Математика АВАКЯН / posobie1
.pdf
|
ln x |
dx ln xd (ln x) |
|
ln2 x |
|
C0 ,т.е. |
C(x) |
ln2 x |
C0 . |
|
|
|
Тогда |
окончательно |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
y x |
ln x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 9.5. Уравнение Бернулли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Уравнение Бернулли имеет следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.29) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Q(x) y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Разделим обе части уравнения (9.29) на y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y' |
P(x) y1 |
Q(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.30) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Введем новую переменную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z y1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.31) |
|||||||
тогда z |
|
(1 ) y |
|
|
|
|
y' |
|
|
|
z' |
|
|
|
|
|
|
|
y' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. Подставив |
|
|
в (9.30) приходим к |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
y |
1 |
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
линейному относительно z уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z (1 )P(x)z (1 )Q(x) . |
(9.32) |
|||||||||||||||||||||||||||
Пример 9.6. Решить дифференциальное уравнение |
|
|
|
dy |
xy x3 y3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||
Решение: Разделим обе части уравнения на y3 : |
|
|
1 |
|
|
dy |
|
x |
x3 , введем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
y2 |
|||||||
новую переменную, z y 2 тогда |
|
z 2y 3 y или |
|
|
1 |
z y 3 y . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
z zx x3 , |
умножая |
|
обе |
|
части |
уравнения |
|
|
на 2 , приходим к |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
линейному (относительно z ) уравнению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2zx 2x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 2zx 0 , тогда |
z 2zx |
dz |
|
2xdx , |
интегрируя обе части уравнения, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln z x2 |
ln C или z Cex 2 . Заменим константу функцией ( ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z C(x)e |
x2 |
, z |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
2xC(x)e |
x2 |
. Подставим и ′ в уравнение. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C (x)e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
2xC(x)e |
x2 |
2xC(x)e |
x2 |
2x |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
C (x)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C (x)e |
|
|
|
или C (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u t, |
du dt, |
|
||
C(x) 2 x3e x |
dx |
x2e x |
|
d (x2 ) |
|
x2 t tet dt |
v et . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv et , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tet |
et dt et (1 t) C (1 x2 )e x 2 |
|
C. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда z Cex2 |
|
|
x2 |
1, но так как z y 2 , то окончательно получаем: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cex2 |
|
x2 1 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Cex2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение Бернулли можно так же решать, применяя замену y uv . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 9.6. Уравнение в полных дифференциалах |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, y)dx N(x, y)dy 0 , |
(9.33) |
|
|||||||||||||||||||||||||
если выполняется условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(9.34) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть задана функция двух переменных u(x, y) , тогда ее полный |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциал имеет следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
u dx |
u dy , |
(9.35) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||
причем если функция |
u(x, y) |
непрерывна в некоторой области, то ее |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
смешанные производные второго порядка всегда равны. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
2u |
. |
|
|
|
|
(9.36) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Условие (9.36) равносильно условию (9.34), если |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, y) |
|
|
u |
, N (x, y) |
u |
, |
(9.37) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
т.е. M (x, y)dx N(x, y)dy du . Тогда, так как du 0 , то u(x, y) C .
Решаем любое (например, первое) из двух дифференциальных уравнений (9.37), находим:
161
Т.е. y1 и y2 - линейно независимы. |
|
|
|
Тогда общее решение уравнения (9.45) |
yo примет вид: |
|
|
|
= + . |
(9.53) |
|
0 |
1 |
2 |
|
Пример 9.10. Решить дифференциальное уравнение: y 2y 5y 0 .
Решение: Получим и решим характеристическое уравнение: k 2 2k 5 0 .
D 4 20 16 0 .
k |
2 4i |
или 1, 2 . |
1,2 |
2 |
|
|
|
Окончательно, согласно (9.53), получаем решение дифференциального уравнения
yo e x (C1 cos 2x C2 sin 2x) . Ответ: yo e x (C1 cos 2x C2 sin 2x) .
