Индивидуальные задания

12. Написать программу печати минимального элемента для a и b, где

ì		x			, x £ -1
ï											< X < 1
a = íarcsin x, -1
ï
î x, x ³ 1											,
ìln							x			, x £ -1
ï
b = ícos x, -1 < X < 1
ïlg x, x ³ 1
î
значение х задать вводом.

13. Написать программу печати максимального элемента a и b, где

ì
ïx2					+	x	, x < 0
ï										π
ï									X <
a = ítgx, 0 £										2
ï								π
ïïex					, x ³
î									2		,
ì
		x		, x < 0
ï
ï										π
ï								£ x <
b = íctgx, 0										2
ï									π
ïe−x , x ³
ï									2
î

значение х задать вводом.

14. Написать программу печати минимального значения среди трех элементов z,y,t, где: z = ln x +1 × cos x

y = e−x ×sin x

,

t = x + ex

значение х задать вводом.

15. Написать программу печати максимального значения среди z,y,t, где

Z = x + 5

y = x2 + x - 3 , t = sin( x +π )

значение х задать вводом.

16. Написать программу печати минимального значения среди z,y,t, где

ìsin x, x £ 0

Z = íîlg x, x > 0 y = x2 sin x cos x , t = x2 + 3x

значение х задать вводом.

17. Написать программу печати максимального значения среди z,y,t, где

Z = x2 - 5x3 + x

y = lg

x2

+1

,

ìsin x cos x, x £ 0

ï

x2

t = í

-

, x > 0

ï1

1

- ln

x +1

î

значение х задать вводом.

18. Составить программу вычисления:

ìlg

x

, если x < 0

ï

£ x £ 1

ïsin x, если 0

y =

ï

< x £ 2 ,

ícos x, если 1

ïln x, если 2 < x < 3

ï

ïlg x, если x ³ 3

значение х задать вводом.

î

19. Составить программу вычисления:

ìsin x + cos x , если x £ 0

ï

ïsin x - cos x , если 0 < x £ 0,5

,

t = í

, если 0,5 < x < 1

ïarctg x2

ï

îlg x , если x ³ 1

где x = ea + e−a .Значение а – задать вводом.

20. Составить программу вычисления:

ìarcsin y , если -1 < y < 1

ï

, если 1 £ y

£ 2

ïy * ea

,

x = í

+ ab , если y

> 2

ïlg y

ï

− y

, в остальных случаях

îa * e

значения а,b,у – задать вводом.

21. Написать программу вычисления пары функций z и y:

ì

2

, если x £ 1

ïx

z = í2 +

x

, если 1 < x £ 12

ï

ïln x , если x > 12

î

ì0,5x , если x £ 1

ï

y = í x , если 1 < x £ 12

ïîlg x , если x > 12

Значение х задать вводом.

22. Написать программу вычисления:

ìsin x * cos y , если x < y
ï			+ 2x + y2 , если x > y ,
z = íx2
ï		x + y		2		, если x = y
ï
î

где x = arcta + arctgb , y = ea+b - ab . Значения a и b задать вводом.

23. Написать программу вычисления:
ìln			x + y2					, если x < 5y
ï				- y
ï x2					2	, если x > 5y ,
t = í
ï x				+ y
ïsin xy , если x = y
î

где x = b × arcctg a , y = ea + e−b , значения a и b задать вводом.

24. Составить программу вычисления:

ì

, если 0 £ x < 1

sin x +1

ï

ïln x +1

v = í

, если 1

£ x < 3

ï x + 2

ïe−x , в остальных случаях.

î

где x = e−a ×sin b , значения a и b задать вводом.

25. Составить программу вычисления:

ì

ï2y cos y , если y > 0

z =

ï 1

, если y < 0

,

í

ï y2

ï

î0 , если y = 0

x2

где y = x -

, значения х задать вводом.

sin x + 2

26. Составить программу вычисления:

ì 1

arctg

b + c

, если x > 0

ï

x

x

ï

ï

1

- x

< 0 ,

y = í

ln

, если x

x

ï2

- x

ï1+ sin x

ï

, если x = 0

ï

b + c

î

значения b,c,х задать вводом.

27. Составить программу вычисления:

ìsin x , x < -π

y= ïíe−x , -π £ x £ π ïîcos x , x > π

значения аргумента х задать вводом.

28. Составить программу вычисления Z=2x-7, для которой:

ì			2	+ 2y + 3 , если y ³ 1,5
ïy
x = í		y -1				, если y < 1,5
ï
î

значение у задать вводом.

