака Коши, делаем вывод о том, что заданный ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.

5. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда an положительны и не возрастают. Рассмотрим
	n 1
непрерывную убывающую функцию f (x) , такую что f (n) an .
Тогда несобственный интеграл f (x)dx и числовой ряд an ведут
		1				n 1
себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно
расходятся.
Пример 10.6
					1
Исследовать на сходимость числовой ряд							.
			n 1 (n 1) ln( n			1)
Решение:
Воспользуемся интегральным признаком Коши.
		1
Рассмотрим	функцию	f (x)			и		вычислим
			(x 1) ln( x 1)

несобственный интеграл

183

	dx	b	dx		b	d ln( x 1)
		lim		lim
	(x 1) ln( x 1)		(x 1) ln( x 1)				ln( x 1)
1		b 1		b 1
					ln(b 1)			dt
{ln( x 1) t, tн ln 2, tв ln( b 1)} lim
								t
				b	ln2
limln t |lnln(2b 1) lim(ln ln( b 1) ln ln 2)
	b	b

Несобственный интеграл расходится, следовательно, и заданный ряд расходится.

Ответ: Ряд расходится.

§ 10.2. Знакочередующиеся ряды

Определение 10.4 Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Определение 10.5 Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Определение 10.6 Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей – расходится.

Определение 10.7 Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседние члены имеют разные знаки:

a1 a2	a3 a4 ( 1)n 1 an , an 0	(10.10)
	n 1
Теорема Лейбница
Если члены	знакочередующегося ряда ( 1)n 1 an , an 0
		n 1
удовлетворяют следующим условиям:
1). an an 1 an 2		(10.11)
2). liman 0		(10.12)
n

То а) заданный ряд сходится;

б) его сумма имеет знак первого члена; в) его сумма не превосходит первого члена.

Пример 10.7

( 1)n

Исследовать на сходимость знакопеременный ряд .

n 1 n

184

Решение:

Проверим выполнение условий теоремы Лейбница (10.11) и (10.12).

	a			1	, a			1
		n		n		n 1		n 1

1)

1

1

для любых n . Таким образом , a

a

a

.

n

n 1

n

n 1

n 2

	2) liman lim		1	0
			n
	n	n

Оба условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, заданный ряд сходится.

Выясним, сходится данный ряд абсолютно или условно.

1

Составим ряд из модулей: .

n 1 n

Полученный ряд является гармоническим, следовательно, он расходится.

Итак, заданный ряд сходится по теореме Лейбница, а ряд, составленный из модулей, расходится. Согласно определению10.6 такой ряд называется условно сходящимся.

Ответ: Ряд сходится условно.

§ 10.3. Функциональные ряды

Определение 10.8 . Пусть задана бесконечная последовательность
функций un (x) .			Функциональным					рядом называется сумма	всех ее
членов:
		u1 (x) u2 (x) un (x) un (x)							(10.13)
								n 1
	Определение	10.9				Точка	x0	называется точкой сходимости
функционального ряда un (x)							если	числовой ряд un (x0 )	является
						n 1		n 1
сходящимся.
Определение		10.9			Областью сходимости функционального ряда
называется совокупность всех его точек сходимости.
Сумма ряда		S(x) limsn (x) lim(u1 (x) u2 (x) un (x)) в области
			n				n
сходимости функционального ряда является функцией от x .
	Определение 10.10		Степенным называется функциональный ряд вида
			cn xn c0				c1 x c2 x2 cn xn .		(10.14)

n 0

185

Числа cn -называются коэффициентами степенного ряда.

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится в точке

x0 0 ,

то он

абсолютно сходится при всех значениях x таких, что

x

x0

.

Если

степенной ряд расходится в некоторой точке x0 , то он расходится при

всех значениях x таких, что

x

.

x0

Из теоремы Абеля следует,

что существует такое число R , называемое

радиусом сходимости, что степенной ряд сходится для любых x , таких что x R и расходится при любых x : x R . Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал ( R; R) . При R 0 ряд

сходится в единственной точке x 0 ; при R областью сходимости ряда является вся числовая ось.