D p2 4q 0 . Характеристическое уравнение имеет только один
действительный корень кратности два k 2p .
Тогда двумя частными решениями будут y ekx и |
y xekx . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
y |
ekx |
|
1 |
|
решения y |
, y |
|
- линейно независимы. |
Тогда общее |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
const |
|
|||||
|
|
|
|
kx |
|
2 |
||||||||
|
y |
|
|
xe |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
уравнения (9.45) |
yo примет вид: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ekx (C C x) . |
|
(9.54) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
1 2 |
|
|
Пример 9.11. Решить дифференциальное уравнение: y 4y 4y 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Получим и решим характеристическое уравнение: k 2 4k 4 0 .
D 16 16 0 . k 2 .
Окончательно, согласно (9.54), получаем решение дифференциального уравнения
yo e2 x (C1 C2 x) .
Ответ: yo e2 x (C1 C2 x) .
§9.9. Неоднородные линейные уравнения второго порядка
спостоянными коэффициентами
Вобщем виде линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядят следующим образом.
y |
py qy f (x) , |
(9.55) |
|
|
|
где p, q - постоянные, f (x) - некоторая функция.
166
Решение уравнения (9.55) представляется в виде
= + , (9.56)
где yo - общее решение однородного уравнения (9.45), а Y - частное
решение неоднородного уравнения (9.55). Рассмотрим два случая:
1. f (x) Pn (x)eax , где Pn (x) - многочлен степени n .
a) a не является корнем характеристического уравнения k 2 pk q 0 . Тогда частное решение неоднородного уравнения (9.55) выбираем в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y Q (x)eax , |
(9.57) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
где Qn (x) |
многочлен n -го порядка, записанный в общем виде: |
|
||||||||
Q (x) A xn A xn 1 |
A |
|
x2 |
A |
x A . |
|
||||
n |
0 |
1 |
|
|
n 2 |
|
n 1 |
n |
|
|
Из (9.57) найдем Y , |
Y и, подставив в уравнение (9.55), определим |
|||||||||
константы A0 , A1, A2 , , An 1, An . |
|
|
||||||||
Пример 9.12. Решить дифференциальное уравнение: |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 x |
. |
|
|
|
|
|
y |
4y 3y (x 1)e |
|
|
|
|
|
|
Решение: Решение данного уравнения представляется в виде y yo Y . Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения yo .
Выпишем и решим характеристическое уравнение: k 2 4k 3 0 .
D 16 12 4 0 , тогда
k |
|
4 2 |
или k 3, k |
|
1. |
|
2 |
||||
1,2 |
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
Итак, получаем общее решение однородного дифференциального уравнения
yo C1e3x C2ex .
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения Y .
Y (Ax B)e2 x ,
тогда Y Ae2 x |
2(Ax B)e2x e2x (2Ax A 2B) , |
|
|
|
а Y 2e2x (2Ax A 2B) 2Ae2x e2x (4Ax 4A 4B) . Подставим |
Y ,Y |
и Y в |
||
исходное уравнение. |
|
|
|
|
e2 x (4Ax 4A 4B) 4e2 x (2Ax A 2B) 3(Ax B)e2 x (x 1)e2 x , |
|
|
||
4Ax 4A 4B 8Ax 4A 8B 3Ax 3B x 1, |
|
|
||
Ax B x 1, отсюда A 1, B 1. Т.е. Y (x 1)e2 x . |
|
|
||
Окончательно получаем: y C e3x |
C ex (x 1)e2 x . |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Ответ: y C e3x C ex (x 1)e2 x . |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
167
б) a является корнем характеристического уравнения k 2 pk q 0 . Тогда частное решение неоднородного уравнения (9.55) выбираем в виде:
Y xrQ (x)eax , |
(9.58) |
n |
|
где Qn (x) многочлен n - го порядка, записанный в общем виде, r кратность корня a характеристического уравнения.