29.Написать программу для вывода сообщений о том, является ли х решением уравнения ax2 + bx + c = 0 . Значения a,b,c,x задать вводом.

30.Написать программу диагностики: является ли х решением неравенства: x2 - x < a . Значение х и а задать вводом.

Лабораторная работа 4

Циклы с разветвлением

Цель работы – получение навыков составления и отладки программ комбинированного типа.

На практике, алгоритмы, реализующие различные вычисления, представляют собой комбинацию основных базовых алгоритмов: линейного, циклического, разветвляющегося.

Задания

1.Для 10 произвольных значенийх подсчитать суммы:

1)всех чисел < 2;

2)всех чисел в интервале от –1 до 0;

3)остальных чисел.

	2. Вычислить	сумму тех значений функции y =	x2	-1		, которые удовлетворяют
			ln x
	условиюy > 13
		.Аргумент х изменяется в интервале от 2 до 8 с шагом 0,5 .

3. Вычислить сумму положительных значений функции y = 32 × tgx для 19 значений х

(произвольных). На печать выдать каждое вычисляемое значение и сумму положительных у.

4. Составить программу вычисления суммы положительных и суммы отрицательных значений функции y = 0,5x + 2,5x3 - 0,5 для − 2 ≤ x ≤ 0,7 с шагом 0,1

5. Составить программу	вычисления количества положительных и отрицательных
значений функции y = 1-	sin x	при изменении аргумента x в интервале
	1- ln( x +1)

0,1 £ X £ 3 с шагом 0,1. Нулевые значения функции не учитывать.

6.Составить программу вычисления и печати среднего арифметического

положительных и среднего арифметического отрицательных значений функции y = ln x - x + 0,75 . Аргумент х изменяется в интервале 0,2 £ x £ 5 c шагом h=0,25.

7. Составить программу вычисления суммы тех значений функции y , которые

удовлетворяют условию: y > 5× Z , где y = x2 sin x × cos x , 1,5 £ X £ 3,5 Аргумент x
изменяется с шагом 0,1.
8. Вычислить:
ì		2
ïxsin			x,если	x	< 1
y = í	2
		cos2x,если					x		³ 1
ïe−x
î

для 15 произвольных значений x. Подсчитать количество значений y, лежащих в интервале от 1 до 2.

9. Написать программу вычисления функции z = 2x - 7 , для которой

x =

ì

2

+ y + 1 , если

y ³ 0 ,5

í y

î y - 1 , если

y < 0 ,5

Значение y изменяется в интервале 0 £ y £ 1 с шагом h = 0,05.

10. Написать программу вычисления функций z и y

ì

2

,если x £ 1

ïx

z = í2 +

x

,если1 < X £ 12

ï

ïln x,если X > 12

î

ì0,5x,если x £ 1

ï

x ,если1 < X £ 12

y = í

ïlg x ,если x > 12

î

Аргумент изменяется в интервале - 2 £ X £ 23 c шагом h = 1.

11.

Рассчитать

и

выдать

на

печать

таблицу значений

функции

ì

,0 £ X £ 1

x

f (x) =

ï

íx + ex ,1 < X £ 1,5

ïe−x sin x,1,5 < X £ 2

ï

î

Шаг аргумента 0,1.

12. Составить программу вычисления суммы функции:

ì								,0 £ X < 1
			sin x +1
ï
ïln x +1
f (x) = í							,1	£ X	< 3
		x + 2
ï
ï		−x		,3	£ X < 4
e
î

Шаг изменения аргумента h = 0,1.

13. Вычислить:

ì 1

arctg

b + c

,если X > 0

ï

x

x

ï

ï

1

- x

y = í

ln

,если X < 0

x

2

- x

ï

ï

1+ sin x

ï

,если X = 0

ï-

b + c

î

Значения b и c задать вводом.

14. Вычислить:

ì

1

+

1

+

1

+L+

1

, X

> 0

ï

x

3x

5x

19x

ï

, X = 0

y = í0

ï

1

1

1

1

ï

+ 4x + 6x +L+ 20x , X < 0

î2x

Для5различныхзначенийх.

15. Вычислить:

ì 10

a

3

ïå

+ 2

,если x < y

2

ïa=1

a

+1

Z = í

10

ïïåa!,если x ³ y

îa=1

Значение X и Y задать вводом.

16. Вычислить:

ìa!, a £ 10

y = ía8 , a 10

î >

Параметр а изменяется в интервале от 1 до 12 с шагом 1.