Определение 10.11 Степенным рядом общего вида называется ряд

	cn (x a)n .	(10.15)
	n 0
Степенной ряд (10.15)	всегда сходится при x a . Число a	называют
центром сходимости.
Областью сходимости	степенного ряда (10.15) является	открытый

промежуток (a R; a R)

Если среди коэффициентов степенных рядов (10.14) и (10.15) нет равных нулю, то радиус сходимости может быть найден с помощью одной из формул:

	R lim		cn				(10.16)
			cn 1
	n
	R lim	1					(10.17)
		n c
	n
				n

Если же среди cn есть равные нулю, то область сходимости находят из

неравенств (положив u	n	(x) c	n	(x a)n ):
					un 1 (x)			1	(10.18)
		lim
					un (x)
		n
								1
		lim		n un (x)					(10.19)
		n

186

Вопрос о сходимости степенных рядов (10.14) и (10.15) на концах промежутка в точках x0 R и x0 R a решается непосредственным

исследованием числовых рядов cn ( R)n	и cn ( R a)n .
n 0	n 0
Пример 10.8

(x 2)n

Найти область сходимости степенного ряда

n 0 2n 3

Решение:

Коэффициенты

степенного

ряда cn

1

0

. Для нахождения

2n 3

радиуса сходимости воспользуемся формулой (10.16)

1

2n 5

R lim

2n 3

lim

1

1

2n 3

n

n

2(n 1) 3

Тогда интервал сходимости ряда есть ( 1 2;1 2) (1;2) Исследуем сходимость ряда на концах промежутка.

а) x0 1

	(1 2)n		( 1)n
Получаем ряд					- знакочередующийся ряд с
	2n 3		2n
n 0		n 0		3

an

1

2n 3

Проверим выполнение условий Лейбница.

an 1

1

1

1

an

-первое условие выполнено.

2(n 1)

3

2n 5

2n 3

	liman lim		1		0	-второе условие выполнено.
			2n 3
	n	n

Условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, полученный знакопеременный ряд сходится.

1

Составим ряд

из

модулей

. Сравним полученный

ряд с

2n 3

n 0

1

гармоническим рядом

.

n 0 n

Воспользуемся вторым признаком сравнения .

Обозначим a

1

,b

1

и вычислим предел отношения a

к b

:

n

n

2n 3

n

n

n

187

1

an

n

1

lim

lim

2n 3

lim

, 0

bn

n

n

1

n

2n 3 2

n

1

Гармонический ряд

расходится,

поэтому,

согласно второму

n 0 n

1

признаку сравнения, ряд

расходится.

n 0 2n 3

(x 2)n

Таким образом, ряд

сходится в точке x0

1 условно.

2n

3

n 0

б) x0 3

(3 2)n

1

Получаем ряд

. Полученный ряд исследован нами

n 0

2n 3

n 0 2n 3

выше и установлено, что он расходится.

(x 2)n

Таким образом, ряд

в точке x0

3 расходится.

2n

3

n 0

Ответ: Область сходимости заданного ряда [1;3) , причем в точке x0

1

ряд сходится условно.

Пример 10.9

(x 1)2n

Найти область сходимости степенного ряда

9n

n 0

Решение:

Коэффициенты

степенного

ряда c

1

, c

0, поэтому

для

2n

2n 1

3n

нахождения области сходимости необходимо решить неравенство:

lim

(x 1)2n

lim

(x 1)2

(x 1)

2

1

lim

n un (x)

n

9

n

9

9

n

n

n

(x 1)2 9 x 1 3 2 x 4

Исследуем ряд на концах промежутка.

а) x0 2

	( 2 1)2n		( 3)	2n
Получаем					1
	9n		9n
n 0		n 0			n 0
an 1;liman	0 -необходимый			признак сходимости не выполняется,

n

следовательно, полученный ряд расходится.

188

б) x0 4

		(4 1)2n		(3)2n
	Получаем				1- ряд расходится.
		9n		9n
	n 0		n 0		n 0

Ответ: Область сходимости заданного ряда ( 2;4) .

§ 10.4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена

Определение 10.11. Пусть функция

f (x) бесконечно дифференцируема

в точке x a .

Рядом Тейлора называют ряд :

f

(n)

(a)

f (a)

f (a)

(x a)

f (a)

(x a)2

(x a)n

2!

n!

1!

(10.20)

(n)

f

(a)

(x a)n

n 0

n!

Если в области сходимости ряд (10.20) сходится к

f (x) , то имеет место

равенство

(n)

f (x)

f

(a)

(x a)n ,

(10.21)

n!

n 0

называемое разложением функции

f (x) в ряд Тейлора в окрестности

точки .

Если в разложении функции в ряд Тейлора (10.21) взять a 0 , то получим частный случай ряда Тейлора, называемый рядом Маклорена:

f

f

f

(n)

(0)

(n)

(0)

f (x) f (0)

(0)

x

(0)

x2

xn

f

xn

1!

2!

n!

n 0

n!

(10.22)

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

1. f (x) e x

	x	2		x	3		x	n		x	n
e x 1 x
2!			3!				n!		n 0	n!

Область сходимости: x ( ; ) 2. f (x) sin x

		x3		x5		( 1)n xn			( 1)n x2n 1
	sin x x
		3!		5!		(2n 1)!			(2n 1)!
								n 0

Область сходимости: x ( ; ) 3. f (x) cos x

(10.23)

(10.24)

189