Пример 9.13. Решить дифференциальное уравнение:
Решение: Решение данного уравнения представляется в виде y yo Y . Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения yo .
Выпишем и решим характеристическое уравнение: k 2 3k 2 0 . D 9 8 1 0 , тогда
k |
|
3 1 |
или k |
2, k |
|
1. |
|
2 |
|||||
1,2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, получаем общее решение однородного дифференциального уравнения
yo C1e2 x C2ex .
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения Y .
Y xAe x , тогда |
Y Aex Axex Aex (x 1) , а |
Y Aex (x 1) Aex ex (Ax 2A) . |
Подставим Y ,Y |
и Y в исходное уравнение. |
|
ex ( Ax 2A) 3Aex (x 1) 2xAex 3ex , |
|
Ax 2A 3Ax 3A 2Ax 3 ,
A 3. Т.е. Y 3xex . Окончательно получаем: y C1e2 x C2ex 3xex .
Ответ: y C1e2 x C2ex 3xex .
2. f (x) eax (Pn (x)cos bx Qm (x)sin bx) .
a) a ib не является корнем характеристического уравнения k 2 pk q 0 . Тогда частное решение неоднородного уравнения (9.55) выбираем в виде:
|
|
|
Y eax (R |
(x)cos bx T (x)sin bx) , |
(9.59) |
|
|
|
N |
N |
|
где RN (x) |
и TN (x) многочлены N - го порядка, записанные в общем виде. |
||||
Причем N max{n, m}. |
|
|
|||
Пример 9.14. Решить дифференциальное уравнение: |
|
||||
|
|
3x |
sin x . |
|
|
y |
4y 8y 2e |
|
|
Решение: Решение данного уравнения представляется в виде y yo Y . Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения yo . Выпишем и решим характеристическое уравнение: k 2 4k 8 0 .
D 16 32 16 0 .
168
k |
|
4 4i |
или 2, 2 . |
|
|||
1,2 |
2 |
|
|
|
|
Итак, согласно (9.53), получаем общее решение однородного
дифференциального уравнения: y |
e2 x (C cos 2x C sin 2x) . |
|
o |
1 |
2 |
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения Y . Согласно (9.59), получаем
Y e3x (Acos x Bsin x) , тогда
Y e3x (3Acos x 3Bsin x Asin x Bcos x) e3x ((3A B)cos x (3B A)sin x) , Y e3x ((9A 3B)cos x (9B 3A)sin x (3A B)sin x (3B A)cos x)
e3x ((8A 6B)cos x (8B 6A)sin x) .
Подставим Y ,Y и Y в исходное уравнение.
e3x ((8A 6B)cos x (8B 6A)sin x) 4e3x ((3A B)cos x (3B A)sin x)8e3x ( Acos x Bsin x) 2e3x sin x ,
(8A 6B 12A 4B 8A)cos x (8B 6A 12B 4A 8B)sin x 2sin x ,
(4A 2B)cos x (4B 2A)sin x 2sin x .
Итак, получаем систему уравнений:
4A 2B 0, |
|
2A B 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4B 2A 2. |
|
4B 2A 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решая данную систему, находим A и B : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
1 |
, |
B |
2 |
. Т.е. |
Y e3x ( |
1 |
cos x |
2 |
sin x) . Окончательно получаем: |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
5 |
|
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y e2 x (C cos 2x C sin 2x) e3x ( |
2 |
sin x |
1 |
cos x) . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: y e2 x (C cos 2x C sin 2x) e3x ( |
2 |
sin x |
1 |
cos x) . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) a ib |
является корнем характеристического уравнения |
k 2 pk q 0 . |
Тогда частное решение неоднородного уравнения (9.55) выбираем в виде:
Y xeax (R |
(x)cos bx T (x)sin bx) , |
(9.60) |
N |
N |
|
где RN (x) и TN (x) многочлены N - го порядка, записанные в общем виде.
Причем N max{n, m}.
§ 9.10. Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений.
169