17. Составить программу вычисления функций:

ì
ï2y cos y , y > 0
ï	1					,
z = í		, y	< 0;
ï y2
ï			= 0
î0,5, y
где y = x -				x2		для − 2 ≤ X ≤ 1 с шагом 0,5. На печать вывести все значения x,y,z.
				x +	3

18. Составить программу вычисления функций:

y = x +1,7 − 0,5x и z = sin x cos x при изменении аргумента x в интервале [1,5 ;2,5] с

шагом h = 0,1.Найти суммы тех значений z, которые меньше 1; и сумму тех значений y которые 1<y<3.

19.	Найти сумму	тех членов	последовательности cos x,cos(x + 2h),K,cos(x +12h) ,
которые по абсолютной величине больше 0,5. x и y задать вводом.
20.	Составить программу вычисления функции			y = xsin x при изменении аргумента в
интервале 0,5 £ x £ 4 c шагом			h = 0,25. Печатать лишь те значения y, которые
удовлетворяют условию - 2 £ y £ 1.
21.	Составить	программу	вычисления	минимального	значения	функции
Z = ln( x + 3,7) × cos x при изменении аргумента x в интервале от 0до 6 с шагом 0,5.
22.	Составить	программу	вычисления	максимального	значения	функции
y = x2 − 3x + ln x при изменении аргумента х в интервале 1 £ x £ 5 c шагом 0,5.

23. Даны две функции y1= 5x + 0,2x2 + 3

y2 = 2x − x2 +10

Определить координаты точек пересечения этих двух функций на участке 0 £ x £ 5 с шагом 0,1. (Точка пересечения – min по модулю разность двух функций)

24. Определить и напечатать минимальную по модулю разницу между значениями двух функций y1 = 1− cos x и y2 = −5x + sin x − 3, для которых аргумент изменяется в

интервале от 0,5 до 6,5 с шагом 0,5. Напечатать так же то значение х, при котором эта разница достигается.

25.Ввести координаты m точек трехмерного пространства. Определить сколько из них лежит внутри сферы радиуса R с центром в начале координат.

26.Для 6 произвольных пар чисел (a,b) подсчитать и напечатать m = ce2a6 где с-

наибольшее по абсолютной величине из чисел a и b.

27.Для 15 произвольных значений x получить суммы тех чисел, которые: 1) кратны 5; 2) четные;

3) остальных чисел.

28.Для 5 произвольно введенных троек чисел (x,y,z) ответить на вопрос: « Можно ли образовать треугольник со сторонами x,y,z?»

29.Для 10 произвольно введенных чисел х подсчитать количество положительных и сумму отрицательных элементов.

30.Для 10 произвольно введенных пар чисел (x , y) ответить на вопрос: «Принадлежит ли точка с координатами (x , y)области, изображенной на рисунке».

		Y
		1
	-2			Х
			2
		-1

Лабораторная работа 5

Циклы с неявным числом повторений

Цель работы – изучение основных принципов организации циклов с неявным числом повторений и получение навыков составления и отладки программ.

Ввычислительной практике часто встречаются циклы, число повторений которых заранее неизвестно, и выход из которых происходит при достижении определённого условия. Типичным примером является цикл, в основе которого лежит итерационный процесс, заключающийся в последовательном приближении искомой величины к своему конечному значению. Её начальное значение предварительно задаётся, а затем всякий раз уточняется через предыдущее значение. Выход из цикла происходит при достижении некоторой наперёд заданной точности. Эта точность

может быть установлена по отношению к очередному приближённому значению искомой величины (очередному приближению), двум её соседним приближениям и т.д. Если при выполнении вычислений она достигается, то процесс считается сходящимся. Циклы, реализующие такие процессы, называются итерационными.

Впрактических вычислениях довольно часто приходится решать уравнения

вида f(x) = 0. По методу простой итерации уравнение приводится к виду x = j(x). Начальное значение корня x0подставляется в правую часть этого уравнения, вычисляется новое приближение x1. Затем оценивается абсолютная величина разности между x1 иx0.Если она меньше заданной точности e, то любую из величин x1 иx0 можно считать корнем уравнения. В противном случае итерационный процесс продолжается, вычисляетсяx2 = j(x1) и так до тех пор, пока точность не будет достигнута. Отсюда видно, что полученное на очередном шаге вычислений (очередной итерации) приближённое значение корня является исходной величиной для следующего шага.

Задания Нахождение корней уравнения

Метод простых итераций

Исходное нелинейное уравнение записываем в виде x = f(x). Подставляем начальное значение корня x = c0 в правую часть уравнения, получаем новое приближение с1 = f(c0) и т.д. Получаем сn+1 = f(cn), n=0,1,2, … Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последних итераций близки, т.е. ½cn+1 - cn½ < e. Предусмотреть защиту от зацикливания.

Метод деления отрезка пополам

Пусть на отрезке [α ,b] существует корень уравнения, и на [α, b] функция меняет знак. В качестве начального приближения корня принимают середину отрезка

[a, b], т.е. c0= α 2+ b . Исследуют функцию f(x) на концах отрезков [a, c0] и [с0, b]. Тот из

них, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков, содержит корень. Его принимаем в качестве нового отрезка [a, b]. Находят середину вновь полученного отрезка и т.д. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции f(x) после n-ой итерации не станет по модулю меньше допустимой погрешности e, т.е. | f(x) | < e, или если длина интервала становится меньше заданной точности, т.е. |b - a| < e.

Метод хорд

На отрезке [a, b] функция f(x) меняет знак. В качестве приближений к корню принимают точки с0, с1, с2, … пересечения хорды с осью абсцисс, т.е. на первом шаге

с0	= a-			b - a		f (α) ,еслиf(b) > f(a)
			f (b) - f (a)
с0	= b -			b - a		f (b) , если f(b) < f(a).
				f (b) - f (a)

Получаем отрезки [a, с0] и [с0, b]. Тот отрезок, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень. Его принимают в качестве нового отрезка. Находим на вновь полученном отрезке точку пересечения хорды с осью абсцисс по формулам, изложенным выше и т.д. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции f(x) после n-ой итерации не станет меньшим по модулю некоторой заданной точности e, т.е. | f(x) | < e, или если длина

интервала становится меньше заданной точности, т.е. |b - a| < e.
1.	é	p ù
	Найти с точностью 0,001 корень уравнения x2 cos 2x + 1 = 0 на отрезке ê0;	2	ú
	ë		û

методом простых итераций.

2.Определить корень уравнения x - e− x22 = 0 c точностью e =10-5 на отрезке [-1; 2] методом простых итераций.

3.На отрезке [-2; 1] найти корень уравнения x3 + x2 + x + 1 = 0 методом простых итераций.

4.На отрезке [0; 1] найти корни уравненияx5 - 0,3½x-1½=0 методом простых итераций.

5.

На

отрезке

é

p ù

найти

корни

уравнения 2x - cos x = 0

методом

простых

ê0;

ú

итераций.

ë

2 û

6.

На

отрезке

[0;

1,5]

найти

корни уравнения 0,9x - sin

- 0,1 = 0

методом

x

простых итераций.

7.

é

p ù

уравнения tg x -

x + 1

= 0методом

На

отрезке

ê0;

ú

найти

корни

простых

2

ë

4 û

итераций.

8. Составить программу решения уравнения sin x2 + cos x2-10x = 0 методом деления отрезка пополам. Известно, что значение корня находится на отрезке [0; 1].

9.Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения x3 + 3x - 1 = 0 на отрезке [-2; 1].

10.Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения 2x + 5x - 3 = 0 на отрезке [0; 10].

11.Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения x4 - x - 1 = 0 на отрезке [0; 3].

12.	æ	π ö		− 0,5x = 0 на отрезке
	Методом хорд найти корень уравнения sinç x +	3	÷
	è		ø

éê- π ; 5π ùú . ë 6 6 û

13. Методом деления отрезка пополам найти корни уравнения log 2 (-x)(x+2) = -1 на отрезке [-8; -1].

14.		1		é	π		π ù
	Методом хорд найти корень уравнения arctg x +			= 0 на отрезке ê-	4	;	4	ú .
		3x	2
				ë				û

15.Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения(x-3)cos x - 1 = 0на отрезке [π;2π ].

16.Методом хорд найти корень уравнения 0,5x + 1 = (x2-2)2 на отрезке [-2; 5].

17.Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения x-cos x = 0 на

		é	π	;	π ù
	отрезке ê-		2		ú .
		ë			2 û
	18.	Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения					=	1	на
						x + 1
								x
	отрезке [0,1; 10].

19.Методом хорд найти корень уравнения5x - 8x3 = 0на отрезке [-2; 2].

20.Методом хорд найти корень уравненияx 2x = 1на отрезке [-2; 5].

21.Методом хорд найти решение уравнения x4 − 2 = 0 на отрезке [0; 3].

22.Методом хорд найти корень уравнения x3 + x − 2 = 0 на отрезке [0; 2].

23.	Методом			деления	отрезка	пополам	найти	корень	уравнения
cos x− e−		x2
		2 + x − 1 = 0на отрезке [1; 2].